蘇科版2025年新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假銜接講義第2部分-預(yù)習(xí)篇-第13講弧長(zhǎng)及扇形的面積(學(xué)生版+解析)

/第13講弧長(zhǎng)及扇形的面積模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．經(jīng)歷探索弧長(zhǎng)計(jì)算公式、扇形面積計(jì)算公式的活動(dòng)過程；2．會(huì)運(yùn)用弧長(zhǎng)計(jì)算公式、扇形面積計(jì)算公式計(jì)算有關(guān)問題。1.填寫下列扇形的面積與周長(zhǎng)圓心角半徑周長(zhǎng)面積圖形360r180r90r30rnr弧長(zhǎng)：因此，半徑為R的圓中360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)(圓的周長(zhǎng))公式：C=2πR

n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長(zhǎng)公式：l=(弧是圓的一部分)。

注：（1）對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的，即；（2）公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；（3）弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

扇形面積：（1）定義：叫做扇形（2）面積公式：半徑為R的圓中360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：；n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：

注：（1）對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；（2）在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.（3）扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；（4）扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

考點(diǎn)一：求弧長(zhǎng)例1．如圖，在中，點(diǎn)A、B、C在圓上，，的半徑的長(zhǎng)為2，則劣弧的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【變式1-1】中國(guó)古代的文人士大夫喜歡在折扇上題詞作畫，即使折扇受損失去其納涼功能，也會(huì)被人們揭裱保存成為收藏品．如圖是一把題了字畫的折扇，折扇的骨柄長(zhǎng)為，折扇張開后的扇形圓心角為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式1-2】如圖，，，兩兩不相交且半徑都是3，則圖中三個(gè)陰影扇形的弧長(zhǎng)之和為．【變式1-3】如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，．(1)求證：是半圓O的切線；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．考點(diǎn)二：求扇形半徑例2．已知一個(gè)扇形的面積是，弧長(zhǎng)是，則這個(gè)扇形的半徑為（

）A．24 B．36 C．12 D．6【變式2-1】已知一條圓弧的度數(shù)為，弧長(zhǎng)為，則此圓弧的半徑為（）A．15 B．30 C． D．【變式2-2】一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是，其圓心角是，此扇形的面積為（用含的式子表示）．【變式2-3】一弧長(zhǎng)為18.84厘米，所對(duì)的圓心角為270°，求該弧所在圓的半徑．（取3.14）考點(diǎn)三：求圓心角例3.如圖所示的是一個(gè)幾何體的三視圖，其側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【變式3-1】一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是，半徑是4，則該扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式3-2】已知扇形的半徑為9，弧長(zhǎng)為，則它的圓心角是度．【變式3-3】如圖，若，求圓心角x的度數(shù)．考點(diǎn)四：求扇形面積例4．如圖，是半徑為6的半圓上的兩個(gè)點(diǎn)，是直徑，，若的長(zhǎng)度為，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【變式4-1】如圖1所示，點(diǎn)C是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C從點(diǎn)A開始向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，的長(zhǎng)l與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，扇形的面積為（

）A． B． C． D．【變式4-2】如圖，A，B，C，D，E是上的五個(gè)點(diǎn)，．若的半徑為6，，則圖中陰影部分的面積為．【變式4-3】如圖，為的直徑，點(diǎn)是上方上異于的點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．考點(diǎn)五：求弓形面積例5．如圖，在四邊形中，先以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，此弧恰好經(jīng)過點(diǎn)C，再以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，此弧恰好經(jīng)過點(diǎn)A．若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【變式5-1】如圖，已知點(diǎn)C、D在上，直徑，弦、相交于點(diǎn)E．若，則陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【變式5-2】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積．弧田是由圓弧和其所對(duì)的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)已知弦米，半徑等于5米的弧田，按上述公式計(jì)算出弧田的面積為平方米．

【變式5-3】如圖，是的內(nèi)接三角形，，，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．(1)求證：是的切線；(2)如果的半徑為4，求陰影部分的面積．考點(diǎn)六：求不規(guī)則圖形面積例6.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，分別以點(diǎn)A，C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交對(duì)角線于點(diǎn)E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【變式6-1】如圖，點(diǎn)O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點(diǎn)A，D在半圓上，且，，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)C，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【變式6-2】如圖，扇形中，，，C是的中點(diǎn)，D為半徑上一點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．【變式6-3】如圖，以的邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)E，D為上一點(diǎn)，于點(diǎn)O，連接交于F，．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑．(3)若，，則陰影部分的面積為．1．如圖，點(diǎn)在半徑為3的上，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C． D．2．若圓的半徑為1，則的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3．如圖，在矩形中，分別以點(diǎn)和為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．C． D．4．點(diǎn)，，在上的位置如圖所示，，的半徑為3，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．5．如圖，四邊形內(nèi)接于，若，的半徑為4，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．π D．6．“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑作弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”，若該“萊洛三角形”的面積為，則等邊三角形的邊長(zhǎng)為（

