2025年新高二數(shù)學(xué)（人教A版暑假銜接）高二上數(shù)學(xué)暑假綜合檢測(cè)卷（拔尖C卷）(解析版)

高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)綜合檢測(cè)卷（拔尖C卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿(mǎn)分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，，再通過(guò)求在上的投影向量即可.【詳解】由題意，，，，在上的投影向量為故選：B.2．如果直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，那么直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式，可求得斜率的取值范圍，即可由傾斜角與斜率關(guān)系求得傾斜角的范圍.【詳解】直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，由斜率公式可得，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，設(shè)傾斜角為，即，所以由正切函數(shù)圖像與性質(zhì)可知，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間斜率公式，傾斜角與斜率關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3．已知長(zhǎng)方體中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出的坐標(biāo)，利用得坐標(biāo)，然后利用可得．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則．，

，解得，，，，解得．故選：C．4．已知點(diǎn)在直線(xiàn)上的射影為點(diǎn)B，則點(diǎn)B到點(diǎn)距離的最大值為（

）．A． B．5 C． D．【答案】C【分析】先判斷直線(xiàn)l恒過(guò)點(diǎn)，根據(jù)題意知點(diǎn)B在以線(xiàn)段為直徑的圓上，再利用圓的幾何性質(zhì)求解即可,【詳解】將直線(xiàn)l整理得到，于是，解得，所以直線(xiàn)l恒過(guò)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上的射影為點(diǎn)B，所以，則點(diǎn)B在以線(xiàn)段為直徑的圓上，該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑大小為，又，所以點(diǎn)B到點(diǎn)距離的最大值為，故選：C．5．已知兩條直線(xiàn)，，且，當(dāng)兩平行線(xiàn)距離最大時(shí)，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出恒過(guò)的定點(diǎn)，故，距離的最大值為，所以，求解即得出答案.【詳解】，由，解得，故過(guò)定點(diǎn)．，由，解得，故過(guò)定點(diǎn)，故，距離的最大值為．此時(shí)，，則，，解得，故．故選：C．6．公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫(xiě)出了經(jīng)典之作《圓錐曲線(xiàn)論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問(wèn)題，例如:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來(lái)該軌跡被人們稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足，若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意計(jì)算得的軌跡方程為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得圓心在直線(xiàn)方程上，即，從而利用乘“1”法即可得到最值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以圓心在此直線(xiàn)上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：B.7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，若的最大值為10，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓定義得到，再由過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，進(jìn)而可得，即得．【詳解】∵，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，∴，，的周長(zhǎng)為，即，若最小，則最大．又當(dāng)軸時(shí)，最小，此時(shí)，故，解得．故選：C.8．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn).設(shè)為拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】設(shè)，，根據(jù)和拋物線(xiàn)性質(zhì)得出，再根據(jù)雙曲線(xiàn)性質(zhì)得出，，最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系，從而可得出離心率．【詳解】過(guò)分別向軸和拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為、，不妨設(shè)，，則，為雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，則，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)離心率的求解，涉及雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿(mǎn)分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則下列點(diǎn)也在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】記選項(xiàng)中的四個(gè)點(diǎn)依次為A，B，C，D，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證，，，是否與垂直即可．【詳解】記選項(xiàng)中的四個(gè)點(diǎn)依次為A，B，C，D，則，，，，又，，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；，故與垂直，故B正確；，故與垂直，故C正確；，故與垂直，故D正確；故選：BCD.10．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，則（

）A．為定值B．的周長(zhǎng)的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，為直角三角形D．當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】ACD【分析】對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.由橢圓的定義判斷A；由為定值以及的范圍判斷B；求出坐標(biāo)，由數(shù)量積公式得出，得出為直角三角形判斷C；求出坐標(biāo)，由面積公式得出的面積判斷D.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則所以為定值，A正確；的周長(zhǎng)為，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以的范圍是，所以的周長(zhǎng)的范圍是，B錯(cuò)誤；將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，又因?yàn)?，∴所以為直角三角形，C正確；將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，所以，D正確.故選：ACD11．已知直線(xiàn)：過(guò)拋物線(xiàn)：（）的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)交于A，兩點(diǎn)，過(guò)A，兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂線(xiàn)分別為，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線(xiàn)的方程為 B．線(xiàn)段的長(zhǎng)度為C． D．線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BD【分析】求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得，即可判斷A;聯(lián)立方程求出A,B坐標(biāo)，可得，判斷B；確定M,N坐標(biāo)，可計(jì)算，判斷C;求出線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷D.【詳解】由題意不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)上方，直線(xiàn)：與x軸交點(diǎn)，又經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，故，可得，即拋物線(xiàn)方程為：，A正確．由，可得，解得或，可得，，所以，B錯(cuò)誤．由以上分析可知，，，，可得，則，即，C正確．因?yàn)?，，故線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離為，D錯(cuò)誤，故選：BD．12．已知圓上的三個(gè)點(diǎn)分別為，，，直線(xiàn)的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓的方程為B．過(guò)作直線(xiàn)與線(xiàn)段相交，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍為C．若直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則的方程為或D．當(dāng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，過(guò)上的點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，則四邊形面積的最小值為【答案】CD【分析】設(shè)圓的方程為，列出方程組，求得的值，可判斷A錯(cuò)誤；連接，，求得和，得到的斜率的取值范圍，可判定B錯(cuò)誤；由直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2，得到圓心到直線(xiàn)的距離，求得的值，可判定C正確；求得，進(jìn)而得到四邊形面積的最小值，可判定D正確.【詳解】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為，故A錯(cuò)誤；連接，，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，可得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段相交時(shí)，的斜率的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線(xiàn)的距離，則，解得或，故直線(xiàn)的方程為或，故C正確；由直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，，當(dāng)最小時(shí)，四邊形的面積最小，又由，所以四邊形面積的最小值為，故D正確.故選：CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知A，B兩點(diǎn)都在直線(xiàn)上，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為，則A，B兩點(diǎn)間的距離為.【答案】【分析】設(shè)，則，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，所以，故答案為：14．在三棱錐P-ABC中，和均為等邊三角形，且二面角的大小為120°，則異面直線(xiàn)PB和AC所成角的余弦值為．【答案】/0.625【分析】取BC的中點(diǎn)O，連接OP,OA，由題意可得AO⊥BC,PO⊥BC，從而得PAO⊥平面ABC，∠POA＝120°，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】解：如圖，

