2024北京二中高三10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京二中高三10月月考數(shù)學(xué)一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分.1.已知集合，，則（）A. B.（1，3）C. D.2.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則（）A.2 B.1 C.0 D.3.已知邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C.3 D.44.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A. B.1C.2 D.35.已知，則（）A.?23 B. C.23 6.“”是“為第一或第三象限角”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.8.分貝（）、奈培（）均可用來(lái)量化聲音的響度，其定義式分別為，，其中為待測(cè)值，為基準(zhǔn)值．如果，那么（）（參考數(shù)據(jù)：）A.8.686 B.4.343C.0.8686 D.0.1159.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，存在常?shù)，使得對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則t的最小值為（）A.3 B. C.2 D.10.設(shè)函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)，處的切線的斜率分別是，，規(guī)定為線段AB的長(zhǎng)度叫做曲線在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”，給出以下命題，其中錯(cuò)誤的是（）.A.函數(shù)圖象上兩點(diǎn)A與B的橫坐標(biāo)分別為1和，則；B.存在這樣的函數(shù)，其圖象上任意不同兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；C.設(shè)A，B是拋物線上不同的兩點(diǎn)，則；D.設(shè)A，B是曲線是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)上不同的兩點(diǎn)，則二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是________．12.已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________．13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．①函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_______；②將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值是________．14.已知函數(shù)，且.若兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)滿足且，則_____________.15.已知函數(shù)，，給出下列結(jié)論：①函數(shù)的值域?yàn)棰诤瘮?shù)在上是增函數(shù)；③對(duì)任意，方程在內(nèi)恒有解；④若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.已知函數(shù)且滿足_________.（在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，并解答問(wèn)題）①函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為；②函數(shù)的圖象相鄰兩個(gè)最大值之間的距離為；③已知，，且的最小值為.（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.17.某學(xué)校組織全體高一學(xué)生開(kāi)展了知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了12名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，數(shù)據(jù)如下表：男生818486868891女生728084889297（1）從抽出的男生和女生中，各隨機(jī)選取一人，求男生成績(jī)高于女生成績(jī)的概率；（2）從該校的高一學(xué)生中，隨機(jī)抽取3人，用樣本頻率估計(jì)概率，記成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀分的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）表中男生和女生成績(jī)的方差分別記為，，現(xiàn)在再?gòu)膮⒓踊顒?dòng)的男生中抽取一名學(xué)生，成績(jī)?yōu)?6分，組成新的男生樣本，方差計(jì)為，試比較、、的大?。恍鑼懗鼋Y(jié)論18.四棱錐中，平面平面，，，，，O是AB的中點(diǎn)（1）求證：CD平面POC（2）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值（3）在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn)M，使得平面POD，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19.已知函數(shù)（）圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若存在，使得恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．20.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在C上.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓C于，兩點(diǎn)，試用含的代數(shù)式表示；（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線與直線AQ相交于點(diǎn)M，證明：線段PM的中點(diǎn)在定直線上.21.已知為正整數(shù)，數(shù)列：，記．對(duì)于數(shù)列，總有，，則稱數(shù)列為項(xiàng)0-1數(shù)列．若數(shù)列A：，：，均為項(xiàng)0-1數(shù)列，定義數(shù)列：，其中，．（1）已知數(shù)列A：1，0，1，：0，1，1，直接寫出和的值；（2）若數(shù)列A，均為項(xiàng)0-1數(shù)列，證明：；（3）對(duì)于任意給定的正整數(shù)，是否存在項(xiàng)0-1數(shù)列A，，，使得，并說(shuō)明理由

