2024北京重點(diǎn)校高二（下）期末數(shù)學(xué)匯編：隨機(jī)變量及其分布章節(jié)綜合（非解答題）

2024北京重點(diǎn)校高二（下）期末數(shù)學(xué)匯編

隨機(jī)變量及其分布章節(jié)綜合（非解答題）

一、單選題

1.（2024北京海淀高二下期末）已知一批產(chǎn)品中，A項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為80%,8項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為

90%,A、B兩項(xiàng)指標(biāo)都合格的比例為60%,從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)產(chǎn)品，若A項(xiàng)指標(biāo)合格，則該產(chǎn)品

的B項(xiàng)指標(biāo)也合格的概率是（）

3235

A.—B.—C.—D.一

7346

4

2.（2024北京房山高二下期末）某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，夏季里，每天下雨的概率是不，刮風(fēng)的概率為

21

—,既刮風(fēng)又下雨的概率為伍.則夏季的某一天里，已知刮風(fēng)的條件下，也下雨的概率為（）

A.且B.±C.3D.3

2251084

197

3.（2024北京通州高二下期末）設(shè)A,8為兩個(gè)隨機(jī)事件，若P（B|A）=e，P（A）=-,貝U

尸（A|B）=（）

A.-B.—C.1D.-

51025

4.（2024北京通州高二下期末）有兩臺(tái)車床加工同一型號(hào)零件，第1臺(tái)加工的次品率為4%,第2臺(tái)加工

的次品率為5%,將兩臺(tái)車床加工出來的零件混放在一起，已知第1臺(tái)，第2臺(tái)車床加工的零件占比分別

為40%,60%,現(xiàn)任取一件零件，則它是次品的概率為（）

A.0.044B.0.046C.0.050D.0.090

5.（2024北京海淀高二下期末）小明投籃3次，每次投中的概率為0.8,且每次投籃互不影響，若投中一

次得2分，沒投中得。分，總得分為X,則（）

A.E（X）=2.4B,E（X）=4.8C.D（X）=0.48D.D（X）=0.96

6.（2024北京石景山高二下期末）己知事件A,B相互獨(dú)立，尸⑷=0.8,尸（2）=0.4,則P（3|A）等于

（）

A.0.32B.0.4C.0.5D.0.8

7.（2024北京懷柔高二下期末）某次考試學(xué)生甲還有四道單選題不會(huì)做，假設(shè)每道題選對(duì)的概率均為

；，則四道題中恰好做對(duì)2道的概率是（）

4

、9「27-27-81

256256128256

8.（2024北京懷柔高二下期末）2021年7月20日，公布了《中共中央、國務(wù)院關(guān)于優(yōu)化生育政策促進(jìn)

人口長期均衡發(fā)展的決定》，決定實(shí)施一對(duì)夫妻可以生育三個(gè)子女的政策及配套的支持措施.假設(shè)生男、

生女的概率相等，如果一對(duì)夫妻計(jì)劃生育三個(gè)小孩，在已經(jīng)生育了兩個(gè)男孩的情況下，第三個(gè)孩子是女孩

的概率為（）

9.（2024北京東城高二下期末）袋中有10個(gè)大小相同的小球，其中7個(gè)黃球，3個(gè)紅球.每次從袋子中隨

機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球不再放回，則在第一次摸到黃球的前提下，第二次又摸到黃球的概率為（）

A.-B.1C.-D.—

32310

10.（2024北京西城高二下期末）投擲2枚均勻的骰子，記其中所得點(diǎn)數(shù)為1的骰子的個(gè)數(shù)為X,則方差

D（X）=（）

,5?1

A.—B.-C.—D.—

183336

11.（2024北京西城高二下期末）袋中有5個(gè)形狀相同的乒乓球，其中3個(gè)黃色2個(gè)白色，現(xiàn)從袋中隨機(jī)

取出3個(gè)球，則恰好有2個(gè)黃色乒乓球的概率是（）

A.-LB.AC.1D.3

101055

12.（2024北京大興高二下期末）隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X~N（202）,若尸（2<X<4）=0.3,則

