2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（人教B版）

2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（人教B版）

一、單選題

1.（2025北京昌平高三上期末）設(shè)函數(shù)/*）=斗警二的定義域?yàn)?。，則對(duì)。內(nèi)的任意實(shí)數(shù)X，有（）

A./（x）+/（-）=OB./U）-/（i）=0

XX

c./?+/（-）=2D./?-/（-）=2

xx

2.（2025北京朝陽(yáng)高三上期末）“加>">1”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2025北京豐臺(tái)高三上期末）溶液酸堿度是通過(guò)pH計(jì)量的，pH的計(jì)算公式為pH=-lg[H+],其中

[H+]表示溶液中氫離子的濃度（單位：mol/L）.室溫下，溶液中氫離子和氫氧根離子的濃度之積為常數(shù)

10*,gp[H+]-[OH-]=10-14,其中[OH]表示溶液中氫氧根離子的濃度（單位：mol/L）.室溫下，某溶

液的pH值為1,若加水稀釋后，該溶液的pH值變?yōu)?,則稀釋后溶液中氫氧根離子的濃度與稀釋前溶液

中氫氧根離子的濃度的比值為（）

A.1B.2C.—D.10

210

4.（2025北京順義高三上期末）“a=l”是“對(duì)任意x>0,（x-。）出血0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

,、flog2x,%>0

5.（2024北京通州高三上期末）已知函數(shù)彳<0，實(shí)數(shù)“力,加滿足必?若對(duì)任意的機(jī),

總有不等式/（7"）+機(jī)43成立，貝的最大值為（）

6.（2024北京石景山高三上期末）設(shè)函數(shù)〃x）=ln|x+l|-ln|x-l|,則，。）是（）

A.偶函數(shù)，且在區(qū)間（1,+⑹單調(diào)遞增

B.奇函數(shù)，且在區(qū)間（-M）單調(diào)遞減

C.偶函數(shù)，且在區(qū)間（-8,-1）單調(diào)遞增

D.奇函數(shù)，且在區(qū)間（1,+8）單調(diào)遞減

7.（2024北京石景山高三上期末）設(shè)函數(shù)〃尤）=則〃-2）+/（廄210）=（）

A.2B.5C.7D.10

8.（2024北京西城高三上期末）已知函數(shù)/（x）=ln—,則（）

A.“X）在（-1,1）上是減函數(shù)，且曲線y=存在對(duì)稱軸

B.”X）在（-1,1）上是減函數(shù)，且曲線y=存在對(duì)稱中心

C.“X）在（-1,1）上是增函數(shù)，且曲線y=〃尤）存在對(duì)稱軸

D.“X）在（-U）上是增函數(shù)，且曲線>=〃尤）存在對(duì)稱中心

9.（2024北京大興高三上期末）已知。>6>0且必=10,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.lga+lg/>>0B.lga-lgZ?>0

C.Iga-\gb<-D.7^7->l

4Igb

10.（2024北京一六六中高三上期末）已知a=log34,*=log072,c=54,則a,b,c的大小關(guān)系是

（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

11.（2023北京西城高三上期末）已知函數(shù)/（x）=lg|x|,則/（x）（）

A,是奇函數(shù)，且在（0,+◎上是增函數(shù)B,是奇函數(shù)，且在（0,+刈上是減函數(shù)

C.是偶函數(shù)，且在（。,+8）上是增函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在（。,+⑹上是減函數(shù)

12.（2023北京豐臺(tái)高三上期末）已知函數(shù)/（x）=31og2X-2（x-l）,則不等式/（尤）>0的解集是（）

A.。,4）B.（-<?,l）U（4,+oo）

C.（0,1）。（4,+8）D.（0,4）

13.（2023北京房山高三上期末）某教學(xué)軟件在剛發(fā)布時(shí)有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用

戶.如果教師用戶人數(shù)R⑺與天數(shù)/之間滿足關(guān)系式：R?）=&e",其中人為常數(shù)，&是剛發(fā)布時(shí)的教師用

戶人數(shù)，則教師用戶超過(guò)20000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010）

A.9B.10C.11D.12

二、填空題

14.（2025北京房山高三上期末）函數(shù)的定義域?yàn)?

15.（2025北京通州高三上期末）已知函數(shù)〃x）=%+log2（x_2），貝U/?）=.

