2024北京匯文中學(xué)高三(下)開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案_第1頁
2024北京匯文中學(xué)高三(下)開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案_第2頁
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文檔簡介

試題試題2024北京匯文中學(xué)高三(下)開學(xué)考數(shù)學(xué)本試卷共6頁,共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效.一?選擇題(每題4分,共40分)1.設(shè)集合,,則()A. B. C. D.2.已知命題“,有成立”,則為()A.,有成立 B.,有成立C.,有成立 D.,有成立3.已知復(fù)數(shù),其中i是虛數(shù)單位,是z的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.4.某生產(chǎn)廠商更新設(shè)備,已知在未來年內(nèi),此設(shè)備所花費的各種費用總和(萬元)與滿足函數(shù)關(guān)系,若欲使此設(shè)備的年平均花費最低,則此設(shè)備的使用年限為()A.3 B.4 C.5 D.65.設(shè),則()A. B. C. D.6.已知的展開式中第3項與第5項的二項式系數(shù)相等,則的展開式的各項系數(shù)之和為()A. B. C. D.7.已知無窮數(shù)列{an}滿足an+1=an+t(t為常數(shù)),Sn為{an}的前n項和,則“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小項”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù),圖像上每一點的橫坐標(biāo)縮短到原來的,得到的圖像,的部分圖像如圖所示,若,則等于()A. B. C. D.9.已知是圓上一個動點,且直線與直線相交于點P,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知數(shù)列的通項公式為,若滿足的整數(shù)恰有2個,則可取到的值有()A.有3個 B.有2個 C.有1個 D.不存在二?填空題(每題5分,共25分)11.函數(shù)的值域為__________.12.已知拋物線上一點,則拋物線的準(zhǔn)線方程為________;點P到焦點的距離為________.13.在中,,,且的面積為,則________.14.已知雙曲線:的左焦點為,右頂點為,過作的一條漸近線的垂線,為垂足,若,則的離心率為__________.15.如圖,在直角梯形中,E為的中點,,,M,N分別是,的中點,將沿折起,使點D不在平面內(nèi),則下命題中正確的序號為______.①;②;③平面;④存在某折起位置,使得平面平面.三?解答題(本大題共6小題,共85分.解答位寫出文字說明,證明過程或演算步驟)16.已知函數(shù),且圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件.(1)確定的解析式;(2)若圖象的對稱軸只有一條落在區(qū)間上,求a的取值范圍.條件①:的最小值為;條件②:圖象的一個對稱中心為;條件③;的圖象經(jīng)過點.17.每年8月8日為我國的全民健身日;倡導(dǎo)大家健康?文明?快樂的生活方式,為了激發(fā)學(xué)生的體育運動興趣,助力全面健康成長,某中學(xué)組織全體學(xué)生開展以體育鍛煉為主題的實踐活動,為了解該校學(xué)生參與活動的情況,隨機抽取100名學(xué)生作為樣本,統(tǒng)計他們參加體育鍛煉活動時間(單位:分鐘),得到下表:(1)從該校隨機抽取1名學(xué)生,若已知抽到的是女生,估計該學(xué)生參加體育鍛煉活動時間在的概率;(2)從參加體育鍛煉活動時間在和的學(xué)生中各隨機抽取1人,其中初中學(xué)生的人數(shù)記為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)假設(shè)同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替,樣本中的初中?高中學(xué)生參加體育鍛煉活動時間的平均數(shù)分別記為.寫出一個的值,使得(結(jié)論不要求證明).18.如圖,在三棱錐中,平面ABQ,,D,C,E,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點,,PD與EQ交于點G,PC與FQ交于點H,連接GH.(1)求證:;(2)求平面PAB與平面PCD所成角的余弦值;(3)求點A到平面PCD的距離.19.已知.(1)若,求在處的切線方程;(2)設(shè),求的單調(diào)區(qū)間;(3)求證:當(dāng)時,.20.已知橢圓:的左頂點與上頂點的距離為.(1)求橢圓的方程和焦點的坐標(biāo);(2)若點在橢圓上,線段的垂直平分線分別與線段,軸,軸交于不同的三點,,.(i)求證:點,關(guān)于點對稱;(ii)若為直角三角形,求點的橫坐標(biāo).21.有限數(shù)列:,,…,.()同時滿足下列兩個條件:①對于任意的,(),;②對于任意的,,(),,,,三個數(shù)中至少有一個數(shù)是數(shù)列中的項.(1)若,且,,,,求的值;(2)證明:,,不可能是數(shù)列中的項;(3)求的最大值.

