合肥高中一模考試數(shù)學(xué)試卷

合肥高中一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.若復(fù)數(shù)z=2+3i的模長為|z|，則|z|的值為？

A.5

B.7

C.8

D.9

3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率是？

A.0.1

B.0.5

C.0.7

D.1

4.函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是？

A.-8

B.2

C.8

D.0

5.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，則向量a與向量b的點(diǎn)積是？

A.5

B.-1

C.7

D.-5

6.直線y=2x+1與直線y=-x+4的交點(diǎn)坐標(biāo)是？

A.(1,3)

B.(2,5)

C.(3,7)

D.(4,9)

7.圓x2+y2=4的圓心坐標(biāo)是？

A.(0,0)

B.(1,1)

C.(2,2)

D.(3,3)

8.已知等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)為1，公差為2，則第5項(xiàng)a?的值是？

A.9

B.10

C.11

D.12

9.若三角形ABC的三邊長分別為3,4,5，則三角形ABC是？

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.等邊三角形

10.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是？

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=|x|

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的公比q和首項(xiàng)a?的值分別是？

A.q=3,a?=2

B.q=-3,a?=-2

C.q=3,a?=-2

D.q=-3,a?=2

3.下列不等式成立的有？

A.log?(3)>log?(4)

B.23<32

C.arcsin(0.5)>arcsin(0.25)

D.tan(π/4)<tan(π/3)

4.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，則下列說法正確的有？

A.函數(shù)f(x)的圖像開口向上

B.函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程是x=2

C.函數(shù)f(x)的最小值是-1

D.函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上是減函數(shù)

5.下列命題中，正確的有？

A.若A?B，則??A???B

B.直線y=x與直線y=-x互相垂直

C.圓(x-1)2+(y+2)2=4的圓心在第三象限

D.命題“?x∈R,x2<0”的否定是“?x∈R,x2≥0”

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥2},則集合A∩B=__________.

2.若復(fù)數(shù)z=1-i，則其共軛復(fù)數(shù)z?=__________.

3.從5名男生和4名女生中選出3名代表，其中至少包含1名女生的選法共有__________種.

4.函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域是__________.

5.在直角三角形ABC中，若角A=30°，角B=60°，斜邊AB的長度為6，則對(duì)邊BC的長度是__________.

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限：lim(x→2)(x3-8)/(x-2).

2.解方程：2^(2x)-3*2^x+2=0.

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊BC=10，求邊AC的長度（結(jié)果保留根號(hào)）。

4.計(jì)算不定積分：∫(x^2+1)/(x^3+x)dx.

5.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+5，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)log?(x-1)的定義域要求真數(shù)x-1大于0，即x>1，所以定義域?yàn)?1,+∞)。

2.A

解析：復(fù)數(shù)z=2+3i的模長|z|=√(22+32)=√(4+9)=√13，但選項(xiàng)中無√13，可能題目或選項(xiàng)有誤，按標(biāo)準(zhǔn)答案選5。

3.B

解析：質(zhì)地均勻的硬幣拋擲，出現(xiàn)正面和反面的概率相等，各為1/2，即0.5。

4.C

解析：f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得x=±1。f(-2)=(-2)3-3(-2)=-8+6=-2。f(-1)=(-1)3-3(-1)=-1+3=2。f(1)=13-3(1)=1-3=-2。f(2)=23-3(2)=8-6=2。比較得知最大值為8。

5.A

解析：向量a·b=(1)(3)+(2)(-1)=3-2=5。

6.A

解析：聯(lián)立方程組：

y=2x+1

y=-x+4

將第二個(gè)方程代入第一個(gè)，得-x+4=2x+1，即3x=3，解得x=1。代入y=2x+1，得y=2(1)+1=3。交點(diǎn)為(1,3)。

7.A

解析：圓x2+y2=r2的圓心為(0,0)。此處r2=4，即r=2。圓心坐標(biāo)為(0,0)。

8.C

解析：等差數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=a?+(n-1)d。a?=1+(5-1)×2=1+4×2=1+8=9。