）

A．1 B． C． D．27．如圖，某玩具品牌標(biāo)志由半徑為的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)等圓，，相互經(jīng)過彼此的圓心，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為（

）A． B． C． D．8．如圖，半徑為2，圓心角為的扇形的弧上有一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在弧上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是（

）．A． B． C． D．9．如圖，在扇形中，，，則的長(zhǎng)為．10．若扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，則該扇形的面積為．11．如圖，在扇形中，，點(diǎn)為半徑的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，連接、．若，則陰影部分的面積為．12．龔扇是自貢“小三絕”之一．為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)文化，某校手工興趣小組將一個(gè)廢棄的大紙杯側(cè)面剪開直接當(dāng)作扇面，制作了一個(gè)龔扇模型（如圖）．扇形外側(cè)兩竹條夾角為．長(zhǎng)，扇面的邊長(zhǎng)為，則扇面面積為（結(jié)果保留）．13．甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2，其中扇形和扇形有相同的圓心O，且圓心角，若，，則陰影部分的面積是．（結(jié)果用π表示）14．如圖，正方形紙片中，，以A為圓心，以的長(zhǎng)為半徑在正方形內(nèi)部作，點(diǎn)P為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將左側(cè)部分紙片沿折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，連接．當(dāng)為等邊三角形時(shí)，則線段，，，圍成的陰影部分的周長(zhǎng)為．15．如圖，在中，，以邊為直徑的與邊分別交于點(diǎn)D、E．求的長(zhǎng)．16．如圖，在中，是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，連接，使．

(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留）．17．如圖，在中，，交于，兩點(diǎn)，為的直徑，為的切線，且．(1)求證：為的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．18．如圖，在正方形中，，以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，交于點(diǎn)E，P是上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)Q，連接，．(1)連接，求證：；(2)當(dāng)與相切于正方形外部時(shí)，求線段被所截弦的長(zhǎng)；(3)當(dāng)時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)度．

第13講弧長(zhǎng)及扇形的面積模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．經(jīng)歷探索弧長(zhǎng)計(jì)算公式、扇形面積計(jì)算公式的活動(dòng)過程；2．會(huì)運(yùn)用弧長(zhǎng)計(jì)算公式、扇形面積計(jì)算公式計(jì)算有關(guān)問題。1.填寫下列扇形的面積與周長(zhǎng)圓心角半徑周長(zhǎng)面積圖形360r180r90r30rnr弧長(zhǎng)：因此，半徑為R的圓中360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)(圓的周長(zhǎng))公式：C=2πR

n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長(zhǎng)公式：l=(弧是圓的一部分)。

注：（1）對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的，即；（2）公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；（3）弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

扇形面積：（1）定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形（2）面積公式：半徑為R的圓中360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：；n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：

注：（1）對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；（2）在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.（3）扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；（4）扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

考點(diǎn)一：求弧長(zhǎng)例1．如圖，在中，點(diǎn)A、B、C在圓上，，的半徑的長(zhǎng)為2，則劣弧的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及圓周角定理，先根據(jù)圓周角定理可得出，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．解題關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式．【詳解】解：，，的半徑是2，劣弧的長(zhǎng)是．故選：B．【變式1-1】中國(guó)古代的文人士大夫喜歡在折扇上題詞作畫，即使折扇受損失去其納涼功能，也會(huì)被人們揭裱保存成為收藏品．如圖是一把題了字畫的折扇，折扇的骨柄長(zhǎng)為，折扇張開后的扇形圓心角為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)公式：(弧長(zhǎng)為，圓心角度數(shù)為，圓的半徑為)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴的長(zhǎng)為：．故選：A．【變式1-2】如圖，，，兩兩不相交且半徑都是3，則圖中三個(gè)陰影扇形的弧長(zhǎng)之和為．【答案】【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，弧長(zhǎng)公式；根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，以及弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：，∴三個(gè)陰影扇形的弧長(zhǎng)之和為．故答案為：．【變式1-3】如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，．(1)求證：是半圓O的切線；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟知相關(guān)性質(zhì)和計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角結(jié)合已知條件，可得，即可得，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）連接，證明為等邊三角形，求得，利用弧長(zhǎng)公式即可解答．【詳解】（1）證明：是半圓O的直徑，，，，，是半圓O的切線；（2）解：如圖，連接，，為等邊三角形，，，，．考點(diǎn)二：求扇形半徑例2．已知一個(gè)扇形的面積是，弧長(zhǎng)是，則這個(gè)扇形的半徑為（

