第08講 有理數(shù)的混合運(yùn)算-蘇科版新七年級(jí)《數(shù)學(xué)》小升初自學(xué)課提升講義

PAGE1第08講 有理數(shù)的混合運(yùn)算內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：主動(dòng)學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析，全方位預(yù)習(xí)講典例練習(xí)題：教材習(xí)題學(xué)解題，快速掌握解題方法練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：兩大核心考點(diǎn)五種常考題型精準(zhǔn)練第二步：用心記串知識(shí)識(shí)框架：學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握，思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)脈絡(luò)，理清知識(shí)之間的聯(lián)系第三步：限時(shí)測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：過關(guān)檢測(cè)效果好，查漏補(bǔ)缺練考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)的混合運(yùn)算有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：（混合運(yùn)算三原則）(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．名師點(diǎn)撥：（1）有理數(shù)運(yùn)算分三級(jí)，并且從高級(jí)到低級(jí)進(jìn)行運(yùn)算，加減法是第一級(jí)運(yùn)算，乘除法是第二級(jí)運(yùn)算，乘方是第三級(jí)運(yùn)算；（2）在含有多重括號(hào)的混合運(yùn)算中，一般都按從里向外的順序進(jìn)行，特別時(shí)候也可以從從外向里．（3）運(yùn)算前要認(rèn)真審題，看能否使用運(yùn)算律，能用的可以簡(jiǎn)化計(jì)算，提高正確率．知識(shí)點(diǎn)2：合理運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算1.加法運(yùn)算律： 加法交換律：加法結(jié)合律：2.乘法交換律：乘法交換律：乘法結(jié)合律：乘法分配律：3.靈活選用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算律，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，減少錯(cuò)誤。運(yùn)用乘法分配率時(shí)要根據(jù)自己的基礎(chǔ)情況選用。教材習(xí)題第62頁(yè)習(xí)題第3（2）題計(jì)算：解題方法指導(dǎo)本題很多同學(xué)易錯(cuò)用分配率；正確做法應(yīng)按照混合運(yùn)算的順序計(jì)算【分析】錯(cuò)誤解法提醒：錯(cuò)用分配率計(jì)算；…………此處錯(cuò)誤使用了分配率點(diǎn)撥：此處錯(cuò)誤使用了分配率，牢記：沒有的規(guī)律不能自己隨便亂造。正確解法：教材習(xí)題62頁(yè)習(xí)題第3（3）題計(jì)算：解題方法指導(dǎo)1.注意對(duì)比上一題；2.此題可以使用乘法分配率計(jì)算；3.如果自己通分學(xué)得比較好的同學(xué)建議使用通分做，好處是寫的少?！痉治觥拷夥ㄒ唬菏褂贸朔ǚ峙渎捎?jì)算解法二：直接通分，按順序計(jì)算題型1 有理數(shù)的混合運(yùn)算問題1．計(jì)算：(1) (2)(3) (4)【答案】(1)(2)(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算律【分析】本題考查的是求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，加法的運(yùn)算律，乘法的運(yùn)算律，含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)加減乘除，乘方運(yùn)算的運(yùn)算法則與運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵.（1）利用加法的運(yùn)算律，把分母相同的兩個(gè)數(shù)先加，從而可得答案；（2）利用乘法的分配律把原式化為：，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減運(yùn)算即可；（3）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，同步計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算，最后計(jì)算加減運(yùn)算即可；（4）先計(jì)算乘方運(yùn)算，同步計(jì)算除法與絕對(duì)值，再計(jì)算乘法運(yùn)算，最后計(jì)算加減運(yùn)算即可.【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：.2．計(jì)算：(1) (2)(3) (4)【答案】(1)(2)(3)6(4)【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡(jiǎn)化．（1）先去括號(hào)，再根據(jù)有理數(shù)加減法法則計(jì)算即可；（2）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)有理數(shù)乘法法則計(jì)算即可；（3）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式3．