參考答案一?選擇題(每題4分,共40分)1.【答案】A【分析】求出集合,然后直接利用集合的交集與補集的概念求解即可.【詳解】因為集合,,,.故選:A.2.【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定即可得到答案.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,任意變存在,范圍不變,結(jié)論相反,則為:,有成立,故選:C.3.【答案】B【分析】設(shè),,根據(jù),解出即可.【詳解】設(shè),,,解得,所以,故選:B4.【答案】B【分析】由題知,平均話費為,再根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】解:平均話費為,當(dāng)且僅當(dāng),時,等號成立.故選:B.5.【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得,再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),得到,即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和,可得,即根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,因為,所以,綜上可得.【點睛】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運算能力.6.【答案】C【分析】由已知條件解出n,令x=1即可得到答案﹒【詳解】由題知,由組合數(shù)性質(zhì)解得n=6,∴=,令x=1,得展開式各項系數(shù)之和為,故選:C.7.【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和的公式,以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵an+1=an+t,∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差為t,①當(dāng)t≥0時,若t=0,a1=﹣2時,數(shù)列{an}為常數(shù)列,且an=﹣2,∴Sn=﹣2n為減函數(shù),無最小項,∴充分性不成立,②當(dāng){an}和{Sn}都有最小項,∵an=a1+(n﹣1)t=tn+(a1﹣t),Sn=na1tn2+(a1)n,則或t>0,∴t≥0,∴必要性成立,∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小項的必要不充分條件,故選:B.8.【答案】A【分析】利用向量數(shù)量積的定義可得,從而可得,進(jìn)而得出,即,求出.【詳解】根據(jù),可得,故,所以,故的周期為24,所以,,故選:A.9.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件確定出點P的軌跡,再借助圓與圓的位置關(guān)系及圓的幾何性質(zhì)計算作答.【詳解】依題意,直線恒過定點,直線恒過定點,顯然直線,因此,直線與交點P的軌跡是以線段AB為直徑的圓,其方程為:,圓心,半徑,而圓C的圓心,半徑,如圖:,兩圓外離,由圓的幾何性質(zhì)得:,,所以的取值范圍是:.故選:B【點睛】思路點睛:判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系,一般不采用代數(shù)法.10.【答案】A【分析】本題首先可討論當(dāng)時,根據(jù)得出,然后討論當(dāng)時,通過等差數(shù)列求和公式得出,通過計算即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時,,解得,此時保證等式成立的每個值,只有一個值,不符合題意;當(dāng)時,,即,若整數(shù)恰有2個,則首先,解得,設(shè)該方程有兩實數(shù)根,則,若,顯然不合題意,則,則,若,此時,解得,滿足,符合題意;若,此時,解得,滿足,符合題意;若,此時,解得,滿足,符合題意,故可取到的值有或或.故選:A.二?填空題(每題5分,共25分)11.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】當(dāng)時,,當(dāng)時,則,即,綜上的值域為,故答案為:.12.【答案】①.②.2【分析】由拋物線方程求其準(zhǔn)線方程,再結(jié)合拋物線定義求點P到焦點的距離.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為,焦點的坐標(biāo)為,因為點在拋物線上,由拋物線定義可得點P到焦點的距離等于點到準(zhǔn)線的距離,所以點P到焦點的距離為.