第02講解一元二次方程（知識(shí)解讀題型精講隨堂檢測(cè)）

第02講解一元二次方程知識(shí)點(diǎn)1：解一元二次方程直接開(kāi)方知識(shí)點(diǎn)2：解一元二次方程配方法知識(shí)點(diǎn)3：解一元二次方程公式法知識(shí)點(diǎn)4：解一元二次方程因式分解法知識(shí)點(diǎn)5：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系（2）降次的實(shí)質(zhì)是有一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程（3）方法是根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方【題型1解一元二次方程直接平方】【典例1】解方程：2【答案】x1=3【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握直接開(kāi)平方法成為解題的關(guān)鍵．直接運(yùn)用直接開(kāi)平方法求解即可．【詳解】解：2x?1x?12x?1=±2，x=3或x=?1．所以該方程組的解為：x1=3或【變式1】解方程2x+12【答案】x1=0【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)開(kāi)平方得到兩個(gè)一元一次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：原方程可變形為2x+12∵2x+1是1的平方根，∴2x+1=±1．解得x1=0，【變式2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?x?1【答案】x1=0，【分析】本題考查一元二次方程的解法，熟知方程特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄊ钦_解決本題的關(guān)鍵，用直接開(kāi)平方法或因式分解法都可以．【詳解】解：3x?1開(kāi)方得，3x?1=x?1或3x?1=?解得x1=0，【變式3】解下列方程：9x?1【答案】x1=5【分析】本題考查了解一元二次方程．運(yùn)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程，即可作答．【詳解】解：整理得x?12∴x?1=±2即x?1=23或解得：x1=5用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步驟是：①化為一般形式；②移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；③化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；④配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用兩邊開(kāi)平方來(lái)求出方程的解；如果b≤0，則原方程無(wú)解．總結(jié)：【題型2解一元二次方程配方法】【典例2】解方程：x【答案】x1=8【分析】本題主要考查了解一元二次方程，靈活運(yùn)用配方法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵．直接運(yùn)用配方法求解即可．【詳解】解：x2x2x2x?22∴x?2=±6,∴x1【變式1】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?x【答案】x1=【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，開(kāi)方即可求出解．【詳解】解：2x方程變形得：x2配方得：x2?3x+9開(kāi)方得，x?3解得：x1=3+【變式2】用配方法解方程：2x【答案】x【分析】本題考查了運(yùn)用配方法解一元二次方程，先把二次項(xiàng)系數(shù)化1，得x2?2x?1【詳解】解：∵2x∴x2∴x2∴x2則x?12∴x?1=±∴x1【變式3】用配方法解方程：12【答案】x【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，接著把方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行平方，進(jìn)而解方程即可．【詳解】解：∵12∴x2∴x2∴x2∴x2∴x?32∴x?3=±19解得x1用公式法求一元二次方程的一般步驟：【題型3根據(jù)一元二次方程判斷根的情況】【典例3】一元二次方程x2A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，求出Δ=【詳解】解：∵Δ=3∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【變式1】方程x2+2x+1=0的根的情況是（A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵Δ=∴方程x2故選：C．【變式2】一元二次方程x?1x+1A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，先把方程整理成一般式，再求出Δ=【詳解】解：方程整理得，x2∵Δ=∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：D．【變式3】下列一元二次方程中，無(wú)實(shí)數(shù)根的是（

）A．x2?2x?3=0 C．x2?2x+1=0 【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根與Δ=b2【詳解】解：A、Δ=B、Δ=C、Δ=D、Δ=故選：D．【題型4根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【典例4】若關(guān)于x的一元二次方程a?1x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)aA．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)<2 C．a(chǎn)≤2且a≠1 D．a(chǎn)<2且a≠1【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程a?1x∴二次項(xiàng)系數(shù)a?1≠0，即a≠1．Δ=22?4?a?1解得a≤2．∴a≤2且a≠1故選：C．【變式1】已知關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+m+1=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A．m<54 B．m≥54 C．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟知方程有實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)方程的判別式非負(fù)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件，判別式非負(fù)，代入方程系數(shù)計(jì)算判別式，解不等式即可確定m的取值范圍．【詳解】解：對(duì)于方程x2?3x+m+1=0，其判別式為：方程有實(shí)數(shù)根需滿足Δ≥0，即：5?4m≥0解得m≤5故選：D．【變式2】若關(guān)于x的方程x2?2kx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（A．2 B．?2 C．1或?1 D．2或?2【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，牢記“當(dāng)Δ=由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵方程x2∴Δ=解得：k=2或?2．故選：D．【變式3】已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+x?m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m【答案】m<?【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，得到Δ<0【詳解】解：由題意，得：Δ=解得：m<?1故答案為：m<?1【題型5解一元二次方程公式法】【典例5】解方程：x2【答案】x1=2+【分析】本題考查了解一元二次方程；先求出Δ=【詳解】解：a=1，b=?4，c=?1，Δ==20>0，∴x=?∴x1=2+【變式1】解方程：x+1x?3【答案】x1=1+【分析】本題主要考查了解一元二次方程，靈活運(yùn)用公式法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵．先將方程化成一般式，然后再運(yùn)用公式法求解即可．【詳解】解：原方程可化為x2?2x?5=0∵Δ=∴x=?