P（XV0）=（）

A.0.2B.0.3

C.0.4D.0.5

13.（2024北京人大附中朝陽學(xué)校高二下期末）某公司選擇甲、乙兩部門提供的方案的概率分別為0.45,

0.55,且甲、乙兩部門提供的方案的優(yōu)秀率分別為0.6,0.8.現(xiàn)從甲、乙兩部門中任選一方案，則該方案

是優(yōu)秀方案的概率為（）

A.0.69B.0.7C.0.71D.0.72

14.（2024北京人大附中朝陽學(xué)校高二下期末）現(xiàn)有武隆喀斯特旅游區(qū)、巫山小三峽、南川金佛山、大足

石刻和酉陽桃花源5個(gè)旅游景區(qū)，甲、乙隨機(jī)選擇其中一個(gè)景區(qū)游玩.記事件A：甲和乙至少一人選擇巫山

小三峽，事件3：甲和乙選擇的景區(qū)不同，則條件概率尸（B|A）=（）

A.上B.9c.2D.?

6789

15.（2024北京第二中學(xué)高二下期末）李老師全家一起外出旅游，家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧，如果

鄰居記得澆水，那么花存活的概率為0.8,如果鄰居忘記澆水，那么花存活的概率為0.3.己知鄰居記得澆

水的概率為0.6,忘記澆水的概率為0.4,那么李老師回來后發(fā)現(xiàn)花還存活的概率為（）

A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6

二、填空題

16.（2024北京海淀高二下期末）某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)共同在一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)

32

查，參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為2：3,其中甲班的女生占乙班中女生占丁則該社區(qū)居民遇到

一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為.

17.（2024北京通州高二下期末）某區(qū)高二年級(jí)4000名學(xué)生的期中檢測(cè)的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布

A^（90,152）,則成績位于［90,105］的人數(shù)大約是.

（參考數(shù)據(jù)：P（〃-b4X4〃+b）a0.6827,P（〃—2b4X4〃+2cr卜0.9545）

18.（2024北京豐臺(tái)高二下期末）某校舉辦“品味，蔬，香，‘勤'滿校園”蔬菜種植活動(dòng).某小組種植的番茄

出芽率（出芽的種子數(shù)占總種子數(shù)的百分比）為80%,出苗率（出苗的種子數(shù)占總種子數(shù)的百分比）為

70%.若該小組種植的其中一顆種子已經(jīng)出芽，則它出苗的概率為.

19.（2024北京海淀高二下期末）甲乙兩人射擊一架進(jìn)入禁飛區(qū)的無人機(jī).已知甲乙兩人擊中無人機(jī)的概

率分別為0504,且甲乙射擊互不影響，則無人機(jī)被擊中的概率為.若無人機(jī)恰好被一人擊中，

則被擊落的概率為0.2；若恰好被兩人擊中，則被擊落的概率為0.6,那么無人機(jī)被擊落的概率為

20.（2024北京海淀高二下期末）某學(xué)校組織趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，一共設(shè)置了3個(gè)項(xiàng)目（其中只包含1個(gè)球類項(xiàng)

目），每位教師只能從3個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇2個(gè)參加，設(shè)李老師選擇的2個(gè)項(xiàng)目中所含球類項(xiàng)目的數(shù)量為

X,則X的所有可能取值為,數(shù)學(xué)期望E（X）=.

21.（2024北京順義高二下期末）已知隨機(jī)變量X取所有值L2,…，〃是等可能的，且磯X）=2,則

n=.

22.（2024北京懷柔高二下期末）若隨機(jī)變量X的分布列為（如表），

X123

￡1

Pa

63

則。=；若隨機(jī)變量y=2x+i,則隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望E（D=.（用數(shù)字作答）

23.（2024北京大興高二下期末）設(shè)隨機(jī)變量X~8。,量，則E（X）=.

24.（2024北京西城高二下期末）設(shè)隨機(jī)變量J的分布列如下，其中4，%,生成等差數(shù)列，且

01,02,03G（0.1）.

4012

P%a2a3

則%=;符合條件的E（9的一個(gè)值為.

25.（2024北京大興高二下期末）袋子中有10十個(gè)大小相同的小球，其中7個(gè)白球，3個(gè)黑球.每次從

袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.

①在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到白球的概率為.

②兩次都摸到白球的概率為.

26.（2024北京大興高二下期末）隨機(jī)變量X的分布列如下：

X-101

Pabc

其中a,6,c成等差數(shù)列，則尸(因=1)=,若則方差。(X)=

0

參考答案

1.C

【分析】根據(jù)題意利用條件概率公式求解即可.

