2024北京清華附中高三（上）統(tǒng)練九數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京清華附中高三（上）統(tǒng)練九數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知且，則下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.C. D.4.在的展開式中，的系數(shù)為A.5 B. C.10 D.5.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若8a2＋a5＝0，則下列式子中數(shù)值不能確定的是()A. B.C. D.6.已知，是兩個不同的平面，“”的一個充分條件是A.內(nèi)有無數(shù)直線平行于B.存在平面，，C.存在平面，，且D.存在直線，，7.已知定點和拋物線是拋物線的焦點，是拋物線上的點，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.68.直線與圓相交于兩點，當面積最大時，（）A.0 B. C. D.9.已知，函數(shù)有最小值，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10.設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，集合.則（）A.不可能有無數(shù)個元素B.當且僅當時，只有1個元素C.當只有2個元素時，這2個元素的乘積有可能為D.當時，最多有個元素，且這個元素的和為0二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分.11.在中，若，則角等于_____.12.已知向量滿足，且，則_____.13.已知雙曲線的左右焦點分別為，，點，則雙曲線的漸近線方程為__________；__________.14.木楔在傳統(tǒng)木工中運用廣泛.如圖，某木楔可視為一個五面體，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為等邊三角形，，則該木楔的體積為_____.15.已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)是奇函數(shù)；②，且，關(guān)于x的方程恰有兩個不相等的實數(shù)根；③已知是曲線上任意一點，，則；④設(shè)Mx1,y1為曲線上一點，Nx2,y2其中所有正確結(jié)論的序號是_________.三、解答題共6道小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.（已知函數(shù).（I）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（II）若,求的值.17.如圖，在四棱錐中，為的中點，平面.（1）求證:;（2）若，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，（i）求證:平面;（ii）設(shè)平面平面，求二面角的余弦值.條件①:;條件②:.注:如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.18.為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機抽樣的方式隨機調(diào)查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在之間，進行適當分組后（每組為左閉右開區(qū)間），得到如下頻率分布直方圖：（1）記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，...，第6組，從第5組和第6組中任取2戶居民，求他們月均用電量都不低于的概率；（2）從該地區(qū)居民中隨機抽取3戶，設(shè)月均用電量在之間的用戶數(shù)為，以頻率估計概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于的居民用戶每戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書，且發(fā)放倡議書的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計應(yīng)定為多少合適?（只需寫出結(jié)論）.19.已知橢圓的左頂點為，下頂點為，離心率為，點在上.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)是橢圓上三個不同的點，它們都不與重合，且，求證：.20.已知函數(shù)，其中.（1）當時，求曲線在點處切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍.21.已知集合，對于集合的非空子集．若中存在三個互不相同的元素，，，使得，，均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”．（1）試判斷集合，是否為集合的“期待子集”；（直接寫出答案，不必說明理由）（2）如果一個集合中含有三個元素，，，同時滿足①，②，③為偶數(shù)．那么稱該集合具有性質(zhì)．對于集合的非空子集，證明：集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì)；（3）若的任意含有個元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】B【分析】根據(jù)題意和交集的定義與運算求出，結(jié)合補集的定義與運算即可求解.【詳解】因為所以，又，所以.故選：B.2.【答案】C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的模求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C.3.【答案】D【分析】對A：由對數(shù)性質(zhì)運算即可得；對B：由對數(shù)性質(zhì)運算即可得；對C：借助基本不等式運算即可得；對D：找出反例即可得.【詳解】對A：，故A正確；對B：由，則，故，故B正確；對C：由，故，當且僅當時等號成立，由，故等號不成立，即，故C正確；對D：當、時，符合題意，但此時，故D錯誤.故選：D.4.【答案】D【分析】根據(jù)二項式定理計算即可.【詳解】解：在的展開式中的項為的系數(shù)為-10，故選：D.5.【答案】D【詳解】等比數(shù)列中，，，不能確定故選：D6.【答案】D【分析】根據(jù)線面平行判定、線面垂直性質(zhì)定理等判定即可.【詳解】解：對于A.根據(jù)面面平行判定定理可得A錯誤；對于B.當，時，可能三個平面兩兩相交，不能得出平行，B錯誤；對于C.