16.（2025北京順義高三上期末）函數(shù)〃x）=j+log2無(wú)的定義域?yàn)?

17.（2024北京通州高三上期末）已知函數(shù)/（x）=2，+log2（x+3）,則/（-2）=.

18.（2024北京石景山高三上期末）函數(shù)/。）="^+炫（了+3）的定義域?yàn)?

f2，—ITTX<]

19.（2024北京昌平高三上期末）若函數(shù)/（無(wú)）=,']在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)%的一個(gè)

[Inx,x>l

取值可以為.

20.（2024北京西城高三上期末）已知函數(shù)〃x）=21og2X-log2（x-4）,則/（x）的定義域是；

/（X）的最小值是.

21.（2024北京東城高三上期末）函數(shù)〃無(wú)）=[—的定義域?yàn)?

X1WC

2

22.（2024北樂(lè)房山IWJ二上期末）函數(shù)）=ln（l-2x）+—的定義域是.

x

23.（2024北京一六六中高三上期末）已知定義在｛xwR|xwO｝上的函數(shù)f（x）具備下列性質(zhì)，①/（%）是偶

函數(shù)，②〃尤）在（。,+e）上單調(diào)遞增，③對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x、,都有"孫）="％）+/（y）,寫(xiě)出符合條件

的函數(shù)的一個(gè)解析式____（寫(xiě)一個(gè)即可）.

24.（2023北京順義高三上期末）函數(shù)/（x）=lg（x+l）+」二的定義域?yàn)開(kāi)__________.

x-l

Inx,0<x<a

25.（2023北京通州高三上期末）已知函數(shù)/（元）=幺x〉a，若函數(shù)/（x）存在最大值，貝匹的取值范

圍為.

26.（2023北京房山高三上期末）函數(shù)無(wú)的定義域是.

參考答案

1.C

【分析】將公）化簡(jiǎn)并得到耳），禾府。4-求出〃尤）+/d）、/?-/（-）.對(duì)照各選項(xiàng)作出

XX

判斷即可.

1

【詳解】+1,

log2X

:.心=/+1=尋"=-表+1

X

：./(x)+/(-)=--1—+1-—'―+1=2,故A錯(cuò)誤，C正確;

xlog2xlog2X

+l-f———+12

心，故B、D錯(cuò)誤,

xlog2XIlog2尤)

故選：C.

2.A

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可下結(jié)論.

【詳解】當(dāng)加時(shí)，10g/V10gm根=1,所以充分性成立；

若log/vl,即log/vlog租機(jī)，

當(dāng)0〈機(jī)<1時(shí)，n>m,所以lv〃〈加不成立，故必要性不成立,

所以“1<"根”是"log/<1”的充分不必要條件.

故選：A

3.D

【分析】利用pH的計(jì)算公式可求得溶液稀釋前后的氫離子的濃度，再利用[H+}[OH[=1（T"即可求得稀

釋前后的氫氧根離子的濃度，即可求得稀釋后溶液中氫氧根離子的濃度與稀釋前溶液中氫氧根離子的濃度

的比值.

【詳解】設(shè)稀釋前氫離子和氫氧根離子的濃度分別為[H+],[OH-],稀釋后氫離子和氫氧根離子的濃度

分別為[H+J,[OH]，

因?yàn)橄♂屒叭芤旱膒H為1,所以l=-lg[H+],所以[H+]=10'

又因?yàn)閇H+HOH[=I（）T4,所以[OH]=答=10-\

因?yàn)橄♂尯笕芤旱膒H為2,所以2=-lg[H+J,所以[H+J=10-2,

又因?yàn)閇H+J[OH1'=10-4,所以[OH]=『=10一“，

「OH--|in-12

所以稀釋后溶液中氫氧根離子的濃度與稀釋前溶液中氫氧根離子的濃度的比值為^—4=^—=10.

[OH-]IO-13

故選：D.

4.C

【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可判斷條件關(guān)系.