∴x1【變式2】用公式法解方程4x【答案】x1=【分析】此題考查了公式法解一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的一般形式得到a=4，b=?6，c=?3，計(jì)算得到Δ=84>0【詳解】解：4∵a=4，b=?6，c=?3，∴Δ=∴x=6±解得x1=3+【變式3】解方程：x2【答案】x1【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．利用公式法解方程即可．【詳解】解：∵x2∴a=1，∴Δ=∴x=1±解得x1因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：（1）移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；（2）將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次多項(xiàng)式的乘積；（3）令每個(gè)因式分別為零；（4）兩個(gè)因式分別為零的解就都是原方程的解?！绢}型6解一元二次方程因式分解法】【典例6】解方程(1)x(2)(x?4)【答案】(1)x1=5，(2)x1=4【分析】本題考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法與因式分解的方法解方程是關(guān)鍵．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）分解因式為x?4x?4【詳解】（1）解：x?5x+1解得：x1=5，（2）解：整理，得：x?42因式分解，得：x?4x?4即：x?4=0或x?14=0，解得：x1=4，【變式1】解方程：x【答案】x1=5【分析】本題可通過(guò)因式分解的方法，將二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程來(lái)求解，即把x2?4x?5=0左邊因式分解為(x?5)(x+1)，再令每個(gè)因式等于【詳解】解：x2(x?5)(x+1)=0，x?5=0或x+1=0，∴x1=5【變式2】解方程：x2【答案】x1=2【分析】本題考查解一元二次方程，運(yùn)用因式分解法求解即可．【詳解】解：因式分解，得x?2x+5∴x?2=0或x+5=0，解得x1=2，【變式3】解方程：x?1=x?1【答案】x1=1【分析】本題考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可得解．【詳解】解：∵x?1=x?1∴x?1?∴x?11?∴x?1=0或1?x+3∴x1=1，解題技巧：當(dāng)一元二次方程的題目中給出一個(gè)根讓你求另外一個(gè)根或未知系數(shù)時(shí)，可以用韋達(dá)定理【題型7根與系數(shù)的關(guān)系】【典例7】已知一元二次方程x2+x?2=0的兩個(gè)根是x1，x2，則A．?2 B．2 C．?1 D．1【答案】D【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“x1,x2是一元二次方程【詳解】解：由方程x2+x?2=0可知，根的和根的積x1將x1+x2=?1得：?1?(?2)=?1+2=1．故選：D．【變式1】若關(guān)于x的一元二次方程x2+x?2025=0的兩個(gè)解是x1=m，x【答案】?2026【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程x2+x?2025=0的兩個(gè)根是x1∴mn=?2025，m+n=?1∴m+n+mn=?1?2025=?2026故答案為：?2026．【變式2】若實(shí)數(shù)a、b是一元二次方程x2?4x+3=0的兩個(gè)根，則1a【答案】43/【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的求值，由根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=4，【詳解】解：∵實(shí)數(shù)a、b是一元二次方程x2∴a+b=4，∴1==4故答案為：43【變式3】若一元二次方程2x2?6x?1=0的兩根為α,?β【答案】10【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，先根據(jù)題意得到2α2?6α?1=0，α+β=??62【詳解】解：∵一元二次方程2x2?6x?1=0∴2α2?6α?1=0∴2α∴2α故答案為：10．一、單選題1．利用“配方法”解方程x2?4x?7=0，配方結(jié)果正確的是（A．(x?2)2=11 C．(x?4)2=11 【答案】A【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成為解題的關(guān)鍵．直接運(yùn)用配方法求解即可．【詳解】解：x2x2x2x?22故選：A．2．若x1、x2是方程x2A．?1 B．1 C．6 D．?6【答案】A【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可，解題的關(guān)鍵是熟記：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)根為x1，x【詳解】解：∵x1，x2是方程∴x1故選：A．3．一元二次方程x2?x+1=0的實(shí)數(shù)根的情況是（A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．無(wú)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有實(shí)數(shù)根【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟知判別式小于0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵；根據(jù)一元二次方程的判別式進(jìn)行解答即可.【詳解】解：因?yàn)榉匠痰呐袆e式Δ=所以一元二次方程x2故選：B.4．若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)A．?4 B．4 C．4或?4 D．16【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，理解方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根是關(guān)鍵．根據(jù)題意得到Δ=m【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴Δ=m解得，m=±4，∴實(shí)數(shù)m的值為4或?4，故選：C．二、填空題5．已知m,n是一元二次方程x2?4x?1=0的兩根，則m+n=【答案】4【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，根據(jù)x1【詳解】解：∵m,n是一元二次方程x2∴m+n=??4故答案為：4．6．方程xx?1=0的根是【答案】x【分析】本題考查了因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解的計(jì)算是關(guān)鍵．根據(jù)因式分解法求一元二次方程的解的計(jì)算方法求解即可．【詳解】解：xx?1∴x=0或x?1=0，∴x1故答案為：x17．關(guān)于x的一元二次方程x2?6x+k=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則k【答案】k>9/9<k【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，解答關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的情況與根的判別式Δ=b2?4ac的關(guān)系：當(dāng)【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴Δ=解得k>9，故答案為：k>9．8．已知二元一次方程x2?2x?m=0的兩根之積為?3，則m=【答案】3【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若x1，x2為方程的兩個(gè)根，則【詳解】解：設(shè)x1，x∴x1x∴m=3故答案為：3．9．設(shè)m,?n是方程x2+x?2025=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則【答案】?1【分析】本題主要考查一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵m，n是方程x2∴m2+m?2025=0，m+n=?1，∴m==2025?1?2025=?1；故答案為?1．三、解答題10．解下列方程．(1)x2?6x+5=0；(2)(3)x2?3x=0；(4)【答案】(1)x1=5，(2)x1=2，(3)x1=0，(4)x1=2+6【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，求解即可；（2）移項(xiàng)后，提公因式法進(jìn)行因式分解，求解即可．（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用配方法求解即可．【詳解】（1）xx?5x?5=0或x?1=0解得x1=5，（2）x?2x?2x?2x?2x?2x?2=