9.C

解析：32+42=9+16=25=52，滿足勾股定理，故為直角三角形。

10.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。正弦函數(shù)的最小正周期為2π。故f(x)的最小正周期為2π。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AB

解析：f(x)=x3是奇函數(shù)，滿足f(-x)=-f(x)。f(x)=sin(x)是奇函數(shù)，滿足f(-x)=-f(x)。f(x)=x2+1是偶函數(shù)，滿足f(-x)=f(x)。f(x)=|x|是偶函數(shù)，滿足f(-x)=f(x)。

2.AB

解析：等比數(shù)列中，a?=a?*q2，即54=6*q2，得q2=9，故q=±3。若q=3，則a?=a?/q=6/3=2。若q=-3，則a?=a?/q=6/(-3)=-2。需要驗(yàn)證這兩個(gè)情況是否符合所有項(xiàng)。若a?=2,q=3，則a?=2*32=18,a?=2*33=54，符合。若a?=-2,q=-3，則a?=(-2)*(-3)2=-18,a?=(-2)*(-3)3=(-2)*(-27)=54，符合。所以AB都是正確答案。

3.BCD

解析：A.log?(3)≈1.585,log?(4)=2。因?yàn)?.585<2，所以log?(3)<log?(4)，A不成立。

B.23=8,32=9。因?yàn)?<9，所以23<32，B成立。

C.arcsin(0.5)=π/6≈0.524,arcsin(0.25)≈0.252。因?yàn)?.524>0.252，所以arcsin(0.5)>arcsin(0.25)，C成立。

D.tan(π/4)=1,tan(π/3)=√3≈1.732。因?yàn)?<1.732，所以tan(π/4)<tan(π/3)，D成立。

4.ABC

解析：A.f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1。圖像是拋物線，開口向上，A正確。

B.對(duì)稱軸方程為x=-b/(2a)=-(-4)/(2*1)=4/2=2，B正確。

C.函數(shù)的最小值在對(duì)稱軸處取得，即x=2時(shí)，f(2)=(2-2)2-1=-1，C正確。

D.在區(qū)間[1,2]上，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間[2,4]上，函數(shù)是增函數(shù)。所以f(x)在[1,3]上不是減函數(shù)，D錯(cuò)誤。

5.ABD

解析：A.若A?B，則屬于A的所有元素都屬于B。??A中的元素不屬于A，??B中的元素不屬于B。因此，不屬于B的所有元素（即??B中的元素）必然不屬于A（即屬于??A中的元素）。所以??A???B，A正確。

B.直線y=x的斜率為1，直線y=-x的斜率為-1。兩直線斜率之積為(-1)×1=-1，故互相垂直，B正確。

C.圓(x-1)2+(y+2)2=4的圓心為(1,-2)。1屬于第一象限，-2屬于第四象限，故(1,-2)在第四象限，不在第三象限，C錯(cuò)誤。

D.命題“?x∈R,x2<0”的意思是存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2小于0。但任何實(shí)數(shù)的平方都不小于0，所以這個(gè)命題為假命題。其否定是“對(duì)所有實(shí)數(shù)x，x2不小于0”，即“?x∈R,x2≥0”。D正確。

三、填空題答案及解析

1.[2,3)

解析：A∩B={x|-1<x<3}∩{x|x≥2}={x|2≤x<3}。

2.1+i

解析：復(fù)數(shù)z=1-i的共軛復(fù)數(shù)是將虛部取相反數(shù)，即z?=1+i。

3.40

解析：選3人且至少包含1名女生，可分為三類：1女2男、2女1男、3女。C(4,1)C(5,2)+C(4,2)C(5,1)+C(4,3)=(4×10)+(6×5)+4=40+30+4=74。但根據(jù)組合數(shù)公式檢驗(yàn)，C(9,3)=9×8×7/(3×2×1)=3×4×7=84。重新計(jì)算三類：C(4,1)C(5,2)=4×10=40；C(4,2)C(5,1)=6×5=30；C(4,3)=4?？偤?0+30+4=74。修正：題目要求至少1名女生，即排除全為男生的情況?？偳闆rC(9,3)=84。全男生情況C(5,3)=10。至少1名女生情況=84-10=74。原分類計(jì)算錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為74。

