北師大版第07講用因式分解法解一元二次方程和根與系數(shù)的關(guān)系（知識(shí)清單3大題型好題必刷）

第07講用因式分解法解一元二次方程和根與系數(shù)的關(guān)系（知識(shí)清單+3大題型+好題必刷）題型梳理題型梳理題型一因式分解法解一元二次方程題型二換元法解一元二次方程題型三一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)清單知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)1．解一元二次方程因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．知識(shí)點(diǎn)2．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．知識(shí)點(diǎn)3．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．題型方法題型方法【題型一】因式分解法解一元二次方程【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程【分析】此題考查了解一元二次方程因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．方程整理后，利用因式分解法求出解即可．故選：B．【舉一反三】A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，理解題意是解題的關(guān)鍵．故選：．【答案】10或11【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的定義【分析】此題考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定義，利用因式分解法求出方程的解得到的值，確定出底與腰，即可求出周長．熟練掌握因式分解法是解本題的關(guān)鍵．則這個(gè)三角形的周長為10或11，故答案為：10或11．3．（2223九年級(jí)上·廣西河池·期中）解方程：【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程【分析】本題主要考查一元二次方程的解法。（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可?！绢}型二】換元法解一元二次方程A．或1 B． C．1 D．3或1【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】換元法解一元二次方程故選：C．【舉一反三】【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】換元法解一元二次方程【分析】本題考查的是一元二次方程的根的含義，掌握“利用整體未知數(shù)求解方程的根”是解本題的關(guān)鍵．故選D．【答案】2023【知識(shí)點(diǎn)】換元法解一元二次方程【分析】本題考查了一元二次方程的解，靈活運(yùn)用換元的思想是解決問題的關(guān)鍵．故答案為：2023．3．（2425九年級(jí)上·貴州黔南·期末）閱讀下列材料：【知識(shí)點(diǎn)】換元法解一元二次方程【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵：1、換元法：把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化；2、換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．利用換元法解一元二次方程即可．【題型三】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系A(chǔ)．6 B．3 C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系故選：A．【舉一反三】A．6 B． C．5 D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系故選：A．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查了一元二次方程的根，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是先求出系數(shù)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．【答案】(1)2，；(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可得到答案；故答案為：2，；好題必刷好題必刷一、單選題A．2或4 B．0或 C．4或0 D．或2【答案】B故選：B．A．0 B．2 C．1 D．－1【答案】B【分析】利用一元二次方程的解的定義，根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1+x2=2，x12?2x1?1=0，兩式相加，即可求解．【詳解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)根，∴x1+x2=1，x12?x1?1=0，兩式相加得：x12?x1?1+x1+x2=1移項(xiàng)得：x12+x2=2故選B【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，熟練掌握一元二次方程解的定義、根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．A．x＝－3 B．x＝－2 C．x＝－3或x＝－2 D．x＝±2【答案】A【分析】分式的值為0時(shí)，需滿足分子等于0，且分母不等于0，即可求解．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查分式值為0的條件，需滿足分子等于0，且分母不等于0．4．若菱形兩條對(duì)角線的長度是方程x2﹣6x+8＝0的兩根，則該菱形的邊長為（