【詳解】記事件A為“A項(xiàng)指標(biāo)合格”，事件g為笛項(xiàng)指標(biāo)合格”，則

P(A)=80%,P(B)=90%,P(AB)=60%,

60%3

所以尸(叫A)=

80%4

故選：C

2.D

【分析】根據(jù)條件概率公式直接可得解.

【詳解】設(shè)事件A為當(dāng)天下雨，事件8為當(dāng)天刮風(fēng),

71

則尸(0=百，P(A2)=歷，

/.、P(AB)3

則已知刮風(fēng)的條件下，也下雨的概率尸入忸,

尸叫4

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)條件概率公式可得P(A3)=g，進(jìn)而利用條件概率公式代入求解.

【詳解】由條件概率可得P(川4)=?黑=:=尸(48)=1，

1

尸奴)=5=3

所以尸(A|B)

P(B)210,

3

故選：B

4.B

【分析】根據(jù)全概率公式計(jì)算可得.

【詳解】記現(xiàn)任取一件零件它是次品為事件A,

貝U尸(A)=4%x40%+5%x60%=0.046.

故選:B

5.B

【分析】根據(jù)題意隨機(jī)變量投中次數(shù)服從二項(xiàng)分布，再由變量間的函數(shù)關(guān)系與二項(xiàng)分布的期望、方差公式

可求.

【詳解】設(shè)小明投中次數(shù)為九則由題意可知8(3,0.8),

則E?=3x0.8=2.4,。得)=3x0.8x(l-0.8)=0.48,

因?yàn)橥吨幸淮蔚?分，沒投中得0分，所以X=2J,

則E（X）=2E?=2x2.4=4.8,D（X）=4D（^）=1.92.

故選：B.

6.B

【分析】利用事件獨(dú)立性的概率乘法公式及條件概率公式進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)槭录駼相互獨(dú)立,所以尸（AB）=*A）.尸（3）,

所以尸（則=空=3=。.4,

v1'P（A）0.8

故選：B.

7.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式列式計(jì)算即得.

【詳解】依題意，四道題中恰好做對(duì)2道的概率p=C汩）2x（1-

44128

故選：C

8.D

【分析】列出前兩個(gè)孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可.

【詳解】這個(gè)家庭已經(jīng)有兩個(gè)男孩的下，計(jì)劃生育三個(gè)小孩的所有可能為（男男女）、（男男男），

所以在己經(jīng)生育了兩個(gè)男孩的情況下，第三個(gè)孩子是女孩的概率為尸=:.

2

故選:D

9.A

【分析】由條件概率、古典概型概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】在第一次摸到黃球的前提下，此時(shí)袋中有：6個(gè)黃球，3個(gè)紅球，共9個(gè)球，

所以所求概率為尸=《=:

故選：A.

10.A

【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率乘法公式可得分布列，即可求解期望，進(jìn)而可得方差.

【詳解】X的分布列為：

Mi

故選：A

11.D

【分析】根據(jù)超幾何分布公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)事件A表示“取出3個(gè)球中恰好有2個(gè)黃色乒乓球”，

則尸網(wǎng)=皆=|,

故選：D.

12.A

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閄~N(2,/)且P(2WX<4)=0.3,所以P(0<XV2)=P(2VX<4)=03,

P(X<2)=0.5,

所以P(XVO)=P(XV2)-P(0<XV2)=0.5-0.3=02.

故選:A

13.C

【分析】利用全概率公式結(jié)合題意直接求解即可.

【詳解】用A］，4分別表示選到的方案來自甲部門、乙部門，用8表示選到的方案是優(yōu)秀方案.

由題意得尸(4)=045,尸(4)=0.55,P(用4)=。6,尸(洌4)=0.8,

所以由全概率公式得尸(3)=P(A)P(⑷4)+尸(&)P(困A)

=0.45x0.6+0.55x0.8=0.71.

故選：C

14.D

【分析】求出事件A發(fā)生的個(gè)數(shù)和事件A,8同時(shí)發(fā)生的個(gè)數(shù)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，即得答案.

【詳解】由題意可知事件A發(fā)生的情況為甲乙兩人只有一人選擇巫山小三峽或兩人都選擇巫山小三峽，個(gè)

數(shù)為C；C；+1=9,

事件A,3同時(shí)發(fā)生的情況為一人選巫山小三峽，另一人選其他景區(qū)，個(gè)數(shù)為C；C；=8,故

P(AB)8

P(B|A)=

P(A)9'

故選：D.

