第一章 勾股定理 單元測試（含解析） 2025-2026學年北師大版（2024）數(shù)學八年級上冊

第一章勾股定理單元測試一、單選題1．已知的一邊，另兩邊長分別是3，4，若是邊上異于，的一點，過點作直線截，截得的三角形與原相似，滿足這樣條件的直線有（

）條A．4 B．3 C．2 D．12．某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端A到左墻的距離為，梯子頂端D到地面的距離為，若梯子底端A保持不動，將梯子斜靠在右墻上，梯子頂端C到地面的距離為，則這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬為（

）

A． B． C． D．3．如圖，將矩形ABCD沿直線DE折疊，頂點A落在BC邊上F處，已知，，則BF的長為（

）A．5 B．4 C．3 D．24．下列各組數(shù)中，不能構成直角三角形的是（

）A．3、4、5 B．6、8、10 C．8、15、17 D．10、12、155．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是，的中點，若，則等于（

）A． B． C． D．6．如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉，點B落在點D處，則B、D兩點間的距離為（

）A． B． C．3 D．7．點P的坐標為，點是垂直于y軸的直線l上的一點，經(jīng)過點P，且與直線l相切于點A，則點M的縱坐標為（）A． B．1 C．2 D．48．如圖，點P是⊙O直徑AB的延長線上一點，PC切⊙O于點C，已知OB＝3，PB＝2．則PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．59．一架長的梯子斜靠在墻上，梯子底端到墻的距離為．若梯子頂端下滑，那么梯子底端在水平方向上滑動了（

）A． B．小于 C．大于 D．無法確定10．如圖，把含30°的直角三角板ABC繞點B順時針旋轉至如圖△EBD，使BC在BE上，延長AC交DE于F，若AF＝8，則AB的長為（）A．4 B．4 C．4 D．6二、填空題11．中，分別是斜邊上的中線和高，則．12．勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形．（直角三角形的判定）13．如圖，在正方形網(wǎng)格中，若小方格的邊長均為，則是三角形．

14．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱體中，如圖，設筷子露出在杯子外面長為hcm，則h的最小值，h的最大值．15．如圖，分別以的三邊為直徑向三角形外作半圓，圖中有陰影的三個半圓的面積的關系為，則是三角形．三、解答題16．如圖，數(shù)學活動課上，老師帶領全班學生測量旗桿高度，已知旗桿頂端垂下了一根繩子，繩子的末端點距離地面的高度為米，老師讓小明拿起繩子末端向前走了米至點處，此時繩子末端距離地面的高度為米，求旗桿的高度．17．已知為銳角，，求，的值．18．一個直角三角形三邊的長為三個連續(xù)偶數(shù)，求這個三角形的三條邊長．19．如圖，正六邊形的中心為原點O，頂點在x軸上，半徑為．求其各個頂點的坐標．20．在矩形中，，，點D為邊上一點，將沿直線折疊，使點B恰好落在邊上的點E處，分別以，所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，求點D的坐標．《第一章勾股定理單元測試》參考答案題號12345678910答案BABDCAACAC1．B【分析】由，另兩邊長分別是3，4，可知△ABC是直角三角形，過點P作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個公共角，只要再作一個直角就可以．【詳解】解：如圖，∵，另兩邊長分別是3，4，又∵，∴，即△ABC是直角三角形，∵過P點作直線截△ABC，則截得的三角形與△ABC有一公共角，∴只要再作一個直角即可使截得的三角形與Rt△ABC相似，∴過點P可作AB的垂線、AC的垂線、BC的垂線，共3條直線．故選：B．【點睛】本題主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其運用，解題時運用了兩角法（有兩組角對應相等的兩個三角形相似）來判定兩個三角形相似．2．A【分析】本題考查的是勾股定理的應用，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，領會數(shù)形結合思想的應用．先根據(jù)勾股定理求出的長，同理可得出的長，進而可得出結論．【詳解】解：在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴，故選：A．3．B【分析】由折疊的性質得到，，根據(jù)勾股定理求出BF的長即可求解．【詳解】解：由折疊的性質知：，，在中，，，由勾股定理可得：．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用和折疊的性質，理解折疊的性質是解答關鍵．4．D【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．據(jù)此逐一判定即可得到答案．【詳解】解：A、，能構成直角三角形，不符合題意；B、，能構成直角三角形，不符合題意；C、，能構成直角三角形，不符合題意；D、，不能構成直角三角形，符合題意，故選D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解題關鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形．5．C【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理求出EF，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC=90°，根據(jù)正弦的定義計算即可．【詳解】連接，∵E，F(xiàn)分別是的中點，∴，∵，∴，又∵，∴，∴△BCD是直角三角形，，∴．故選：C．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理、解直角三角形的知識，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．6．A【分析】本題考查了旋轉的性質及勾股定理，根據(jù)勾股定理先求，再根據(jù)旋轉得出，進而用勾股定理求值即可．【詳解】解：連接，∵在中，，∴，∵將繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段上的點E處，∴，∴，在中，．故選：A．7．A【分析】根據(jù)切線的性質得到，求得點的橫坐標為，設，過作軸于，連接，，則，，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】解：∵直線是的切線，∴，∵軸，∴軸，∵點，∴點的橫坐標為，設，過作軸于，連接，，則，，，∴，∵點的坐標為，∴，∴，在中，，即，解得，∴點M的縱坐標為．故選：A．