故答案為:;2.13.【答案】或【分析】首先由面積公式求出,即可求出,再由余弦定理計算可得.【詳解】解:因為,則,所以,①當(dāng)時,,所以;②當(dāng)時,,所以;故答案為:或14.【答案】2【分析】根據(jù)條件可得,點坐標(biāo),由和漸近線垂直斜率之積為,可得,即得離心率為2.【詳解】如圖,設(shè)雙曲線的半焦距為,則,,雙曲線的一條漸近線方程為,當(dāng)時,過作垂直于軸于,則為的中點,故點坐標(biāo)為,點坐標(biāo)為,因為直線垂直于,所以,得,又在雙曲線中,故得,故,故答案為:215.【答案】②③【分析】①③,作出輔助線,得到,從而得到與不平行,平面;②證明線面垂直,得到線線垂直;④建立空間直角坐標(biāo)系,得到兩平面的法向量,由法向量不為0得到不存在某折起位置,使得平面平面.【詳解】①③,如圖所示:直角梯形中,,又因為,,所以,故四邊形為矩形,因為N分別是的中點連接,則與相交于點,故點是的中點,因為是的中點,所以,又,而與相交于點,故與不平行,故與不平行,①錯誤,因為,平面,平面,所以平面,③正確;②,因為,,平面,所以平面,因為平面,所以,由①知,所以,②正確;④,連接,以為坐標(biāo)原點,分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),,,故,設(shè)平面的法向量為,故,解得,令,則,故,設(shè)平面的法向量為,故,解得,令,則,故,故,因為,故,故,故不存在某折起位置,使得平面平面,④錯誤.故選:②③三?解答題(本大題共6小題,共85分.解答位寫出文字說明,證明過程或演算步驟)16.【答案】選擇見解析:(1);(2).【分析】求出函數(shù)的最小正周期,可求得的值.(1)選擇①②,求出的值,由條件②可得出關(guān)于的等式結(jié)合的取值范圍,可求得的值,由此可求得函數(shù)的解析式;選擇①③,求出的值,由已知條件可得出,求出的取值范圍,可求得的值,由此可求得函數(shù)的解析式;選擇②③,由條件②可得出關(guān)于的等式結(jié)合的取值范圍,可求得的值,將點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式,求出的值,可得出函數(shù)的解析式;(2)由可求得的取值范圍,結(jié)合題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式,由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為,所以的最小正周期,.此時.(1)選條件①②;因為,所以.因為圖象的一個對稱中心為,所以,因為,所以,此時,所以;選條件①③:因為,所以.因為函數(shù)的圖象過點,則,即,,因為,即,,所以,,解得.所以;選條件②③:因為函數(shù)的一個對稱中心為,所以,所以.因為,所以,此時,所以.因為函數(shù)的圖象過點,所以,即,,即,所以.所以;(2)因為,所以,因為圖象的對稱軸只有一條落在區(qū)間上,所以,得,所以的取值范圍為.【點睛】思路點睛:三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的求解思路:(1)將函數(shù)解析式變形為或的形式;(2)將看成一個整體;(3)借助正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題.17.【答案】(1)(2)分布列見解析,(3)1(或取0)【分析】(1)根據(jù)古典概型求解即可;(2)先寫出隨機變量的所有可能取值,求出對應(yīng)概率,即可得分布列,再根據(jù)期望公式求期望即可;(3)補全初中段的人數(shù)表格,再分別計算關(guān)于的解析式,得到不等式即可得答案.【小問1詳解】從該校隨機抽取名學(xué)生,若已知抽到的是女生,估計該學(xué)生參加體育實踐活動時間在的概率為;【小問2詳解】由題知,的所有可能值為0,1,2,參加體育實踐活動時間在的學(xué)生總?cè)藬?shù)為,其中初中生人,參加體育實踐活動時間在的學(xué)生總?cè)藬?shù)為,其中初中生人,記事件為“從參加體育活動時間在的學(xué)生中隨機抽取1人,抽到的是初中學(xué)生”,事件為“從參加體育活動時間在的學(xué)生中隨機抽取1人,抽到的是初中學(xué)生”,由題意知,事件相互獨立,且,所以,,,所以的分布列為:故的數(shù)學(xué)期望;【小問3詳解】根據(jù)男女生人數(shù)先補全初中學(xué)生各區(qū)間人數(shù):時間/人數(shù)/類別性別男51213898女69101064學(xué)段初中10高中1312754內(nèi)初中生的總運動時間,內(nèi)高中生的總運動時間,,,若,則,即解得或,又因為,則或.故可?。ɑ?).18.【答案】(1)證明見解析;(2);(3).