【詳解】若々=1,貝=

當(dāng)%>1時(shí)，x-l>0,lnx>0,故(x-l)lnx>0；

當(dāng)0<x<l時(shí)，x-l<0,lnx<0,故(x-l)lnx>0；

當(dāng)兀=1時(shí)，(x—l)lnx=0,

故a=l能推出(1-。)山工2。；

反之，若對(duì)任意%>0,(x-tz)lnx>0,

因?yàn)?>1時(shí)，lnx>0,i^x-a>0,故1—〃之0即

而0<冗<1時(shí)，lnx<0,故％—故1-aKO即

%=1時(shí)顯然成立，故。=1,

故對(duì)任意x>0,(x—Q)lnxZ0能得至lja=l,

故“a=l”是“對(duì)任意%>0,(%-〃)lnx20”的充要條件，

故選：C.

5.D

【分析】由分段函數(shù)的定義域?qū)舆M(jìn)行分類討論可得加的范圍，即可得8-〃的最大值.

【詳解】當(dāng)機(jī)>0時(shí)，有l(wèi)og2m+mV3,

由logz^+m隨加增大而增大，且/⑵=地22+2=3,故。<根<2,

當(dāng)機(jī)40時(shí),^*|2m+l|+m<3,gp|2m+l|<3-m,

即4m2+4m+l<m2—6m+9,

整理得3機(jī)?+io機(jī)-8<0,即(3機(jī)—2)(m+4)40,

2

故-4?機(jī)工§,又m3。,故-4Sm40,

綜上所述，-4<m<2,

貝(-4)=6,當(dāng)且僅當(dāng)人=2、〃=T時(shí)等號(hào)成立，

故匕-。的最大值為6.

故選：D.

6.D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求得正確答案.

【詳解】“X)的定義域?yàn)榈?±1},

/(-x)=ln|-^+l|-ln|-x-l|=ln|^-l|-ln|x+l|=-/(%),

所以/'(x)是奇函數(shù)，AC選項(xiàng)錯(cuò)誤.

Y+]

當(dāng)一1vxvl時(shí)，/(x)=ln(x+l)-ln(l-x)=ln----

1-x

(2-(1-叫

=ln、1-尤J

7

J=---1在(-1,1)上單調(diào)遞增，y=Inx在(0,+8)上單調(diào)遞增,

1-X

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知“X)在區(qū)間(T，l)單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

當(dāng)尤>1時(shí)，/(x)=ln(x+l)-ln(x-l)=ln^i=11/^-^^-^=111^1+^-^,

x-lV7Ix-l)

7

y=1H----在(1,+°°)上單調(diào)遞減，y=Inx在(0,+8)上單調(diào)遞增,

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知f(x)在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.

故選：D

7.C

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析、對(duì)數(shù)運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】f(-2)=log24=2,

^^-log210>log24=2,

所以/(log210)=2爪=2喀1°X2-=10x；=5,

所以〃-2)+〃log210)=7.

故選：C

8.D

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】由二三>0得(x+D(x—1)<0,解得所以“X)的定義域是(—1,1),

1-X

〃x)=lnj^=ln(-(1-力+2)，T+占

1一尤J

y=-l+F在上單調(diào)遞增，丫=111》在(0,+8)上單調(diào)遞增,

1-X

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知f(x)在(-U)上是增函數(shù),

/(-x)=ln^|=lnl+x、1

小)，

1-X=-4=-

所以/'(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即D選項(xiàng)正確.

故選：D

9.D

【分析】對(duì)A：由對(duì)數(shù)性質(zhì)運(yùn)算即可得；對(duì)B：由對(duì)數(shù)性質(zhì)運(yùn)算即可得；對(duì)C：借助基本不等式運(yùn)算即可

得；對(duì)D：找出反例即可得.

【詳解】對(duì)A：lga+lg6=lga6=l>0,故A正確；

對(duì)B：由。>6>0,貝i]lga>lgb,故lga-lgZ?>0,故B正確；

對(duì)C：由lga+lg"=lg“6=l,故]gq.]g64,ga；lg[=；,

當(dāng)且僅當(dāng)o=b=Jid時(shí)等號(hào)成立，由。>6>0,故等號(hào)不成立，

即IgaJgbv；,故C正確；

對(duì)D：當(dāng)。=100、b=0.1時(shí)，符合題意，

但此時(shí)粵===-2<1,故D錯(cuò)誤.

lgb-1

故選：D.

10.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性跟0」比較即可判斷.

【詳解】因?yàn)?=1幅4>1。833=1,fe=log072<log07l=0,0<c=5如<5°=1,

所以q>c>6.