參考答案一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分.1.【答案】C【分析】先求出集合B，然后再求兩集合的并集即可.【詳解】由，得，解得或，所以或，因?yàn)椋?，故選：C2.【答案】D【分析】利用題給條件列出關(guān)于首項(xiàng)公差d的方程組，解之即可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，解之得故選：D3.【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的幾何意義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則，且在方向上的投影數(shù)量為2，所以.故選：B.4.【答案】D【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)，從而利用復(fù)數(shù)的幾何意義得到的不等式組，解之即可得解.【詳解】因?yàn)?，又所?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，所以ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.5.【答案】B【分析】依題意利用誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：B6.【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，結(jié)合充分條件、必要條件即可得解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，則，所以為第一或第三象限角，反之，當(dāng)為第一或第三象限角時(shí)，，所以，綜上，“”是“為第一或第三象限角”的充分必要條件，故選：C7.【答案】C【分析】利用余弦定理和基本不等式可得的最小值，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得的最大值.【詳解】因?yàn)?，則由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又，，所以．故選：C．8.【答案】A【分析】結(jié)合題意得到，再利用換元法與換底公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，令，則，所以.故選：A.9.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和絕對(duì)值型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榇嬖诔?shù)，使得對(duì)任意，都有，所以函數(shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以有，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的周期的性質(zhì)，結(jié)合絕對(duì)值型函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.10.【答案】D【分析】由新定義，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù),在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”判斷A,C正確；舉例說(shuō)明B是正確的；求出曲線上不同兩點(diǎn)，之間的“彎曲度”，判斷D錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于A，由，得，，，則，A正確；對(duì)于B，例如，，即曲線上任意一點(diǎn)，都有，從而為常數(shù)，所以B正確；對(duì)于C，，，設(shè)，，則，所以，所以C正確；對(duì)于D，，，因?yàn)?，，為曲線上不同的兩點(diǎn)，所以，所以D不正確.故選：D.二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】由題意得展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，故的系數(shù)為，故答案為：?712.【答案】【分析】求出圓心和半徑，及雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出，得到離心率.【詳解】化為，圓心為，半徑為1，的漸近線方程為，則，解得：，即，故離心率為2.故答案為：2.13.【答案】①.②.【分析】空1：可由圖像直接讀出半個(gè)周期，進(jìn)而可得周期大小；空2：通過(guò)周期大小和函數(shù)上的點(diǎn)，可求出的解析式，再平移得到，然后根據(jù)奇偶性求參即可.【詳解】空1：由圖可知,即空2：,即，則，又過(guò)點(diǎn)，所以，即，又在原圖增區(qū)間上，所以可取，所以，向右平移個(gè)單位可得，又為奇函數(shù)，所以，即,又，所以.故答案為：；.14.【答案】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)的解析式，再由題意可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，且最小正周期，即可求出的值，從而得到，再由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得．【詳解】因?yàn)?，其中，由，可得關(guān)于對(duì)稱，又兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)滿足且，所以的最小正周期，又，所以，解得，所以，所以，則，所以.故答案為：15.【答案】①②④【分析】對(duì)于①，根據(jù)解析式求出函數(shù)的值域，可知①不正確；對(duì)于②，由的范圍推出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可知②正確；對(duì)于③，求出兩個(gè)函數(shù)在上的值域，利用兩個(gè)函數(shù)的值域的交集可能為空集可知③不正確；對(duì)于④，求出兩個(gè)函數(shù)在上的值域，利用兩個(gè)函數(shù)的值域的交集不為空集可求出結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，即；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以，即，所以的值域?yàn)?，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，所以為增函數(shù)，又，所以在上為增函數(shù)，故②正確；對(duì)于③，由①知，的值域?yàn)椋散谥?，在上為增函?shù)，所以，所以，即在內(nèi)的值域?yàn)椋?dāng)或，即或時(shí)，在內(nèi)無(wú)解，故③不正確；對(duì)于④，若存在，，使得成立，則，由③知，當(dāng)或時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故④正確.