）A．24 B．36 C．12 D．6【答案】C【分析】此題考查了扇形的面積計(jì)算公式，將面積是，弧長(zhǎng)是，代入計(jì)算即可.【詳解】∵，∴，∴，故選：C.【變式2-1】已知一條圓弧的度數(shù)為，弧長(zhǎng)為，則此圓弧的半徑為（）A．15 B．30 C． D．【答案】B【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式的變形計(jì)算，根據(jù)公式，變形計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意，得，解得，故選B．【變式2-2】一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是，其圓心角是，此扇形的面積為（用含的式子表示）．【答案】【分析】本題考查了扇形面積的計(jì)算、弧長(zhǎng)公式，設(shè)扇形的半徑為，根據(jù)弧長(zhǎng)求出半徑，最后由扇形面積公式計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，由題意得：，解得：，∴，故答案為：．【變式2-3】一弧長(zhǎng)為18.84厘米，所對(duì)的圓心角為270°，求該弧所在圓的半徑．（取3.14）【答案】4cm【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)該弧所在圓的半徑為rcm，由弧長(zhǎng)公式，得解得：；∴該弧所在圓的半徑為4cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長(zhǎng)計(jì)算，熟練掌握弧長(zhǎng)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三：求圓心角例3.如圖所示的是一個(gè)幾何體的三視圖，其側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由三視圖可得該幾何體是圓錐，且圓錐的底面直徑是4，母線長(zhǎng)為6，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：由三視圖可得該幾何體是圓錐，且圓錐的底面直徑是4，母線長(zhǎng)為6，∴圓錐的底面周長(zhǎng)為：，∵圓錐的側(cè)面圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為6∴，∴解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖還原幾何體，以及扇形的弧長(zhǎng)公式，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是，半徑是4，則該扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：設(shè)圓心角為，根據(jù)題意得：，解得：，∴該扇形的圓心角的度數(shù)是，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的弧長(zhǎng)公式．【變式3-2】已知扇形的半徑為9，弧長(zhǎng)為，則它的圓心角是度．【答案】【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式，熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵：（其中l(wèi)為弧長(zhǎng)，為扇形圓心角度數(shù)的值，r為半徑）．【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角度數(shù)為，由題意得，，解得，∴該扇形的圓心角度數(shù)為，故答案為：．【變式3-3】如圖，若，求圓心角x的度數(shù)．【答案】57.6°【分析】根據(jù)扇形面積公式直接列等式即可的得到答案．【詳解】解：由題意可得，，，∵，∴，解得，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查求扇形的面積，解題關(guān)鍵是根據(jù)扇形面積公式列等式．考點(diǎn)四：求扇形面積例4．如圖，是半徑為6的半圓上的兩個(gè)點(diǎn)，是直徑，，若的長(zhǎng)度為，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、扇形面積公式、弧長(zhǎng)計(jì)算，連接，由等邊對(duì)等角結(jié)合平行線的性質(zhì)得出，證明得出，從而得出，設(shè)，利用弧長(zhǎng)公式得出，得到，最后由計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，，，，，，，，，，，，設(shè)，的長(zhǎng)度為，，解得：，，，，，故選：C．【變式4-1】如圖1所示，點(diǎn)C是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C從點(diǎn)A開始向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，的長(zhǎng)l與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，弧長(zhǎng)的計(jì)算，扇形的面積，先求解點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)3秒轉(zhuǎn)過的圓心角以及半徑，從而可得答案．【詳解】解：根據(jù)圖2可知，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A開始向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)用時(shí)12秒，轉(zhuǎn)過的圓心角為180°，∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)3秒轉(zhuǎn)過的圓心角為半圓長(zhǎng)度，∴．∴扇形的面積為故選B．【變式4-2】如圖，A，B，C，D，E是上的五個(gè)點(diǎn)，．若的半徑為6，，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算及圓周角定理．根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)圓周角的2倍，求出的度數(shù)，再利用扇形的面積公式即可解決問題．【詳解】解：，，，．故答案為：．【變式4-3】如圖，為的直徑，點(diǎn)是上方上異于的點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、勾股定理、三角形的面積公式、扇形的面積公式等．（1）連接，由，得，而得到，由平行線的性質(zhì)可得，從而即可得證；（2）由圓周角定理可得，由勾股定理可得，從而得到，再由進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：連接，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，是的半徑，且，是的切線；（2）解：為的直徑，，，，，，由（1）得，，圖中陰影部分的面積是．考點(diǎn)五：求弓形面積例5．如圖，在四邊形中，先以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，此弧恰好經(jīng)過點(diǎn)C，再以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，此弧恰好經(jīng)過點(diǎn)A．若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了扇形的面積、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證出是等邊三角形，再根據(jù)圖中陰影部分的面積等于求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題意可知，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，則圖中陰影部分的面積為，故選：A．【變式5-1】如圖，已知點(diǎn)C、D在上，直徑，弦、相交于點(diǎn)E．若，則陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和弧之間的關(guān)系，扇形的面積等．連接，根據(jù)，得出，進(jìn)而得到，利用即可求解．【詳解】解：連接，∵是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【變式5-2】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積．弧田是由圓弧和其所對(duì)的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)已知弦米，半徑等于5米的弧田，按上述公式計(jì)算出弧田的面積為平方米．