故選:B

11.C

【分析】求出函數(shù)定義域，求出了(-%)的表達(dá)式即可判斷奇偶性.當(dāng)尤>0,/(x)=lgx,可知函數(shù)在

(0,+8)上單調(diào)遞增，即可得出答案.

【詳解】由已知可得，/(x)的定義域?yàn)閧xlxwO},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

又f(-x)=lg\-x|=lg|x|=/(x),所以f(x)為偶函數(shù).

當(dāng)x>0,/(x)=lgx,因?yàn)閥=lgx在(0,+8)上是增函數(shù)，所以“X)在(0,+功上是增函數(shù).

故選：C.

12.A

【分析】將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問(wèn)題，結(jié)合圖象求得正確答案.

2

【詳解】依題意/(x)=31og2x-2(x—l)>0,log2x>-(x-l),

y=iogx

2*=i或x=4

由<2(，、解得2

y二(I)=0=2

2

畫(huà)出y=log2尤,y=的圖象如下圖所示,

由圖可知，不等式/(幻>0的解集是(L4).

故選：A

【分析】根據(jù)已知條件求得R⑺=100e丁'，結(jié)合尺⑺>20000及指對(duì)數(shù)關(guān)系、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解集，即可

得結(jié)果.

%=100

R(0)=&e°=100

【詳解】由題設(shè)可得：In10,

R(5)==1000k-----

I5

In10inio5In200

所以R(，)=100e5t，則lOOe亍'>20000，故'=InlO=51g200=5x(lg2+2)?11.505>11,

所以教師用戶超過(guò)20000名至少經(jīng)過(guò)12天.

故選：D

14.(-l,0)u(0,+oo)

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零、分母不為零可得出關(guān)于1的不等式組，由此可解得函數(shù)/(%)的定義域.

【詳解】對(duì)于函數(shù)〃x)=ln(：x),有解得x>-l且xwO,

因此，函數(shù)“X)的定義域?yàn)?T0)u(0,w).

故答案為：(TO)"。,例).

15.3

【分析】直接代入計(jì)算即可.

1

【詳解】/(4)=4+log2(4-2)=2+l=3-

故答案為：3.

16.(0,l)U(l，H

【分析】根據(jù)解析式得到關(guān)于自變量的不等式組，其解為函數(shù)的定義域.

fx—IwO/、/、

【詳解】由題設(shè)有尤>0，故xe(O,l)U(L”)，

故答案為：(o,i)u(i，H.

17.-/0.25

4

【分析】利用函數(shù)表達(dá)式即可求出/(-2)的值.

【詳解】由題意，

A

在/(x)=2+log2(%+3)中，

2

/(-2)=2-+log2(-2+3)=i+0=i,

故答案為：

4

18.(-3,4]

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.

P4-x>0

【詳解】依題意，。一八，解得-3。？4,

[x+3>0

所以/'(x)的定義域?yàn)?-3,4].

故答案為：(-3,4]

19.0(答案不唯一)

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性即可直接求解.

【詳解】由題知，

當(dāng)xVl時(shí)，/(力=2,-加遞增，

當(dāng)尤>1時(shí)，/(x)=lnx遞增，

又/(x)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，

所以2-〃z>lnl=O,即相<2.

故答案為：0(答案不唯一)

20.(4,+oo)4

2

【分析】由函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，求得“X)的定義域，化簡(jiǎn)〃x)=log2,，令

f=x-4>0,得到"x)=log2/F，結(jié)合基本不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

/、/、fx>0

【詳解】由函數(shù)/("=2氏2尤一題2(1)有意義，貝！|滿足.4>()，解得彳>4，

所以函數(shù)“X)的定義域?yàn)?4,+8),

X2

XS/(X)=2logX-log(x-4)=log——-,X>4,

222九一4

令/=尤-4>0,可得/(x)=log20+4),力〉0

A/、。+4)216八

々g(X)=------=￡H----Fo8,2>0,

因?yàn)槿?822^^+8=16,當(dāng)且僅當(dāng)/=；時(shí)，即t=4時(shí)，即x=8時(shí)取等號(hào)，

所以g(x)216,所以〃x)N〃8)=log216=4,所以函數(shù)的最小值為4.

故答案為：(4,+8)；4.

21.(0,1)。。,+“)

【分析】根據(jù)分式的分母不為0,對(duì)數(shù)的真數(shù)大于。求解即可.

【詳解】：〃x)=』，