【點睛】本題考查了切線的性質，平行線的性質，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．8．C【分析】根據(jù)題意連接OC，依據(jù)切線性質得出，進而利用勾股定理即可求出PC．【詳解】解：連接OC，∵PC為⊙O的切線，∴，∵OB＝OC=3，PB＝2，∴,∴．故選：C．【點睛】本題考查切線的性質，熟練掌握切線的性質以及勾股定理的運用是解題的關鍵．9．A【分析】根據(jù)題意作圖，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意作圖如下，由題意知，，，，，，，梯子底端在水平方向上滑動的距離是．故選A．【點睛】本題主要考查勾股定理，解題的關鍵是根據(jù)題意作圖分析求解．10．C【分析】根據(jù)旋轉的性質得到AB＝BE，∠A＝∠E＝30°，設BC＝x，根據(jù)直角三角形的性質得到AB＝DE＝2x，根據(jù)勾股定理得到AC＝，根據(jù)題意列方程即可得到結論．【詳解】解：∵把含30°的直角三角板ABC繞點B順時針旋轉得到△EBD，∴AB＝BE，∴∠A＝∠E＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠EDF＝90°，設BC＝x，∴AB＝BE＝2x，∴CE＝x，AC＝，∵∠ECF＝90°，∠E＝30°，∴CF＝EF，∵CE＝x，∴CF＝，∵AF＝8，∴，∴x＝∴AB＝2x＝，故選：C【點睛】本題考查了旋轉的性質，含30°角的直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．11．1.4【分析】由題意可畫圖，利用勾股定理求出AB的長，然后根據(jù)CD是AB邊的中線，求出AD的長，再利用求出CE的長，最后在中利用勾股定理求出AE的長，即可得出最終結果．【詳解】由題意可畫圖，在中，CD是AB邊的中線，CE是AB的高線，在中，故答案為：1.4．【點睛】本題主要考查直角三角形和勾股定理的綜合應用，有一定綜合性，熟練掌握勾股定理解三角形是關鍵．12．a(chǎn)2+b2=c2【解析】略13．直角【分析】根據(jù)勾股定理和結合正方形網(wǎng)格分別求出、、的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀．【詳解】解：依題意，根據(jù)勾股定理得，，，；∵∴，∴，∴是直角三角形．故答案為：直角【點睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理，充分利用網(wǎng)格是解題的關鍵．14．11cm12cm【分析】根據(jù)筷子的擺放方式得到：當筷子與杯底垂直時h最大，當筷子與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，利用勾股定理計算即可．【詳解】解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．當筷子與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，此時，在杯子內(nèi)的長度==13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范圍是11≤h≤12cm．故答案為：11cm；12cm．【點睛】此題考查勾股定理的實際應用，正確理解題意、掌握勾股定理的計算公式是解題的關鍵．15．直角【分析】本題考查勾股定理逆定理，根據(jù)圓的面積公式，結合題意求出是解題關鍵．分別求出，再結合，即可得出，說明是直角三角形．【詳解】解：∵，，，又∵，∴，∴，∴是直角三角形．故答案為：直角．16．旗桿的高度為米【分析】本題主要考查勾股定理的實際應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．設繩子長為米，過點作于點，根據(jù)題意可得米，米，米，米，由勾股定理得，求解出后，即可求旗桿的高度．【詳解】解：設繩子長為米，如圖，過點作于點，根據(jù)題意得米，米，米，米，在中，由勾股定理得，解得：，∴旗桿的高度為米．答：旗桿的高度為米．17．，【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；銳角的正切等于對邊比鄰邊．設，，根據(jù)勾股定理得，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：如圖，，，，

設，．根據(jù)勾股定理，得，∴．∴，．18．6，8，10【分析】可設該直角三角形的三邊長分別為、、，利用勾股定理可得，解方程即可求解．【詳解】解：設該直角三角形的三邊長分別為、、，根據(jù)題意得：，解得（舍去），．所以斜邊長為．故這個三角形三邊長為6、8、10．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是用表示出三邊長．19．A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F(xiàn)（－1，）【分析】過點E作EG⊥x軸，垂足為G，連接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出結論．【詳解】解：過點E作EG⊥x軸，垂足為G，連接OE，∵OE=OD，∠EOD=，∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，點E的坐標為（1，），又由題意知點D的坐標為（2，0），由圖形的對稱性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F(xiàn)（－1，）．故這個正六邊形ABCDEF各個頂點的坐標分別為A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F(xiàn)（－1，）．【點睛】本題考查了正六邊形的對稱性，直角三角形30°的角所對的邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練運用這些