計(jì)算：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、有理數(shù)加法運(yùn)算、有理數(shù)的除法運(yùn)算【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，乘法運(yùn)算律，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算，即可作答．（2）先運(yùn)算乘方以及化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再運(yùn)算乘除，最后運(yùn)算減法，即可作答．（3）先把除法化為乘法，再運(yùn)用有理數(shù)的乘法運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，即可作答．（4）先運(yùn)算乘方以及化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再運(yùn)算乘法，最后運(yùn)算加減，即可作答．【詳解】（1）解：；（2）解：．．（3）解：；（4）解：．4．計(jì)算：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算律【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）按照加減法運(yùn)算法則運(yùn)算即可；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加法即可；（3）逆用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（4）先算乘方，計(jì)算括號(hào)內(nèi)的值，再算乘法，最后算加減即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．5．計(jì)算：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1)0(2)(3)0(4)【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵：（1）利用交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)算即可；（2）先乘方，再乘除，最后算加減；（3）先乘方，再乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)；（4）逆用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：．（2）：．（3）；（4）．題型2 有理數(shù)混合運(yùn)算的新定義問題1．對(duì)于有理數(shù)，，定義運(yùn)算：，如．(1)計(jì)算的值；(2)計(jì)算的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算：（1）利用新定義的運(yùn)算法則及有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解；（2）利用新定義的運(yùn)算法則及有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解．【詳解】（1）解：依題意得：；（2）解：．2．閱讀理解，解答相關(guān)問題．定義“*”運(yùn)算：a，b是有理數(shù)，，例如；；(1)計(jì)算：①；②．(2)是否存在整數(shù)m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)①8；②82(2)存在，2或6或【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）①直接根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算即可；②直接根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）現(xiàn)根據(jù)新定義列式得出，再進(jìn)行分類討論求出m、n的值，進(jìn)而計(jì)算即可．【詳解】（1）解：①；②；（2）解：存在，理由如下：∵，∴，∵m，n為整數(shù)，∴或或或，∴或或或，∴或或或，∴的值為2或6或．3．我們定義一種新運(yùn)算：．例如：．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)1(2)4【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了新定義，含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算：（1）根據(jù)新定義得到，據(jù)此代值計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義得到，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：．4．對(duì)于任意有理數(shù)a，b，我們定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定：，如：．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)49；(2)109．【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)新定義的法則，結(jié)合有理數(shù)的相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．（2）先根據(jù)新定義計(jì)算，再計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：．所以的值為49．（2）解：；．所以的值為109．5．若定義一種新的運(yùn)算“*”，規(guī)定有理數(shù)，如．(1)求的值；(2)請(qǐng)你猜測(cè)這種新的運(yùn)算“*”是否具有乘法交換律？并寫出驗(yàn)證過程．【答案】(1)(2)這種新的運(yùn)算“*”不具有乘法交換律，過程見解析；【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義運(yùn)算．