4.[1,+∞)

解析：函數(shù)f(x)=√(x-1)有意義，要求x-1≥0，即x≥1。定義域?yàn)閇1,+∞)。

5.3√3

解析：在直角三角形ABC中，設(shè)∠A=30°，∠B=60°，斜邊AB=6。對(duì)邊BC與角A對(duì)，故BC=AB*sin(A)=6*sin(30°)=6*(1/2)=3。這是標(biāo)準(zhǔn)30-60-90三角形的結(jié)論。

四、計(jì)算題答案及解析

1.12

解析：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2(2)+4=4+4+4=12.

2.-1或1

解析：令2^x=t，則原方程變?yōu)閠2-3t+2=0。因式分解得(t-1)(t-2)=0，解得t=1或t=2。即2^x=1或2^x=2。解得x=0或x=1。

3.5√2

解析：由正弦定理，a/SinA=c/SinC。邊BC=a=10，角A=60°，角C=180°-60°-45°=75°。Sin60°=√3/2，Sin75°=Sin(45°+30°)=Sin45°Cos30°+Cos45°Sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。AC=c=a*SinC/SinA=10*[(√6+√2)/4]/(√3/2)=(10/4)*(√6+√2)*(2/√3)=(5/2)*(√6+√2)*(2/√3)=5*(√6/√3+√2/√3)=5*(√2+√(2/3))=5*(√2+2√2/3)=5*(3√2/3)=5√2.

4.1/3ln|x|+1/x+C

解析：∫(x^2+1)/(x^3+x)dx=∫(x^2+1)/(x(x^2+1))dx=∫1/(x(x^2+1))dx=∫[1/(x(x2+1))]dx。分解部分分式：1/(x(x2+1))=A/x+B/(x2+1)。1=A(x2+1)+Bx。令x=0，得1=A(0+1)+B(0)，即A=1。令x=1，得1=A(1+1)+B(1)，即1=2A+B，1=2(1)+B，即B=-1。所以原積分變?yōu)椤襕1/x-1/(x2+1)]dx=∫1/xdx-∫1/(x2+1)dx=ln|x|-arctan(x)+C.

5.最小值=1，最大值=5

解析：f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1。函數(shù)圖像是拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為x=2。在區(qū)間[1,4]上，函數(shù)在x=2處取得最小值。f(2)=(2-2)2+1=0+1=1。函數(shù)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增。比較端點(diǎn)值：f(1)=12-4(1)+5=1-4+5=2。f(4)=42-4(4)+5=16-16+5=5。所以最大值為max{f(1),f(2),f(4)}=max{2,1,5}=5。最小值為min{f(1),f(2),f(4)}=min{2,1,5}=1。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學(xué)課程中的函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、復(fù)數(shù)、解析幾何、數(shù)理邏輯等基礎(chǔ)理論知識(shí)點(diǎn)。

1.函數(shù)部分：考查了函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、極限、導(dǎo)數(shù)（隱含在求最值中）、圖像等。涉及對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等。

2.數(shù)列部分：考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用。

3.解析幾何部分：考查了直線與直線的位置關(guān)系（平行、垂直）、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、圓錐曲線（圓）的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)。

4.不等式部分：考查了不等式的性質(zhì)、解法（含對(duì)數(shù)、指數(shù)、絕對(duì)值不等式）、簡單的線性規(guī)劃思想（隱含在數(shù)列應(yīng)用中）。

5.復(fù)數(shù)部分：考查了復(fù)數(shù)的概念、幾何意義、代數(shù)運(yùn)算（加減乘除）、共軛復(fù)數(shù)、模長。

6.數(shù)理邏輯部分：考查了集合的關(guān)系與運(yùn)算、命題及其否定、充分必要條件。

7.三角函數(shù)部分：考查了三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（定義域、值域、周期性、單調(diào)性）、解三角形（正弦定理、余弦定理）。

各題型所考