取BC的中點(diǎn)O，連接OP,OA，因?yàn)楹途鶠榈冗吶切危訟O⊥BC,PO⊥BC，,所以BC⊥平面PAO，平面ABC,所以平面PAO⊥平面ABC，且∠POA的大小就是二面角P--BC--A的大小，即∠POA＝120°，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則點(diǎn)，，B(0,1,0)，，所以，，所以，所以異面直線(xiàn)PB與AC所成角的余弦值為.故答案為：15．已知雙曲線(xiàn)的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為8，且的離心率與它的一條漸近線(xiàn)的斜率之比恰好為2，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意及雙曲線(xiàn)的性質(zhì)列出關(guān)于a，b，c的方程求解即可.【詳解】設(shè)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距分別為a，b，c，由已知得，即，又焦距為8，所以，，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．16．橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，AF⊥BF，∠ABF＝，，，則橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據(jù)B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據(jù)O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用a和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即離心率e，進(jìn)而根據(jù)α的范圍確定e的范圍．【詳解】∵B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴B也在橢圓上，設(shè)左焦點(diǎn)為F′根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a

…①O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα

…②|BF|=2ccosα

…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+≤

∴≤sin（α+）≤1

∴≤e≤故答案為：[，]【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的對(duì)稱(chēng)性的靈活運(yùn)用，要特別利用好橢圓的定義，是中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．(1)設(shè)，，求；(2)求與的夾角；(3)若與互相垂直，求k．【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）由空間向量平行，得出，設(shè)，再利用列方程，進(jìn)而求得；（2）先求得，，再利用公式即可求得的值，根據(jù)反三角函數(shù)即可求得向量夾角；（3）利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值．【詳解】（1）由題可知，，由，得，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，所以或．?）因?yàn)?、、，，，所以，，則，所以與的夾角為．（3）因?yàn)?，，又與垂直，所以，解得或．18．已知圓，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交圓于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，求直線(xiàn)的方程；（2）當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí)，求弦的長(zhǎng)；（3）求直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)時(shí)，求以線(xiàn)段為直徑的圓的方程．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）求出圓的圓心，代入直線(xiàn)方程，求出直線(xiàn)的斜率，即可求直線(xiàn)l的方程；（2）當(dāng)直線(xiàn)l的傾斜角為45°時(shí)，求出直線(xiàn)的斜率，然后求出直線(xiàn)的方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，半徑，半弦長(zhǎng)的關(guān)系求弦AB的長(zhǎng)；（3）利用垂徑公式，明確是的中點(diǎn)，進(jìn)而得到以線(xiàn)段為直徑的圓的方程．【詳解】（）圓的方程可化為，圓心為，半徑為．當(dāng)直線(xiàn)過(guò)圓心，時(shí)，，∴直線(xiàn)的方程為，即．（）因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為且過(guò)，所以直線(xiàn)的方程為，即．圓心到直線(xiàn)的距離，∴弦．（）由于，而弦心距，∴，∴是的中點(diǎn)．故以線(xiàn)段為直徑的圓圓心是，半徑為．故以線(xiàn)段為直徑的圓的方程為．19．已知直線(xiàn)是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是上一點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，已知.(1)求的方程；(2)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）把用坐標(biāo)表示出來(lái)，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，聯(lián)立解得和，得拋物線(xiàn)方程；（2）由垂直求得直線(xiàn)的方程，設(shè)，直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，由此求得弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求得三角形的高，從而可得面積．【詳解】（1）由題可知準(zhǔn)線(xiàn)的方程為.因?yàn)?，所?又，所以，故的方程為.（2）由（1）可知.因?yàn)椋灾本€(xiàn)的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組整理得，則，故.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，則的面積.20．如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線(xiàn)面垂直判定可證得平面，由中位線(xiàn)性質(zhì)知，從而得到平面，由面面垂直判定可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由線(xiàn)面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，結(jié)合垂直關(guān)系可得平面的距離為，利用棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，底面四邊形為正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，又平面，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得：，，；設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，，解得：或（舍），，平面，平面，；，，平面，平面，到平面的距離為，.

21．已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)為和，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓C的方程；(2)若的面積為，求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由橢圓的定義可知的周長(zhǎng)為,由此即可求出，再結(jié)合，即可求出答案.（2）設(shè)出直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，消，利用韋達(dá)定理即可表示出、.利用即可列出方程,即可求出答案.【詳解】（1）∵的周長(zhǎng)為8，∴，即，又，且，∴，.∴橢圓C的方程為.（2）依題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立消去x得.設(shè)，，則，.∴.∴，解得.∴直線(xiàn)的方程為：或22．已知雙曲線(xiàn)與圓相切，過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn)且