（1）把相應(yīng)的值代入新定義的運(yùn)算中，結(jié)合有理數(shù)的相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)新定義，分別計(jì)算，即可驗(yàn)證是否具有乘法交換律．【詳解】（1）解：；（2）解：∵，，而，∴這種新的運(yùn)算“*”不具有乘法交換律；題型3 與有理數(shù)混合運(yùn)算有關(guān)的程序圖問題1．仔細(xì)觀察下圖的操作步驟，然后回答問題．（寫出計(jì)算過程）求當(dāng)輸入的數(shù)分別是和4時(shí)，輸出的數(shù)分別是多少？【答案】；【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意列出相應(yīng)的算式，計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)輸入的數(shù)是時(shí)，，相反數(shù)是，；當(dāng)輸入的數(shù)是時(shí)，，．2．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師用，，，四張圓形卡片分別代表一種運(yùn)算，并依據(jù)這四張圓形卡片設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)游戲，學(xué)生可以將卡片，，，的順序重新排序，進(jìn)行一次列式計(jì)算．例如，若按的順序進(jìn)行運(yùn)算，則可列算式為．當(dāng)卡片或排在第一張時(shí)，可以選擇任意一個(gè)有理數(shù)進(jìn)行卡片或的運(yùn)算，然后再將剩余卡片繼續(xù)運(yùn)算．例如，若選擇，并按的順序進(jìn)行運(yùn)算，則可列算式為．(1)算式的結(jié)果為______，算式的結(jié)果為______；(2)若甲同學(xué)選擇了的運(yùn)算順序，求甲同學(xué)列式計(jì)算的結(jié)果；(3)乙同學(xué)選了，并按（______）→（______）的順序運(yùn)算，若乙同學(xué)列式計(jì)算的結(jié)果剛好為，求乙同學(xué)選擇的運(yùn)算順序．【答案】(1)，；(2)9；(3)【知識(shí)點(diǎn)】程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)的運(yùn)算順序，列出算式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分兩種情況：或列出算式，求出結(jié)果進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：，，故答案為：，；（2）解：∵甲同學(xué)選擇了的運(yùn)算順序，∴可列算式，∵，∴他的計(jì)算結(jié)果為；（3）解：∵乙同學(xué)選了，并按（______）→（______）的順序運(yùn)算，∴將剩下的卡片有兩種情況：或，當(dāng)按運(yùn)算時(shí)，可列算式，此時(shí)計(jì)算結(jié)果為：；當(dāng)按運(yùn)算時(shí)，可列算式，此時(shí)計(jì)算結(jié)果為：；∵乙同學(xué)列式計(jì)算的結(jié)果剛好為，∴乙同學(xué)選擇的順序?yàn)椋?．如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組編了一道有理數(shù)混合運(yùn)算題，即輸入一個(gè)有理數(shù)，按照自左向右的順序運(yùn)算，可得計(jì)算結(jié)果，其中“·”表示一個(gè)有理數(shù)．若“·”表示2，輸入的數(shù)為，求計(jì)算結(jié)果．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)程序流程圖，進(jìn)行運(yùn)算，根據(jù)流程圖，按照有理數(shù)混合運(yùn)算法則計(jì)算即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意得．4．小明同學(xué)設(shè)計(jì)了4張如圖寫有不同運(yùn)算的卡片，，，，小明選擇一個(gè)有理數(shù)，讓小聰選擇，，，的順序，進(jìn)行一次列式計(jì)算．如：選擇了2和的順序，其結(jié)果是...(1)當(dāng)小明選擇了3，小聰選擇的順序，列出算式并計(jì)算結(jié)果；(2)當(dāng)小明選擇了，小聰選擇了的順序，若列式計(jì)算的結(jié)果剛好為，請(qǐng)判斷小聰選擇的順序并列出算式．【答案】(1)(2)；【知識(shí)點(diǎn)】程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查程序流程圖與有理數(shù)的混合運(yùn)算：（1）按照選擇的順序列式計(jì)算即可；（2）按照，兩種順序分別計(jì)算，看哪個(gè)結(jié)果剛好是即可．【詳解】（1）解：由題意，算式為：，（2）解：若選擇，可得：，若選擇，可得：，∴小聰選擇的順序?yàn)椋?．如圖，這是一個(gè)計(jì)算程序．(1)若輸入的值為1，求輸出的值．(2)若輸入的值為，直接寫出輸出的值．【答案】(1)輸出的值為(2)【知識(shí)點(diǎn)】程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查了程序流程圖，含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）將1代入，得，將代入，得．然后輸出即可；（2）由，可知輸出的值仍為．【詳解】（1）解：將1代入，得，將代入，得．∴輸出的值為；（2）解：∵，∴輸出的值仍為．題型4 有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用1．聰明的小明根據(jù)某市自來水公司的居民用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，制定了如下水費(fèi)計(jì)算程序轉(zhuǎn)換機(jī)示意圖：(1)根據(jù)該程序轉(zhuǎn)換機(jī)計(jì)算下列各戶月應(yīng)繳納水費(fèi)（元）用戶張大爺劉奶奶王阿姨小明家輸入（m3）7151825輸出（元）(2)當(dāng)時(shí)，月應(yīng)繳納水費(fèi)元.