當，且時，可能三個平面兩兩相交，不能得出，C錯誤；對于D.根據(jù)線面垂直推得：當，時，成立，故D正確；故選：D.【點睛】平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化：在證明線面、面面平行時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的，不可過于“模式化”.7.【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義，數(shù)形結(jié)合即可求出的最小值.【詳解】由題拋物線是拋物線的焦點，則，準線方程為，是拋物線上的點，過作垂直準線于，過作垂直準線于交拋物線于，則由拋物線定義知，由圖像可知,即的最小值的最小值為，由，準線方程為，所以.故選：C8.【答案】B【分析】求出圓心和半徑，直接利用三角形面積公式求出最值，從而得到圓心到直線的距離，代入計算即可.【詳解】，即，則其圓心為，半徑為2，而，當且僅當時等號成立，此時為頂點為的等腰直角三角形，此時圓心到直線的距離，則，解得.故選：B.9.【答案】A【分析】分、、三種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間和上的單調(diào)性，結(jié)合題可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，進而可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】①當時，二次函數(shù)的對稱軸為直線，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，若使得函數(shù)有最小值，則，解得，不合乎題意；②當時，二次函數(shù)的對稱軸為直線，此時函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，若使得函數(shù)有最小值，則，解得，不合乎題意；③當時，二次函數(shù)的對稱軸為直線，此時函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，若使得函數(shù)有最小值，則，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.10.【答案】D【分析】對于，選項，可取特殊數(shù)列驗證即可；對于可假設(shè)成立，結(jié)合圖象推出與已知矛盾；對于，結(jié)合正弦函數(shù)的周期，即可判斷.【詳解】選項，取，則，由，因為是無窮等差數(shù)列，正弦函數(shù)是周期為的函數(shù)，所以在每個周期上的值不相同，故錯誤；選項，取，即，則，只有一個元素，故錯誤；選項，假設(shè)只有2個元素，，這2個元素的乘積為，如圖可知當?shù)扔诨驎r，顯然不是等差數(shù)列，與已知矛盾，故錯誤；選項，當時,，，，，，，，所以最多有個元素，又因為正弦函數(shù)的周期為，數(shù)列的公差為，所以把周期平均分成份，所以個元素的和為0，故正確.故選:.【點睛】方法點睛：本題考查等差數(shù)列與正弦函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合，采用特例法，數(shù)形結(jié)合的方法判斷.二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】先利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合已知可得，再利用余弦定理即可得解.【詳解】因為，由正弦定理得，則，所以，所以，又，所以.故答案為：.12.【答案】1【分析】由兩邊平方求解.【詳解】解：因為，所以，解得，故答案為：113.【答案】①.②.【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得半實軸a、半虛軸b的值，代入漸近線方程，即可求得答案；根據(jù)M點在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的定義，即可求得答案.【詳解】因為雙曲線，半實軸，半虛軸,所以漸近線方程為，即；因為滿足雙曲線方程，且在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的定義得，所以-2.故答案為：；-214.【答案】【分析】如圖，分別過點A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，取的中點O，連接，求出，結(jié)合三棱錐和三棱柱的體積公式計算即可.【詳解】如圖，分別過點A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，則由題意等腰梯形全等于等腰梯形，則.取的中點O，連接，因為，所以，則，∴.因為，，所以，因為四邊形為正方形，所以，又因為，平面，所以平面，所以平面，同理可證平面，∴多面體的體積，故答案為：.15.【答案】②③④【分析】對①：計算定義域即可得；對②：對與分類討論，結(jié)合二次函數(shù)求根公式計算即可得；對③：借助兩點間的距離公式與導(dǎo)數(shù)求取最值計算即可得；對④：結(jié)合函數(shù)性質(zhì)與③中所得結(jié)論即可得.【詳解】對①：令，即有，即，故函數(shù)不是奇函數(shù)，故①錯誤；對②：，即，當時，有，故是該方程的一個根；當，時，由，故，結(jié)合定義域可得，有，即，令，，有或（負值舍去），則，故必有一個大于的正根，即必有一個大于的正根；當，時，由，故，結(jié)合定義域有，有，即，令，，有或（正值舍去），令，即，則，即，故在定義域內(nèi)亦必有一根，綜上所述，，且，關(guān)于x的方程恰有兩個不相等的實數(shù)根，故②正確；對③：令Px,y，則有，，令，，，當時，，當時，，故在、1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，故恒成立，即，故，故③正確；對④：當時，由，，故，此時，，則，當時，由與關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，則有或，當時，由，有，故成立；當時，即有，由③知，點與點在圓上或圓外，設(shè)點與點在圓上且位于x軸兩側(cè)，則,故；綜上所述，恒成立，故④正確.故答案為：②③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：結(jié)論④中的關(guān)鍵點在于借助結(jié)論③，結(jié)合函數(shù)的對稱性，從而得到當、都小于零時，的情況.三、解答題共6道小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）周期為，最大值為2，最小值為-1（2）【詳解】試題分析：（1）將函數(shù)利用倍角公式和輔助角公式化簡為,再利用周期可得最小正周期,由找出對應(yīng)范圍,利用正弦函數(shù)圖像可得值域;（2）先利用求出,再由角的關(guān)系展開后代入可得值.