【分析】(1)由中位線定理得EFDC,然后由線面平行判定定理和性質(zhì)定理得出線線平行,從而證得結(jié)論成立;(2)以點B為坐標(biāo)原點,分別以BA,BQ,BP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.用空間向量法求二面角的余弦值.(3)根據(jù)向量法求點到平面的距離.【小問1詳解】因為D,C,E,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點,所以EFAB,DCAB,所以EFDC.又因為EF平面PCD,DC?平面PCD,所以EF平面PCD.又因為EF?平面EFQ,平面EFQ平面PCD=GH,所以EFGH,又因為EFAB,所以ABGH.【小問2詳解】因為,PB⊥平面ABQ,所以BA,BQ,BP兩兩垂直.以點B為坐標(biāo)原點,分別以BA,BQ,BP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由,則,所以,.設(shè)平面PAB的一個法向量為,則可取設(shè)平面PDC的一個法向量為=(x,y,z),由,,得,取z=1,得=(0,2,1).所以cos〈〉=,所以平面PAB與平面PCD所成角的余弦值為.【小問3詳解】由點到平面的距離公式可得,即點A到平面PCD的距離為.19.【答案】(1);(2)時,單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(3)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論k的取值范圍,確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可求得的單調(diào)區(qū)間;(3)由于不等式可變?yōu)椋钥蓸?gòu)造函數(shù),利用(2)的結(jié)論可證明故該函數(shù)為上的增函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,即可證明結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時,,故在處的切線斜率為,而,所以在處的切線方程為,即.【小問2詳解】由題意得,則,令,即,令,即,時,單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問3詳解】證明:由(2)可知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,而,即在上恒成立,故在上單調(diào)遞增,設(shè),則,因為,則,故,所以在上單調(diào)遞增,而,則,即,而,故,即.【點睛】關(guān)鍵點點睛:證明不等式時,關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明;因為可變形為,由此可構(gòu)造函數(shù),從而利用(2)的結(jié)論證明該函數(shù)為遞增函數(shù),從而利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.20.【答案】(1),焦點坐標(biāo)分別為,;(2)(i)證明見解析;(ii).【分析】(1)依題意有,求得,進(jìn)而求得焦點坐標(biāo);(2)(i)設(shè),設(shè)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立求得,利用中點坐標(biāo)公式求得點坐標(biāo),由垂直平分線求得點坐標(biāo),即可證得點,關(guān)于點對稱;(ii)由已知得為等腰直角三角形,所以,利用兩點之間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)依題意,,,有,解得,所以橢圓方程為,焦點坐標(biāo)分別為,.(2)(i)設(shè),顯然直線的斜率存在,設(shè)為k,則直線方程為,聯(lián)立,消去y得,,,由韋達(dá)定知,,利用中點坐標(biāo)公式知,,即,,,所以直線的方程為,令,得到,所以.令,得到,所以.所以是,的中點,所以點,關(guān)于點對稱.(ii)因為為直角三角形,且,所以為等腰直角三角形,所以,因為,,即,化簡得,,解得,(舍),即點的橫坐標(biāo)為.【點睛】思路點睛:解決直線與橢圓的綜合問題時,要注意:(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件,明確確定直線、橢圓的條件;(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力,重視根與系數(shù)

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