（用含x的代數(shù)式表示）；(3)小麗家某月繳納水費(fèi)120元，則小麗家該月用水多少？【答案】(1)21、45、60、95(2)(3)30【知識(shí)點(diǎn)】電費(fèi)和水費(fèi)問題(一元一次方程的應(yīng)用)、列代數(shù)式、程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算【分析】本題考查了根據(jù)程序圖求代數(shù)式的值，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠讀懂示意圖的意思，列出代數(shù)式．（1）根據(jù)用水量的多少和兩種不同的計(jì)算方法計(jì)算水費(fèi)即可；（2）用15立方米的水費(fèi)加上比15立方米多的部分的水費(fèi)即可；（3）代入總水費(fèi)120元，求得用水量即可．【詳解】（1）解：張大爺應(yīng)繳納水費(fèi)：（元），劉奶奶應(yīng)繳納水費(fèi)：（元），王阿姨應(yīng)繳納水費(fèi)：（元），小明家應(yīng)繳納水費(fèi)：（元），故答案為：21、45、60、95；（2）由水費(fèi)計(jì)算程序轉(zhuǎn)換機(jī)示意圖可知：當(dāng)時(shí)，月應(yīng)繳納水費(fèi)為（元），故答案為：；（3），小麗家該月用水，，解得：，答：小麗家該月用水多少．2．為積極響應(yīng)政府提出的“綠色發(fā)展．低碳出行”號(hào)召，某自行車廠決定生產(chǎn)一批共享單車投入市場(chǎng)．該廠原計(jì)劃一周生產(chǎn)1400輛共享單車，平均每天生產(chǎn)200輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況：（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）星期一二三四五六日增減(1)根據(jù)記錄可知星期一生產(chǎn)___________輛；(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)___________輛；(3)該廠實(shí)行每周計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一輛車可得60元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每輛另獎(jiǎng)15元；少生產(chǎn)一輛扣15元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？【答案】(1)205(2)22(3)84375元【知識(shí)點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)、有理數(shù)的四則運(yùn)算的應(yīng)用．（1）表格中星期一的增減數(shù)據(jù)為，在與計(jì)劃的200相加，即可得到答案；（2）表格中增減數(shù)據(jù)最大的是產(chǎn)量最多的一天，增減數(shù)據(jù)最小的是產(chǎn)量最少的一天，兩個(gè)數(shù)據(jù)相減，即可得到答案；（3）先將表格中這一周的增減數(shù)據(jù)全部相減，若是正數(shù)，則是超額完成，若是負(fù)數(shù)，則少生產(chǎn)了，再列式計(jì)算．【詳解】（1）解：因?yàn)楸砀裰行瞧谝坏脑鰷p數(shù)據(jù)為，所以星期一生產(chǎn)的單車輛數(shù)為：，故答案為：205；（2）解：因?yàn)楸砀裰性鰷p數(shù)據(jù)最大的是產(chǎn)量最多的一天，增減數(shù)據(jù)最小的是產(chǎn)量最少的一天，所以產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)的單車輛數(shù)為：，故答案為：22；（3）解：因?yàn)?，所以這周超額完成任務(wù)，所以這一周的工資總額為：（元），答：該廠工人這一周的工資總額是84375元．3．一名交警騎交警鐵騎從崗?fù)こ霭l(fā)，在東西走向的公路上執(zhí)勤，如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，這天早上的行駛里程（單位：千米）如下：，，，，，，(1)請(qǐng)問現(xiàn)在這名交警離崗?fù)ざ噙h(yuǎn)，在崗?fù)|面還是西面？(2)若交警鐵騎每100千米耗油3升，這名交警現(xiàn)在接到指令，立刻返回崗?fù)ぃ@天早上交警鐵騎一共耗油多少升？【答案】(1)這名交警離崗?fù)?千米，在崗?fù)|面(2)這天早上交警鐵騎一共耗油1.2升【知識(shí)點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，正數(shù)和負(fù)數(shù)，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．（1）將所有的行程里程相加，再根據(jù)得到的數(shù)的正負(fù)判斷東西面；（2）將所有的行程里程的絕對(duì)值求和，根據(jù)每千米耗油升進(jìn)行求解．【詳解】（1）（千米）答：這名交警離崗?fù)?千米，在崗?fù)|面．（2）（升）答：這天早上交警鐵騎一共耗油升．4．外賣送餐為日常生活帶來了許多便利．某學(xué)習(xí)小組調(diào)查了一名外賣員一周的送餐情況，規(guī)定每天送餐量超過50單（送一次外賣稱為一單）的部分，記為“”，低于50單的部分，記為“”，下表是該外賣員一周的送餐量．星期一二三四五六日送餐量／單(1)該外賣員這一周送餐量最多的一天比最少的一天多______單．(2)外賣員每單的底薪為4元．若當(dāng)天送餐量超過50單，超過的每一單，獎(jiǎng)勵(lì)2元；當(dāng)天送餐量不足50單，不足的每一單，扣款1元．求該外賣員這一周的收入．