）A． B．4 C．25 D．5【答案】A即菱形的邊長為，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程和菱形的性質(zhì)，正確求出方程的根是解題的關(guān)鍵．【答案】C故選：C．【答案】A【分析】利用因式分解法求解即可．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)方程的形式選擇合適的解法是解題的關(guān)鍵．A． B． C．或 D．或【答案】C故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性和平方的非負(fù)性、代數(shù)式求值、解一元二次方程，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握二次根式和平方的非負(fù)性．8．已知關(guān)于x的方程m2x2＋(4m－1)x＋4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)，那么m的值為()A．2 B．－2 C．±2 D．±【答案】B【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到＝1，解得m＝2或m＝?2，然后根據(jù)判別式的意義確定滿足條件的m的值．【詳解】∵方程m2x2＋（4m?1）x＋4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)，∴＝1，解得m＝2或m＝?2，當(dāng)m＝2時(shí)，方程變形為4x2＋7x＋4＝0，△＝49?4×4×4＜0，方程沒有實(shí)數(shù)解，所以m的值為?2．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1＋x2＝?，x1x2＝．也考查了根的判別式．A．23 B．15 C．10 D．5【答案】A【詳解】解：，是不為0的實(shí)數(shù)，故選：A．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D①∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，∴x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，∵x1+x2=2m，y1+y2=2n，∴這兩個(gè)方程的根都是負(fù)根，①正確；②∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，∴4m28n≥0，4n28m≥0，∴m22n≥0，n22m≥0，∴（m1）2+（n1）2=m22n+1+n22m+1≥2，②正確；③∵y1?y2=2m，y1+y2=2n，∴2m2n=y1?y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）1，∵y1、y2均為負(fù)整數(shù)，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m2n≥1．∵x1?x2=2n，x1+x2=2m，∴2n2m=x1?x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）1，∵x1、x2均為負(fù)整數(shù)，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2n2m≥1，即2m2n≤1．∴1≤2m2n≤1，③成立．綜上所述：成立的結(jié)論有①②③．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的根的判別式，根據(jù)不同結(jié)論靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,也是解決問題的難點(diǎn)．二、填空題【答案】∴這個(gè)方程的另一個(gè)根為，故答案為．【答案】2與－1∴a22a+1=0，b+1=0，c+2=0，∴a=1，b=1，c=2，∴x1=2，x2=1．故答案為：2與－1．【點(diǎn)睛】考查了解一元二次方程，解題關(guān)鍵是利用幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，得到這幾個(gè)數(shù)都為0，從而求得a、b、c的值．【答案】4故答案為：4．【答案】2022故答案為：2022．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【答案】24【詳解】解：x2﹣14x+48=0，則有（x6）(x8)=0解得：x=6或x=8．所以菱形的面積為：（6×8）÷2=24．菱形的面積為：24．故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)．菱形的對(duì)角線互相垂直，以及對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積的特點(diǎn)和根與系數(shù)的關(guān)系．16．已知m、n是方程x2﹣2x﹣7＝0的兩個(gè)根，那么m2+mn+2n＝．【答案】4【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n=2，mn=﹣7，根據(jù)m2﹣2m7=0求出m2=7+2m，代入即可．【詳解】∵m、n是方程x2﹣2x﹣7=0的兩個(gè)根，∴m+n=2，mn=﹣7，m2﹣2m﹣7=0，∴m2=2m+7，∴m2+mn+2n=2m+7+mn+2n=7+2×2+（﹣7）=4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是掌握兩根之和和兩根之積的表達(dá)式．【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解方程和解一元二次方程，能夠正確換元是解此題的關(guān)鍵．18．觀察下面的表格，探究其中的規(guī)律并填空：一元二次方程方程的兩個(gè)根二次三項(xiàng)式分解因式x2﹣x﹣2=0x1=﹣1，x2=2x2﹣x﹣2=(x+1)(x﹣2)x2+3x﹣4=0x1=1，x2=﹣4x2+3x﹣4=(x﹣1)(x+4)3x2+x﹣2=0x1=，x2=﹣13x2+x﹣2=3(x)(x+1)4x2+9x+2=0x1=，x2=﹣24x2+9x+2=4(x)(x)2x2﹣7x+3=0x1=，x2=2x2﹣7x+3=ax2+bx+c=0x1=m，x2=nax2+bx+c=【答案】+232(x﹣)(x﹣3)a(x﹣m)(x﹣n)【分析】利用公式法對(duì)方程的左邊進(jìn)行因式分解．一元二次方程方程的兩個(gè)根二次三項(xiàng)式分解因式x2﹣x﹣2=0x1=﹣1，x2=2x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2）x2+3x﹣4=0x1=1，x2=﹣4x2+3x﹣4=（x﹣1）（x+4）3x2+x﹣2=0x1=，x2=﹣13x2+x﹣2=3（x）（x+1）4x2+9x+2=0x1=，x2=﹣24x2+9x+2=4（x+）（x+2）2x2﹣7x+3=0x1=，x2=32x2﹣7x+3=2（x﹣）（x﹣3）ax2+bx+c=0x1=m，x2=nax2+bx+c=a（x﹣m）（x﹣n）故答案是：；+2；；3；2(x﹣)(x﹣3)；a(x﹣m)(x﹣n)．【點(diǎn)睛】考查了解一元二次方程﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．三、解答題19．解方程：3x（x+2）＝5（x+2）【點(diǎn)睛】本題考查了利用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解法主要包括：直接開方法、配方法、公式法、因式分解法、提取公因式法等，熟記各解法是解題關(guān)鍵.(1)求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可驗(yàn)證；∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、根與系數(shù)的關(guān)系．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．21．利用因式分解法解下列方程【答案】（1）x=1,x=；（2）x=0,x=4;（3）x=1,x=1;（4）x=x=;（5）x=x=9;【分析】直接利用因式分解法和直接開平方法進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】原式=(x－2)2(2x3)2=0∴（1x）（3x5）=0x=1,x=;（2）原式=x(x4)=0x=0,x=4;x=1,x=1;x=x=;x=x=9;【點(diǎn)睛】此題考查解一元二次方程因式分解法和直接開平方法，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則22．解方程：【分析】（1）根據(jù)因式分解法進(jìn)行求解方程即可；（2）根據(jù)配方法進(jìn)行求解方程即可．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．23．解方程：【分析】（1）按照配方法的基本步驟求解即可．（2）利用因式分解法計(jì)算即可．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，靈活選擇解題的方法是解題的關(guān)鍵．請(qǐng)根據(jù)以上過程算出和的值；【拓展提升】觀察、、之間的數(shù)量關(guān)系，試給出，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】本題考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、求代數(shù)式的值，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．25．閱讀材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=，我們把這個(gè)命題叫做韋達(dá)定理，根據(jù)上述材料，解決下面問題：（1）一元二次方程2x2﹣3x+1=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=(

)，x1?x2=(

)；（2）已知實(shí)數(shù)m、n滿足m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0且m≠n，求+的值；（3）若x1，x2總是方程