【答案】10【分析】由垂徑定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面積公式即可得出結(jié)果．本題考查了勾股定理以及垂徑定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，勾股定理解直角三角形，新定義——弧田面積公式，是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】由題意得：于點(diǎn)D，∵，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，∴弧田面積，∴弧田的面積為10平方米．故答案為：10．【變式5-3】如圖，是的內(nèi)接三角形，，，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．(1)求證：是的切線；(2)如果的半徑為4，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定和求弓形的面積：（1）圓周角定理結(jié)合等邊對(duì)等角，求出，進(jìn)而得到，即可得證；（2）連接，過點(diǎn)作，用扇形的面積減去三角形的面積求出陰影部分的面積即可．【詳解】（1）證明：∵，∴的度數(shù)為，∴優(yōu)弧的度數(shù)為：，∴優(yōu)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即：，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）連接，過點(diǎn)作，則：，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴陰影部分的面積為．考點(diǎn)六：求不規(guī)則圖形面積例6.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，分別以點(diǎn)A，C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交對(duì)角線于點(diǎn)E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積計(jì)算，勾股定理，先根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，，根據(jù)勾股定理求出，得出，根據(jù)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，，，∴，∴，∴，故選：A．【變式6-1】如圖，點(diǎn)O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點(diǎn)A，D在半圓上，且，，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)C，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，根據(jù)已知條件可得，是等邊三角形，根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴∴是等邊三角形，∵∴，，又∵∴∴．故選：B．【變式6-2】如圖，扇形中，，，C是的中點(diǎn)，D為半徑上一點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．將陰影部分的面積轉(zhuǎn)換為扇形的面積即可．【詳解】解：連接，，如圖，由題意得，∵∴是等邊三角形∴∴∴∴故答案為：．【變式6-3】如圖，以的邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)E，D為上一點(diǎn)，于點(diǎn)O，連接交于F，．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑．(3)若，，則陰影部分的面積為．【答案】(1)見解析(2)的半徑為6(3)【分析】本題考查了垂徑定理、切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、扇形面積的求法、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）如圖：連接，利用垂徑定理的推論得到，再利用得到，然后利用角度的代換可證明則從而證明結(jié)論；（2）設(shè)的半徑為r，則，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；（3）先根據(jù)勾股定理求得,再利用圓周角定理得到，則，接著在中計(jì)算出，然后用一個(gè)直角三角形的面積減去一個(gè)扇形的面積去計(jì)算陰影部分的面積即可解答．【詳解】（1）解：如圖：連接，∵，∴，∵，∴,∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴是的切線．（2）解：設(shè)的半徑為r，則，在中，，解得：或（舍去），∴的半徑為6．（3）解：設(shè)的半徑為r，則∵，，∴,即，解得：（舍棄負(fù)值），∵，∴，∴，，在中，，∴，，∴陰影部分的面積．故答案為．1．如圖，點(diǎn)在半徑為3的上，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓周角定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算．根據(jù)，先計(jì)算，再用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：C．2．若圓的半徑為1，則的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得．故選：D．3．如圖，在矩形中，分別以點(diǎn)和為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，勾股定理等知識(shí)．根據(jù)題意可得，由勾股定理得出，用矩形的面積減去2個(gè)扇形的面積即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，根據(jù)題意可得，∵矩形，∴，，在中，，∴圖中陰影部分的面積．故選：D．4．點(diǎn)，，在上的位置如圖所示，，的半徑為3，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)計(jì)算公式，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)公式，先根據(jù)圓周角定理求出，然后根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴的長(zhǎng)為：，故選：B．5．如圖，四邊形內(nèi)接于，若，的半徑為4，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．π D．【答案】A【分析】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，得到成為解題的關(guān)鍵．如圖：連接．根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合已知條件可得，然后運(yùn)用圓周角定理可得，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解答．【詳解】解：如圖：連接．∵四邊形內(nèi)接于，，∴，∵，∴，∴，∴．故選：A．6．“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑作弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”，若該“萊洛三角形”的面積為，則等邊三角形的邊長(zhǎng)為（

