高中數(shù)學(xué)祖暅原理與柱體錐體的體積 教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)段高中學(xué)科數(shù)學(xué)課題祖暅原理與柱體錐體的體積1.教材分析（一）地位與作用祖暅原理出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)立體幾何章節(jié)。它是推導(dǎo)柱體、錐體等體積公式的關(guān)鍵依據(jù)，在教材中起到承上啟下的作用。此前學(xué)生已學(xué)習(xí)了幾何體的結(jié)構(gòu)特征等知識，祖暅原理在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究柱體丶錐體體積的計(jì)算方法。同時，該原理體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和民族自豪感。（二）內(nèi)容結(jié)構(gòu)先通過平面圖形等積定理進(jìn)行類比推理，引出祖暅原理，即“冪勢既同，則積不容異”。接著會對原理進(jìn)行詳細(xì)解釋，強(qiáng)調(diào)其三個應(yīng)用條件：一是兩個幾何體夾在兩個平行平面之間；二是用平行于這兩個平面的任意平面去截兩個幾何體；三是截得的截面面積總相等。隨后，教材會運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體的體積公式，通過將柱體、錐體與已知體積公式的長方體或其他簡單幾何體進(jìn)行對比，利用祖暅原理得出它們的體積關(guān)系。2.教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)要求學(xué)生理解祖暅原理，能用其推導(dǎo)柱體、錐體的體積公式，并會運(yùn)用公式解決相關(guān)體積計(jì)算問題。能力目標(biāo)通過對原理的探究和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思維方法。素養(yǎng)目標(biāo)通過動態(tài)幾何軟件或者實(shí)物模型培養(yǎng)學(xué)生對三維空間結(jié)構(gòu)的直觀感知，通過體積公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的科學(xué)素養(yǎng)情感目標(biāo)讓學(xué)生了解中國古代數(shù)學(xué)的偉大成就，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和民族自豪感，同時培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神。3.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：祖暅原理的理解以及柱體錐體體積公式的推導(dǎo)難點(diǎn)：祖暅原理的抽象性與適用條件利用三棱柱推導(dǎo)錐體的體積4.學(xué)情分析學(xué)生已有基礎(chǔ)

1.知識儲備

①已掌握柱體、錐體的幾何結(jié)構(gòu)特征

②熟悉長方體、正方體體積公式（V

=

底面積×高）及簡單幾何體的體積計(jì)算。

③對平面幾何中的“等積變換”（如平行四邊形面積推導(dǎo)）有一定認(rèn)知，可類比遷移到立體幾何。

2.

能力基礎(chǔ)

①具備初步的空間想象能力，能識別簡單幾何體的截面形狀。

②掌握邏輯推理的基本方法（如歸納、類比），但對“等價轉(zhuǎn)化”等高等數(shù)學(xué)思想的理解仍較薄弱。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)與障礙

①原理抽象性導(dǎo)致理解困難，祖暅原理的核心“冪勢既同，則積不容異”這一核心有點(diǎn)抽象學(xué)生難以理解

②體積公式推導(dǎo)的邏輯鏈條復(fù)雜，柱體體積推導(dǎo)需構(gòu)造“底面積相等、高相等的長方體與柱體”，但學(xué)生可能不理解為何選擇長方體作為“參照幾何體”。錐體體積推導(dǎo)涉及“等底等高的柱體與錐體體積關(guān)系”，需通過分割、拼接或補(bǔ)形（如三棱柱分割為三個等體積三棱錐）輔助理解，空間操作難度大，邏輯步驟多，易導(dǎo)致思維斷層。5.教學(xué)策略一、情境導(dǎo)入：①視頻導(dǎo)入：播放祖沖之、祖暅父子的數(shù)學(xué)成就視頻介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣②生活情境類比：（直觀感知）一摞書本，使它傾斜一定角度體積不變。