15.D

【分析】利用條件概率和全概率公式求解.

【詳解】設(shè)事件A：鄰居記得澆水，事件3：鄰居忘記澆水，事件C：花存活,

則有P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.8,P(C\B)=0.3,

由全概率公式可得尸(O=尸(A)尸(C|A)+P(B)P(C\B)=0.48+0.12=0.6,

故選:D.

16.—/0.48

25

【分析】由全概率公式求解可得.

【詳解】記事件A="居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是甲班的”，

事件A="居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是乙班的”，

3="居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是女生”，

則。=4口4，且4,4互斥，BcQ,

23

由題意可知，p(a)=m，尸⑷)=1

37

且PCB|A)=y，P(B\A2)=-,

由全概率公式可知

0aa117

p(B)=p(A)P(BIA)+m)p(fil4)=-x-+-xf=-,

JJJJ乙J

12

即該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為

12

故答案為：—.

17.1365

【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出成績?cè)冢?0,105］的概率，再求出對(duì)應(yīng)的人數(shù).

【詳解】令高二年級(jí)4000名學(xué)生的期中檢測(cè)的數(shù)學(xué)成績?yōu)閄,則X2V(9O,152),其中〃=90。=15,

貝IJ尸(90WXW105)=P(〃VX<〃+er)=g尸(〃一bVXV〃+cr)。gx0.6827=0.34135,

所以成績位于［90,105］的人數(shù)大約是0.34135x4000。1365.

故答案為：1365

18-I

【分析】直接由條件概率計(jì)算即可求解.

【詳解】由條件概率可得所求概率為尸70%=器=7"

oO%O

故答案為：

o

19.0.70.22.

【分析】設(shè)甲擊中無人機(jī)為事件A,乙擊中無人機(jī)為事件B,無人機(jī)被擊中為事件C,無人機(jī)被擊落為事

件。，利用對(duì)立事件的概率公式可求出無人機(jī)被擊中的概率，利用全概率公式可求出無人機(jī)被擊落的概率.

【詳解】設(shè)甲擊中無人機(jī)為事件A,乙擊中無人機(jī)為事件B,無人機(jī)被擊中為事件C,無人機(jī)被擊落為事

件。，

則尸(A)=0.5,P(B)=0.4,所以p(A)=0.5,P(B)=0.6,

所以p?=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=l-0.5x0.6=0.7,

若無人機(jī)恰好被一人擊中，即事件

則P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=0.5x0.4+0.5x0.6=0.5,

若無人機(jī)被兩人擊中，即事件AB,

貝P(AB)=P(A)P(B)=0.5x0.4=0.2,

所以P(D)=P(AB+AB)P(D\AB+AB)+P(AB)P(D\AB)

=0.5x0.2+0.2x0.6=0.22.

故答案為：0.7,0.22

20.0,1；

【分析】根據(jù)題意X服從超幾何分布，應(yīng)用古典概型概率公式求出相應(yīng)概率，再由期望公式即可得.

【詳解】X的取值可能為0,1.

依題意可知X服從超幾何分布,

「210If42

貝”(x=0)=百=葭P(x=i)=-^

3

192

所以E(X)=0x§+lx§=§.

2

故答案為：0,1；—.

21.3

【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式列出方程，求解方程即可.

【詳解】由題意可得P（X=1）=P（X=2）==P（X=〃）=L

n

所以E"（X）=（1+2++n）x—=~xnx—=~~~=2,

解得n=3.

故答案為：3.

【分析】利用概率和等于1以及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式、性質(zhì)求解.

【詳解】，+。+:=1

o3

1

/.a=—

2

.-.￡(X)=lx1+2x1+3x1=13

6

.y=2x+i

:.E(Y)=2—

63

故答案為：;；號(hào).

23.-

3

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閄?B[2,￡],所以石（X）=2xg=g.

,2

故答案為：—

24.11（答案不唯一）

【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解出；根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列求期望，再求值.

\a.+a+a.=l1

【詳解】由題意可知，~0;，所以

\ax+%=2%3

￡'(^)=0x^1+lX6Z2+2xd!3=-j+2。3,

所以E（J）eg,符合條件的E偌）的一個(gè)值為1