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于③和④，利用兩個(gè)函數(shù)在上的值域進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵.三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）先應(yīng)用兩角和正弦公式再結(jié)合二倍角正弦及余弦公式得出,根據(jù)①②③得出參數(shù)，最后結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱中心得出對(duì)稱中心；（2）應(yīng)用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間結(jié)合得出單調(diào)減區(qū)間即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槿暨x擇①函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，可得函數(shù)周期為π，所以，，若選擇②

函數(shù)的圖象相鄰兩個(gè)最大值之間的距離為，可得函數(shù)周期為π，所以，，若選擇③

已知，，即可得有2個(gè)根且的最小值為,可得函數(shù)周期為π，所以，，所以,令,即函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo).【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?令,可得,又因?yàn)?令,,令k=1,,所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.17.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，；（3）【分析】（1）由古典概型的列舉法求男生成績(jī)高于女生成績(jī)的概率.（2）由題設(shè)，成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)可取且服從分布，應(yīng)用二項(xiàng)分布的概率求法求各可能值的概率，即可寫出分布列，進(jìn)而求期望即可.（3）應(yīng)用方差公式求出、、，進(jìn)而比較它們的大小關(guān)系.【小問(wèn)1詳解】設(shè)“從抽出的男生和女生中，男生成績(jī)高于女生成績(jī)”為事件A，由表格得：從抽出的12名學(xué)生中男女生各隨機(jī)選取一人，共有種組合，其中男生成績(jī)高于女生，，，，.所以事件A有17種組合，因此；【小問(wèn)2詳解】由數(shù)據(jù)知，在抽取的12名學(xué)生中，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀（>90分）的有3人，即從該校參加活動(dòng)的高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀的概率為.因此從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)可取且,，，，所以隨機(jī)變量的分布列0123數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)3詳解】男生的平均成績(jī)?yōu)?，則；女生的平均成績(jī)?yōu)?，則；由于從參加活動(dòng)的男生中抽取成績(jī)?yōu)?6分的學(xué)生組成新的男生樣本，所以，則；所以.18.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）在側(cè)棱PC上存在點(diǎn)M，使得平面POD，此時(shí).【分析】（1）利用面面垂直可得平面，從而可得，又可證，從而可證平面.（2）可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后再求出它們的夾角的余弦值，從而可得二面角的余弦值.（3）設(shè)，則可求的坐標(biāo)，再求出平面的法向量后可求的值，從而可得的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，O是AB的中點(diǎn)，故，而平面平面，平面，平面平面，故平面，而平面，故.在中，，故，同理.在直角梯形中，，故即，而，故平面.【小問(wèn)2詳解】在平面中，過(guò)作，則，而由（1）可得平面，而平面，故，故可建立如圖所示的內(nèi)角直角坐標(biāo)系，其中軸在上，則故，設(shè)平面的法向量為，則，故，取，則，故，設(shè)平面的法向量為，而，故，則，取，故，故.故，而二面角C-PD-O的平面角為銳角，故二面角C-PD-O的平面角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，則，故，故.若平面POD，則，故即，故在側(cè)棱PC上存在點(diǎn)M，使得平面POD，此時(shí).19.【答案】（1）1（2）-1【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案；（2）將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷其函數(shù)值正負(fù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，利用“隱零點(diǎn)”求得函數(shù)最小值的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，∵切線與直線垂直，∴切線的斜率為3，∴，即，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，令，，則，，由對(duì)恒成立，故在上單調(diào)遞增，又∵，而，∴存在，使，∵在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；∴在處取得最小值，∵恒成立，所以；由得，，所以，∴，又，∴，∵，∴k的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答第二問(wèn)根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)的最大值，關(guān)鍵在于要求出函數(shù)的最小值或取值范圍，解答時(shí)要注意“隱零點(diǎn)”問(wèn)題的解決方法.20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)離心率及長(zhǎng)軸頂點(diǎn)列方程組得出,即可得出橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組，得出韋達(dá)定理再把代入求解；（3）設(shè)點(diǎn)直曲聯(lián)立，利用整體法求出中點(diǎn)坐標(biāo)與的關(guān)系，進(jìn)而得出結(jié)論；【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，點(diǎn)在C上，所以,所以,所以橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)