二、原理探究：分層拆解，結(jié)合GGB動圖演示突破抽象難點(diǎn)①平面到空間的類比遷移（溫故知新）②實(shí)驗(yàn)操作：用若干相同硬幣堆疊成“直圓柱”和“斜棱柱”，觀察高度、每層截面積與總體積的關(guān)系。三、公式推導(dǎo)：循序漸進(jìn)，滲透數(shù)學(xué)思想①柱體體積推導(dǎo)（從特殊到一般）②錐體體積推導(dǎo)（轉(zhuǎn)化與分割思想）5.教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容與問題設(shè)計(jì)教師行為學(xué)生活動一丶情景導(dǎo)入：播放祖沖之和祖暅父子的數(shù)學(xué)成就視頻二丶提出問題：haaa問題1：如圖所示的三個圖形的haaa 教師解答：相等夾在兩條平行線之間的幾何圖形，被平行于這兩個直線的任意直線所截，如果截得的線段的長度總相等，那么這兩個圖形的面積相等問題2：你能把這一結(jié)論推廣到空間中嗎？？問題3：將一疊課本或者硬幣放在桌面上，然后再將它們推歪，變化前后的體積會變化嗎？為什么？引發(fā)學(xué)生的思考，激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而引出本節(jié)課的課題——祖暅原理觀看視頻，相互討論，回答問題設(shè)計(jì)意圖：以視頻和問題引入新課，能夠引起學(xué)生的好奇心和探索欲，使學(xué)生迅速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，調(diào)動學(xué)生的積極性，同時明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。三丶探索新知：祖暅原理：冪勢既同，則積不容異1.文字解釋：夾在兩個平行平面間的幾何體，如果被平行與這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等2.讓學(xué)生們觀看GGB動圖進(jìn)一步理解祖暅原理引導(dǎo)理解祖暅原理聽老師講解，和觀看GGB動圖嘗試?yán)斫庾鏁溤碓O(shè)計(jì)意圖：通過GGB動圖和文字對祖暅原理分別進(jìn)行解釋，使學(xué)生更加直觀具體的理解祖暅原理四丶祖暅原理的應(yīng)用1一柱體的體積問題4：根據(jù)祖暅原理，如圖等底等高的柱體和長方體體積相等嗎？為什么？利用GGB動圖和祖暅原理可知它們的體積相等問題5：能否利用長方體的體積公式推出柱體的體積？教師解答：引導(dǎo)學(xué)生思考，借助GGB動圖和祖暅原理證明等底等高的柱體和長方體體積相等并推導(dǎo)出柱體的體積公式。積極思考，回答問題，認(rèn)真聽講，理解柱體體積公式的推導(dǎo)過程設(shè)計(jì)意圖：初次感受祖暅原理的應(yīng)用，將復(fù)雜幾何體的體積轉(zhuǎn)化為簡單可計(jì)算的幾何體，體會轉(zhuǎn)化和劃歸的思想五丶祖暅原理的應(yīng)用2一證明等底等高的棱錐和圓錐的體積相等問題6：如圖等底等高的錐體體積相等嗎？為什么？（小組討論）教師解答：由相似可知在等高處的錐體的截面面積是相等的再結(jié)合祖暅原理可知體積相等。巡視課堂，觀察學(xué)生討論情況，適時給予指導(dǎo)和提示。積極參與小組討論，遇到問題可與同學(xué)交流或請教老師。設(shè)計(jì)意圖：通過小組討論，鞏固學(xué)生對祖暅原理的理解和應(yīng)用，提升學(xué)生解決問題的能力。五丶祖暅原理的應(yīng)用3一求錐體的體積問題7：底面積為S，高為h的三棱柱可以分解成三個體積相等的三棱錐嗎？小組討論，并說明。教師解答：如圖可以分成三個體積相等的三棱錐問題8：如何借助三棱柱來求錐體的體積？教師解答：等底等高時，巡視課堂，觀察學(xué)生討論情況，適時給予指導(dǎo)和提示。積極參與小組討論，遇到問題可與同學(xué)交流或請教老師設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會三棱錐的體積可以轉(zhuǎn)化為三棱柱的體積的三分之一，再根據(jù)祖暅原理得出一般錐體的體積公式，進(jìn)一步強(qiáng)化了劃歸與轉(zhuǎn)化思想，提升了數(shù)學(xué)思維。6.課程小結(jié)一丶數(shù)學(xué)知識：二丶數(shù)學(xué)思想：祖暅原理：冪勢既同，則積不容異①類比歸納柱體體積公式：