結(jié)構(gòu)力學(xué) 靜定梁的內(nèi)力分析

1、.,第三章,靜定梁的內(nèi)力分析,.,靜定梁有單跨靜定梁和多跨靜定梁。靜定梁是基本的結(jié)構(gòu)形式。本節(jié)通過單跨靜定梁，復(fù)習(xí)桿系結(jié)構(gòu)內(nèi)力概念及內(nèi)力計(jì)算基本方法；通過多跨靜定梁，了解靜定結(jié)構(gòu)幾何組成對(duì)內(nèi)力計(jì)算的影響，掌握靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析的基本途徑和方法。,.,第一節(jié),單跨靜定梁,.,伸臂梁,簡支梁,懸臂梁,單跨靜定梁,.,(a),(b),(c),(d),.,1.結(jié)構(gòu)的內(nèi)力概念,結(jié)構(gòu)的內(nèi)力反映其受力后結(jié)構(gòu)內(nèi)部的響應(yīng)狀態(tài)（產(chǎn)生應(yīng)變及相應(yīng)的應(yīng)力）。桿件結(jié)構(gòu)的內(nèi)力為桿件（垂直桿軸的）橫截面上分布的應(yīng)力，可以用一個(gè)合力來表示。在桿系結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析中，將這個(gè)合力分解成作用在橫截面中性軸處的三個(gè)分量即軸力、剪力和彎矩。

2、,.,典型桿件截面上的內(nèi)力,1.軸力（FN）,3.彎矩（M）,2.剪力（FQ）,.,軸力(FN),橫截面上應(yīng)力在截面法線（桿軸）方向上的投影（或橫截面上正應(yīng)力）的代數(shù)和稱為軸力。軸力使隔離體受拉為正（與截面法線方向相同）。,.,剪力（FQ）,橫截面上應(yīng)力在截面切線（垂直于桿軸）方向上的投影（或橫截面上切應(yīng)力）的代數(shù)和稱為剪力。剪力使隔離體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正（左上、右下）。,.,橫截面上應(yīng)力（或橫截面上正應(yīng)力）對(duì)截面中性軸的力矩代數(shù)和稱為彎矩。規(guī)定彎矩的豎標(biāo)畫在受拉側(cè)。,彎矩（M）,.,桿件截面上的內(nèi)力定義圖,.,.,靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算基本方法和步驟：,靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算可歸納為，選隔離體、建立隔離體

3、的靜力平衡方程，和求解方程三部分主要工作。內(nèi)力計(jì)算基本方法為截面法。,.,內(nèi)力計(jì)算的一般步驟,1.計(jì)算結(jié)構(gòu)的支座反力和約束,取結(jié)構(gòu)整體（切斷結(jié)構(gòu)與大地的約束）、或取結(jié)構(gòu)的一部分（切開結(jié)構(gòu)的某些約束）為隔離體，建立平衡方程,.,(2)計(jì)算控制截面的內(nèi)力（指定截面的內(nèi)力）,用假想的平面垂直于桿軸切開指定截面，取截面的任意一側(cè)為隔離體并在其暴露的橫截面上代以相應(yīng)的內(nèi)力（按正方向標(biāo)出），建立平衡方程并求解,.,(3)繪制結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖,(a)彎矩圖,(b)剪力圖,(c)軸力圖,.,在靜定結(jié)構(gòu)的受力分析中，正確有序地選取隔離體是解題的關(guān)鍵。,取隔離體的要點(diǎn)是，要保證隔離體的完全隔離，即隔離體與結(jié)構(gòu)其他部分

4、的所有聯(lián)系都要切斷。,1,2,.,隔離體上原有的已知力（荷載和已求出未知力）要保留，不能有遺漏。,隔離體上與其他部分聯(lián)系的截?cái)嗵?，只?biāo)舍去的其他部分對(duì)隔離體的作用力。,3,4,.,例3-1-1用截面法，求圖(a)所示伸臂梁截面1上的內(nèi)力。,(a),(b),.,解,1)求支座反力,去掉支座約束，取整體為隔離體，見圖(b)。建立隔離體的平衡方程并解之：,.,（箭頭標(biāo)出實(shí)際方向）,(),.,箭頭標(biāo)出實(shí)際方向,(),.,由,可校核所得支座反力。,箭頭標(biāo)出實(shí)際方向,(),.,截開截面1，取右側(cè)為隔離體，見圖（c），建立平衡方程并解之：,2)求截面1處的內(nèi)力,(c),.,(d),.,用文字寫明受拉側(cè),取截