試題解析:（1）所以又所以由函數(shù)圖像知.（2）解：由題意而所以所以所以=.考點：三角函數(shù)性質(zhì);同角間基本關(guān)系式;兩角和的余弦公式17.【答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析；（ⅱ）【分析】（1）借助線面平行的性質(zhì)定理與中位線的性質(zhì)即可得；（2）（i）借助線面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）無論選或是②結(jié)合所給條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系后借助空間向量計算即可得.【小問1詳解】取的中點，連接，因為為的中點，所以，因為，所以，所以四點共面，因為平面，平面平面，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以；【小問2詳解】取的中點，連接，由（1）知，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，所以，即，選條件①：，（i）因為，所以與全等，所以，因為，所以，所以，即，又因為，、平面，所以平面；（ⅱ）由（i）知平面，而平面，所以，因為，建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的法向量為,則，即，令，則，于是，因為為平面的法向量,且，所以二面角的余弦值為.選條件②：，(i)因為，所以，因為，所以與全等，所以，即，因為，又因為，、平面，所以平面；(ii)同選條件①.18.【答案】（1）；（2）的分布列見解析，；（3）應(yīng)定為325合適.【分析】（1）由頻率分布直方圖分別求出100戶居民中第5組和第6組的居民戶數(shù)，再結(jié)合古典概型的概率公式即可求解.（2），的可能取值為，依次求出各取值的概率，再結(jié)合期望公式即可求解.（3）依據(jù)條件結(jié)合第98百分位數(shù)的定義即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，100戶居民中，第5組居民戶數(shù)為，第6組的居民戶數(shù)為，所以從第5組和第6組中任取2戶居民，他們月均用電量都不低于的概率為.【小問2詳解】該地區(qū)月均用電量在之間的用戶所占的頻率為，所以由題意可知，的可能取值為，所以，，，，所以的分布列為0123.【小問3詳解】由頻率分布直方圖可知月均用電量在之間的用戶所占的頻率為，設(shè)月均用電量的樣本數(shù)據(jù)的第98百分位數(shù)為b，則，所以，所以應(yīng)定為325合適.19.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由離心率為，可得，再將點代入方程即可求得橢圓方程；（2）得到點后，分別求出直線、直線的斜率，則可設(shè)出直線的方程與直線的方程，分別聯(lián)立曲線，則可得與、橫坐標與、橫坐標關(guān)系，則可借助點坐標表示出、坐標，并可分別表示出與，兩者作差，并根據(jù)點在橢圓上所得橫縱坐標關(guān)系計算即即可得解.【小問1詳解】由橢圓離心率為，故，則，由點在上，則，化簡得，即，則，所以橢圓的標準方程；【小問2詳解】由橢圓得，那么直線的斜率為，設(shè)，因為，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，，即，則，由，則，則，，則，又，，所以，因為，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立，整理得，Δ2=4n則，由，則，則，則，則，則，由，則，則，故，即.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.20.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得切線斜率，再結(jié)合切點坐標計算即可得；（2）分及，結(jié)合定義域分類討論，求導(dǎo)后因式分解，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計算即可得；（3）利用函數(shù)定義域，結(jié)合所給條件，可得，從而可分及，借助第二問中所得單調(diào)性去計算函數(shù)在1,+∞上的最小值，解出即可得.【小問1詳解】當時，，則，，則，故曲線在點處切線方程為；【小問2詳解】，①若，則定義域為，有恒成立，則當時，，當時，，即在、上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減；②若，則定義域為，有恒成立，則當時，，當時，，即在、上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增；綜上所述：當時，在、上單調(diào)遞增，在、上單調(diào)遞減；當時在、上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增；【小問3詳解】由，故，有定義域為，故，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，解得或（舍去），即；若，即時，在1,+∞上單調(diào)遞增，只需，即，由，故，，故無解；故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：最后一問關(guān)鍵點在于利用函數(shù)定義域，結(jié)合所給條件，得到，從而可借助第二問中所得單調(diào)性去計算函數(shù)在1,+∞上的最小值.21.【答案】（1）是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”（2）證明見解析（3）【分析】（1）根據(jù)所給定義判斷即可.（2）先證明必要性，再證明充分性，結(jié)合所給“期待子集”的定義及性質(zhì)的定義證明即可；（3）首先利用反例說明當、時不成立，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明集合的任意含有個元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解.【小問1詳解】因為，對于集合，令，解得，顯然，，所以是集合的“期待子集”；對于集合，令，則，因為，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”；【小問2詳解】先證明必要性：當集合是集合的“期待子集”時，由題意，存在互不相同的，使得，不妨設(shè)，令，，，則，即條件中的①成