26屆高三備考核心微專題 圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的25個(gè)常見結(jié)論

79.圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的25個(gè)常見結(jié)論1．橢圓焦點(diǎn)三角形的主要結(jié)論焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論：橢圓定義可知：中，（1）..（2）.焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為（3）..（4）.焦點(diǎn)三角形的面積為：.①設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大.②．S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取得最大值，最大值為bc；（5）.假設(shè)焦點(diǎn)的內(nèi)切圓半徑為，則.（6）.焦半徑公式:設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，那么，，進(jìn)一步，有推導(dǎo)：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式:，由于代入兩點(diǎn)間距離公式可得，整理化簡(jiǎn)即可得.同理可證得.（7）.設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，那么，由于,故我們有（8）若約定橢圓，分別為左、右焦點(diǎn)；頂點(diǎn)在第一象限；，則對(duì)于橢圓，離心率本節(jié)中約定已知雙曲線方程為如圖，頂點(diǎn)在第一象限，對(duì)于雙曲線焦點(diǎn)三角形，有以下結(jié)論：2．雙曲線的焦點(diǎn)三角形（1）.如圖，、是雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，記，則的面積.（2）.如圖，有，（3）.離心率.（4）.焦半徑公式：如圖，對(duì)于雙曲線，，對(duì)雙曲線，其焦半徑的范圍為.（5）.雙曲線中，焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.證明：設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為，則由切線長(zhǎng)定理可得,因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a.（6）.如圖，過焦點(diǎn)的弦的長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為.3.焦點(diǎn)四邊形如圖，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的左右焦點(diǎn)記為，則稱為橢圓的焦點(diǎn)四邊形.性質(zhì)1：為平行四邊形.性質(zhì)2：.性質(zhì)3：任意兩鄰邊之和為，?周長(zhǎng)恒為.（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）性質(zhì)4：.等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)不存在.性質(zhì)5：當(dāng)且僅當(dāng)不存在時(shí)，取最大張角.此時(shí)，取最小值.性質(zhì)6：由平行四邊形性質(zhì)可得：性質(zhì)7：由余弦定理：.由均值不等式：.則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)..性質(zhì)8：若四邊形為矩形，則.由矩形性質(zhì)可知，對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，有.（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）性質(zhì)9：設(shè)的坐標(biāo)分別為，則，.性質(zhì)10.如圖，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，的左右焦點(diǎn)記為，則為平行四邊形.4．橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)結(jié)論1：已知具有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率分別為是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，則有.證明：依題意，在中，由余弦定理得，所以，即.二．典例分析例1．（2021全國(guó)乙卷）已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A例2．（2021新高考1卷）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6解析：由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．例3．（2023新高考1卷）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．解析：將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.例4．（2023全國(guó)甲卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．解析：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．例5．（2021全國(guó)甲卷）已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．解析：因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.例6．（2023新高考1卷）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為________．解析：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.例7．（2022新高考1卷）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是____________．解析：∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.故答案為：13.例8.（2024年新高考1卷）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為____________．解析：由題可知三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入，得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案為：下面是一些優(yōu)質(zhì)的模擬試題例8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．有下列結(jié)論：①四邊形為平行四邊形；②若軸，垂足為，則直線的斜率為；③若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則四邊形的面積為；④若，則橢圓的離心率可以是．其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．0解析：對(duì)于①中，如圖（1）所示，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，可得為的中點(diǎn)，且也是的中點(diǎn)，所以與互相平分，四邊形為平行四邊形，所以①正確；對(duì)于②中，如圖（2）所示，設(shè)，則，不妨設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，則，可得，即所以直線的斜率為，所以②正確；對(duì)于③中，如圖（3）所示，不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，因?yàn)椋匀c(diǎn)共圓，所以，可得，又由橢圓的定義得，所以，可得，所以的面積為，所以的面積為，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④中，設(shè)，可得，可得，又由，可得，同理可得，要使得，則滿足，即，因?yàn)椋?，解得，又因?yàn)?，所以，所以離心率可能為，所以④正確.故選：A.例9．（2014年湖北卷）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）A． B． C．3 D．2解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，半焦距為，由橢圓和雙曲線的定義可知，設(shè)，橢圓和雙曲線的離心率分別為由余弦定理可得，①在橢圓中，①化簡(jiǎn)為即即在雙曲線中，①化簡(jiǎn)為即即③聯(lián)立②③得，由柯西不等式得即（即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選A例10.（2019全國(guó)1卷）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A． B． C． D．解：如圖所示：設(shè)，由，代入焦半徑公式到可得：.再由.結(jié)合（1），（2）式可得，，故，，這樣在三角形與三角形中分別使用余弦定理可得:.三．習(xí)題演練1．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（

）A．9 B．3 C．4 D．8解析：由焦點(diǎn)三角形面積公式得，故選：B2．已知橢圓，其左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，若的內(nèi)切圓的面積為，則該橢圓的方程為（

）A． B． C． D．解析：所以，而，所以可得，解得，，由，得，所以該橢圓的方程為．故選：A．3．設(shè)、分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.4.（2025浙江紹興高三二模）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．10 D．14解析：對(duì)于雙曲線，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（），可得，．則．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，即；同理，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，即．所以．根據(jù)三角形三邊關(guān)系，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．又，則，即．所以的最小值為10．故選：C．5．（2025廣東廣州高三二模）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線與相交于兩點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．解析：由題意作出圖形如圖所示：

設(shè)，又，所以，又，，所以，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所以，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，整理得，所以，解?故選：D.6．（2025廣東高三一模）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)?，由橢圓的定義可得，所以，，因?yàn)?由余弦定理可得所以，整理可得，所以，即.故選：A.7．（2025山東濟(jì)南高三一模）已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C．內(nèi)切圓半徑的最大值為 D．外接圓半徑的最小值為1解析對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由三角形中位線得，因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)在第二三象限時(shí)，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，?dāng)點(diǎn)在上頂點(diǎn)時(shí)，最大，所以，所以，所以，所以由三角形相似可得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，又，所以內(nèi)切圓半徑的最大值為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，故D正確.故選：ACD8．（2025遼寧沈陽(yáng)高三一模）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．解析：對(duì)橢圓，易得，，，因?yàn)闉槎梯S的一個(gè)端點(diǎn)，不妨設(shè).設(shè)為橢圓上一點(diǎn).

對(duì)A選項(xiàng)：因?yàn)椋?，?所以.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1，；當(dāng)時(shí)，取得最大值4.所以.故A正確；對(duì)B選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，，所以不正確，故B錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)：顯然，因?yàn)?/p>