【答案】(1)20(2)1476元【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用、正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出算式是解題的關(guān)鍵．（）用最大數(shù)減最小數(shù)即可求解；（）根據(jù)題意列出算式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：（單），∴這一周送餐量最多的一天比最少的一天多20單，（2）解：（單），（元），答：外賣員這一周的收入為1476元．5．水果店有20箱櫻桃，以每箱5千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過5千克的數(shù)記為正數(shù)，不足5千克的數(shù)記為負(fù)數(shù)，稱重記錄如下：與標(biāo)準(zhǔn)重量的差值（單位：千克）00.10.30.6箱數(shù)（箱）21254m4(1)求m的值和這20箱櫻桃的總質(zhì)量；(2)若這批櫻桃的批發(fā)價(jià)是200元/箱，售價(jià)是55元/千克，該水果店第一天銷售了這批櫻桃的，第二天打八折把剩余的櫻桃全部售出．水果店在銷售這批櫻桃過程中是盈利還是虧損，盈利或虧損多少元？【答案】(1)，總質(zhì)量為千克；(2)水果店在銷售這批櫻桃過程中是盈利，盈利元．【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【分析】此題考查有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，（1）總箱數(shù)減去其他箱數(shù)即可得到m的值，將所有箱的重量相加即可得到總質(zhì)量；（2）分別求出總售價(jià)及總進(jìn)價(jià)，即可得到銷售盈利．【詳解】（1）解：，這20箱櫻桃的總質(zhì)量為（千克）；（2）解：總售價(jià)為（元），總進(jìn)價(jià)為（元），∵，（元），∴水果店在銷售這批櫻桃過程中是盈利，盈利元．題型5 有理數(shù)混合運(yùn)算與24點(diǎn)游戲1．24點(diǎn)游戲是一種使用撲克牌來進(jìn)行的益智類游戲，游戲內(nèi)容是：從一副撲克牌（去掉大王、小王剩下52張）中任意抽取4張牌，把牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算，使得運(yùn)算結(jié)果為24．每張牌必須用一次且只能用一次，可以加括號(hào)．其中?，?表示正，?，?表示負(fù)，分別代表1，11，12，13．（1）在玩“24點(diǎn)”游戲時(shí)，小明抽到圖1的4張牌，請(qǐng)你幫他寫出2個(gè)運(yùn)算結(jié)果為24的算式：______，______；（2）在玩“24點(diǎn)”游戲時(shí)，小剛抽到圖2的4張牌，請(qǐng)你幫他寫出1個(gè)運(yùn)算結(jié)果為24的算式：______．【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】算“24”點(diǎn)【分析】本題考查了有理數(shù)四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)題意可得圖1中的4張牌分別代表，再根據(jù)和列出算式即可得；（2）先根據(jù)題意可得圖2中的4張牌分別代表，再根據(jù)列出算式即可得．【詳解】解：（1）由題意得：圖1中的4張牌分別代表，則運(yùn)算結(jié)果為24的算式：，，故答案為：，（答案不唯一）．（2）由題意得：圖2中的4張牌分別代表，則運(yùn)算結(jié)果為24的算式：，故答案為：（答案不唯一）．2．有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求選擇卡片，完成下列各題：(1)從中選擇兩張卡片①使這兩張卡片上數(shù)字之和最大，請(qǐng)列出算式并計(jì)算結(jié)果_____；②使這兩張卡片上數(shù)字之差最小，請(qǐng)列出算式并計(jì)算結(jié)果_____；③使這兩張卡片上數(shù)字之積最大，請(qǐng)列出算式并計(jì)算結(jié)果_____；④使這兩張卡片上數(shù)字之商最小，請(qǐng)列出算式并計(jì)算結(jié)果_____；(2)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當(dāng)運(yùn)算（可加括號(hào)），使其運(yùn)算結(jié)果為24，寫出算式及運(yùn)算過程．（寫出兩種即可）【答案】(1)見解析(2)見詳解【知識(shí)點(diǎn)】算“24”點(diǎn)、有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)兩個(gè)最大的數(shù)相加，得出；②運(yùn)用最小的數(shù)減去最大數(shù)，所得的差最小；③根據(jù)同號(hào)得正，且結(jié)合正數(shù)最大，進(jìn)行作答；④根據(jù)異號(hào)得負(fù)，且結(jié)合負(fù)數(shù)最小，進(jìn)行作答；（2）結(jié)合從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當(dāng)運(yùn)算（可加括號(hào)），使其運(yùn)算結(jié)果為24，進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：①依題意，，故答案為：9；②依題意，，故答案為：；③依題意，，故答案為：；④依題意，，故答案為：；（2）解：依題意，；．3．紅紅有5張寫著以下數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，解決下列問題：(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相減的差最大，最大值是______．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相除的商最小，最小值是______．(3)從中取出0以外的4張卡片，將這4個(gè)數(shù)字進(jìn)行加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算，使結(jié)果為24，寫出一種符合要求的運(yùn)算等式．