）

A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，扇形面積公式，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，求出等邊的面積為，根據(jù)“萊洛三角形”的面積為列方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，

∵為等邊三角形，∴，∴，∴等邊的面積為，∴，∴，∴或（不合題意，舍去）∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為，故選：A．7．如圖，某玩具品牌標(biāo)志由半徑為的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)等圓，，相互經(jīng)過彼此的圓心，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計(jì)算，根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，圖中三個(gè)陰影部分的面積相等，只要計(jì)算出一個(gè)陰影部分的面積即可，如圖，連接，可得陰影的面積扇形的面積，據(jù)此即可解答，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，圖中三個(gè)陰影部分的面積相等，如圖，連接，則，∴是等邊三角形，∴，弓形的面積相等，∴陰影的面積扇形的面積，∴圖中三個(gè)陰影部分的面積之和；故選：．【點(diǎn)睛】8．如圖，半徑為2，圓心角為的扇形的弧上有一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在弧上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，由的內(nèi)心為M，可得到，并且易證，得到，所以點(diǎn)M在以為弦，并且所對(duì)的圓周角為的一段劣弧上；過、M、三點(diǎn)作，如圖，連，，在優(yōu)弧取點(diǎn)，連接，，可得，得，，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，連接，的內(nèi)心為M，，，，∵，∴，，又，為公共邊，而，，，所以點(diǎn)M在以為弦，并且所對(duì)的圓周角為的一段劣弧上；過、M、三點(diǎn)作，如圖，連接，，在優(yōu)弧取點(diǎn)，連接，，，，，∵，，弧的長(zhǎng)，所以內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式：，其中表示弧長(zhǎng)，表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)．同時(shí)考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．9．如圖，在扇形中，，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】此題考查了弧長(zhǎng)公式，把已知數(shù)據(jù)代入弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得的長(zhǎng)為，故答案為：10．若扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，則該扇形的面積為．【答案】【分析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算和扇形面積的計(jì)算，注意：已知扇形的圓心角是，半徑是，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧的長(zhǎng)度是，這個(gè)扇形的面積弧長(zhǎng)．形的面積弧長(zhǎng)與半徑積的一半，根據(jù)以上內(nèi)容求出答案即可．【詳解】解：扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，扇形的面積，故答案為：．11．如圖，在扇形中，，點(diǎn)為半徑的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，連接、．若，則陰影部分的面積為．【答案】【分析】如圖，連接，，，交于．證明，求出四邊形的面積即可解決問題．本題考查扇形的面積，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【詳解】解：如圖，連接，，，交于．，，，，，，，，，，，，故答案為：．12．龔扇是自貢“小三絕”之一．為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)文化，某校手工興趣小組將一個(gè)廢棄的大紙杯側(cè)面剪開直接當(dāng)作扇面，制作了一個(gè)龔扇模型（如圖）．扇形外側(cè)兩竹條夾角為．長(zhǎng)，扇面的邊長(zhǎng)為，則扇面面積為（結(jié)果保留）．【答案】【分析】根據(jù)扇形公式進(jìn)行計(jì)算即可．本題考查了扇面面積計(jì)算，掌握扇面面積等于兩個(gè)扇形面積相減是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：扇面面積扇形的面積扇形的面積，故答案為：．13．甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2，其中扇形和扇形有相同的圓心O，且圓心角，若，，則陰影部分的面積是．（結(jié)果用π表示）【答案】【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．本題考查了扇形面積公式，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵圓心角，，，∴陰影部分的面積是故答案為：．14．如圖，正方形紙片中，，以A為圓心，以的長(zhǎng)為半徑在正方形內(nèi)部作，點(diǎn)P為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將左側(cè)部分紙片沿折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，連接．當(dāng)為等邊三角形時(shí)，則線段，，，圍成的陰影部分的周長(zhǎng)為．【答案】【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到，然后根據(jù)等邊三角