（注：每個(gè)數(shù)字只能用一次）．【答案】(1)5(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、算“24”點(diǎn)【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題干要求選取3，，列式運(yùn)算即可；（2）依據(jù)題干要求選取1，，列式運(yùn)算即可；（3）按要求列式運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴從中取出2張卡片，數(shù)字相減的差最大，最大值是．（2）解：從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相除的商最小，最小值是．（3）解：由題意得：；∴取出的4個(gè)數(shù)進(jìn)行的運(yùn)算式為．4．如圖，5張卡片上面分別標(biāo)注了一個(gè)數(shù)，請(qǐng)你從中選取4張卡片，僅使用“+，－，×，÷”四種運(yùn)算符號(hào)（可用括號(hào)）將這些卡片上的數(shù)連起來，組合成一個(gè)式子，使其計(jì)算結(jié)果為24．請(qǐng)寫出兩個(gè)不同的式子．方案一：我選的是________，列出的算式是________．方案二：我選的是________，列出的算式是________．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】算“24”點(diǎn)【分析】此題考查有理數(shù)的四則混合運(yùn)算．解答此題應(yīng)根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)，四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，進(jìn)行嘗試湊數(shù)即可解決問題．【詳解】解：有如下幾種方案：（1）選擇，，，3，列出的算式是等；（2）選擇，，，6，列出的算式是等；（3）選擇，，3，6，列出的算式是等；（4）選擇，，3，6，列出的算式是等；（5）選擇，，3，6，列出的算式是等．5．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師拿來5張數(shù)字卡片（如圖），讓同學(xué)們按照要求抽出相應(yīng)的卡片，并完成下列問題．(1)從中抽取2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相除商最?。?2)從中抽取4張卡片，用學(xué)過的運(yùn)算方法，使結(jié)果為24．寫出運(yùn)算式子．（寫出一種即可）【答案】(1)和(2)（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】算“24”點(diǎn)、有理數(shù)除法的應(yīng)用【分析】本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是平時(shí)強(qiáng)化計(jì)算能力的訓(xùn)練，提高計(jì)算的速度和技巧．（1）要找相除商最小的就要找符號(hào)相異且絕對(duì)值最大的數(shù)和絕對(duì)值最小的數(shù)，進(jìn)而求解即可；（2）答案不唯一，用加減乘除只要答數(shù)是24即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，要找相除商最小的就要找符號(hào)相異且絕對(duì)值最大的數(shù)和絕對(duì)值最小的數(shù)，∴應(yīng)抽取的卡片為和，∴；（2）解：抽取，5，，3∴（答案不唯一）．知識(shí)導(dǎo)圖記憶知識(shí)目標(biāo)復(fù)核1.掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的順序，并能熟練地進(jìn)行有理數(shù)加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算.2.在有理數(shù)的混合運(yùn)算中，能合理地利用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.一、選擇題1．在數(shù)學(xué)課上，老師讓甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別做了一道有理數(shù)計(jì)算題，你認(rèn)為做對(duì)的同學(xué)是（

）甲：

乙：丙：

?。篈．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)含乘方的混合運(yùn)算，按照有理數(shù)的運(yùn)算順序與法則依次進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，故甲計(jì)算錯(cuò)誤；，故乙計(jì)算正確；，故丙計(jì)算錯(cuò)誤；，故丁計(jì)算錯(cuò)誤；故選：B．2．下列計(jì)算中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則逐一計(jì)算即可判斷．【詳解】解：A、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，此選項(xiàng)正確，符合題意；D、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．3．下列式子計(jì)算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算．利用有理數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：，則選項(xiàng)A不符合題意；，則選項(xiàng)B符合題意；，則選項(xiàng)C不符合題意；，則選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．4．計(jì)算，得（

）A．11 B．13 C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減運(yùn)算即可．【詳解】解：；故選：A5．如圖，是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)，若輸入數(shù)為3，則輸出數(shù)是（

）A．8 B．9 C．60 D．64【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算【分析】本題主要考查程序圖和有理數(shù)的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)程序圖正確列式進(jìn)行計(jì)算．將3輸入數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)可得：，再根據(jù)有理數(shù)的乘方和加減法法則進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：，，故選：C．6．我們定義一種新的運(yùn)算“”，并且規(guī)定：，例如：，則的值為（

）．A．5 B． C．3 D．4【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．因?yàn)槎x一種新的運(yùn)算“”，并且規(guī)定：，所以，即可作答．【詳解】解：∵定義一種新的運(yùn)算“”，并且規(guī)定：，∴．故選：A．7．規(guī)定一種新運(yùn)算：，如，則（）A．11 B．13 C．-3 D．-5【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義，按照新定義方法把算式轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算，計(jì)算求解即可．【詳解】解：，故選：B．8．某地探空氣球的氣象觀測(cè)資料表明，高度每增加1千米，氣溫大約降低．若該地地面溫度為，高空某處溫度為，則此處的高度是（

）A．4千米 B．7千米 C．8千米 D．10千米【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：，則此處的高度為．故選：B．9．對(duì)有理數(shù)，，規(guī)定運(yùn)算如下：，則的值為（

）A． B． C． D．24【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，理解新運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．根據(jù)新運(yùn)算法則，先求得，再求解即可．【詳解】解：，∴，故選：D．10．如圖，是一個(gè)有理數(shù)運(yùn)算程序的流程圖，請(qǐng)根據(jù)這個(gè)程序回答問題：當(dāng)輸入的x為2時(shí)，求最后輸出的結(jié)果y是（

）A． B． C． D．1【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算【分析】本題主要考查了與程序流程圖有關(guān)的有理數(shù)計(jì)算，先把代入計(jì)算，若結(jié)果不大于1，則把結(jié)果作為新數(shù)輸入計(jì)算，如此反復(fù)直至計(jì)算的結(jié)果大于1并輸出，據(jù)此求解即可．【詳解】解：，把1作為新數(shù)輸入時(shí)，，∴輸出的結(jié)果為，故選；A．二、填空題11．對(duì)于有理數(shù)，定義一種新運(yùn)算，規(guī)定，則．【答案】14【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的新定義運(yùn)算，根據(jù)新運(yùn)算的定義逐步計(jì)算?！驹斀狻抗蚀鸢笧椋?412．如圖所示是計(jì)算機(jī)程序計(jì)算，當(dāng)輸入的數(shù)為4時(shí)，則輸出的結(jié)果．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算【分析】本題主要考查有理數(shù)的加、減運(yùn)算，相反數(shù)，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．根據(jù)所給的程序圖代入相應(yīng)的值進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，故答案為：．13．科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，海拔每升高1千米，氣溫下降6℃．已知甲地現(xiàn)在的地面氣溫為21℃，則甲地上空10千米處的氣溫為℃．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算．用甲地現(xiàn)在的地面溫度加上高度上升降低的溫度即可得出答案．【詳解】解：．故答案為：．14．定義新運(yùn)算：，例如：，則．【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了新定義下的有理數(shù)混合運(yùn)算，先根據(jù)新定義代入，然后先算乘方，再算乘除法，最后再計(jì)算加減法.【詳解】解：∵，∴，故答案為：4.15．在數(shù)軸上，點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)分別是，16．點(diǎn)以2個(gè)單位/秒的速度從出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以3個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)是．【答案】8【知識(shí)點(diǎn)】用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、動(dòng)點(diǎn)問題（一元一次方程的應(yīng)用）、有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題考查了數(shù)軸、有理數(shù)的四則混合運(yùn)算