5、面1右側(cè)為隔離體計(jì)算可得同樣結(jié)果,.,3.直接法求指定截面的內(nèi)力,由例3-1-1內(nèi)力計(jì)算結(jié)果分析，指定截面的內(nèi)力可用該截面一側(cè)的外力直接表示，即：,.,軸力（FN）,截面一側(cè)所有外力在指定截面法線方向投影的代數(shù)和，以與截面外法線方向相反為正。,.,剪力（FQ）,截面一側(cè)所有外力在指定截面切線方向投影的代數(shù)和，左上、右下為正。,.,彎矩（M）,截面一側(cè)所有外力對(duì)指定截面形心力矩的代數(shù)和。,.,例3-1-2用直接法，求例3-1-1圖(a)所示伸臂梁截面2上的內(nèi)力。,(a),.,解,支座反力計(jì)算同例3-1-1。內(nèi)力可由右圖所示受力圖直接計(jì)算：,.,取截面2左側(cè)：,用文字寫明受拉側(cè),.,取截面2右側(cè)：

6、,用文字寫明受拉側(cè),.,4.荷載與內(nèi)力的關(guān)系(未考慮沿桿件軸向的荷載作用),圖3-1-3,對(duì)于直桿段上，見圖3-1-3,荷載與內(nèi)力之間有下列關(guān)系：,.,圖3-1-4(a),(1)微分關(guān)系,在圖3-1-3所示桿件的連續(xù)分布荷載段截取微段dx，見圖3-1-4(a),建立微段的平衡方程：,.,(a),(b),.,由(a)、(b)兩式得:,(c),以上三式，為荷載與內(nèi)力的微分關(guān)系。式(b)忽略了二階微量。,.,微分關(guān)系的幾何意義,若直桿段上無荷載作用，則剪力圖是與軸線平行的一條直線，彎矩圖是一條斜直線；,.,若直桿段上作用均布荷載，則剪力圖為一條斜直線，彎矩圖為拋物線,.,若直桿段上作用三角形分布荷載

7、，則剪力圖為拋物線，彎矩圖為三次曲線；,以此類推,.,(2)荷載與內(nèi)力的增量關(guān)系,在圖3-1-3所示桿件上，取含有集中力和集中力偶在內(nèi)的微段dx，見圖3-1-4(b)，建立微段平衡方程：,圖3-1-4(b),.,(d),以上兩式，為荷載與內(nèi)力的增量關(guān)系。式(e)忽略了一階微量。,(e),.,增量關(guān)系的幾何意義,在集中力作用點(diǎn)（集中力垂直與桿軸或有垂直于桿軸的分量）兩側(cè)截面，剪力有突變，突變值即為該集中力或垂直于桿軸的分量；彎矩相同。,.,在集中力偶作用截面兩側(cè)，彎矩有突變，突變值即為該集中力偶；剪力相同。,.,(3)荷載與內(nèi)力的積分關(guān)系,取圖3-1-3所示桿件的連續(xù)分布荷載段（AB段），見圖3

8、-1-5，建立平衡方程并求解：,圖3-1-5,.,(f),(g),即,.,以上兩式，為荷載與內(nèi)力的積分關(guān)系。,注：,式(g)原式等號(hào)右側(cè)的第二、三項(xiàng)可寫成：,(f)、(g)兩式又可又前述微分關(guān)系得出,.,積分關(guān)系的幾何意義,有連續(xù)分布荷載（荷載垂直于桿軸）的直桿段AB，B端的剪力等于A端的剪力減去該段分布荷載圖的面積。B端的彎矩等于A端的彎矩減去該段剪力圖的面積。,.,5.區(qū)段疊加法作彎矩圖,疊加法的基本含義是，若結(jié)構(gòu)在線彈性階段且為小變形時(shí)，若干荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力或位移，可由各荷載單獨(dú)作用下的內(nèi)力或位移疊加求得。自然彎矩圖（剪力圖、軸力圖）也可按疊加法得到,.,根據(jù)疊加法的基本含義，下圖(

9、a)右所示簡支梁在兩端力偶和均布荷載所用下，其總彎矩圖（圖(a)右）等于，兩端力偶、均布荷載分別單獨(dú)作下彎矩圖（圖(b)右、圖(c)右）的疊加。(見下頁),(1)簡支梁的彎矩疊加法,.,圖3-1-6(a),.,圖3-1-6(c),圖3-1-6(b),.,將先分別計(jì)算和繪制各荷載單獨(dú)作用下的彎矩圖后再疊加的過程在總彎矩圖上一次完成，其步驟是:,梁的軸線為原始基線，將梁兩端的彎矩豎標(biāo)連以直線。,1,.,2,上一步所作的直線為新的基線，疊加梁中部荷載作用下的彎矩圖。,.,簡支梁在兩支座端有外力偶作用時(shí)，梁兩端截面有等于該端力偶的彎矩，無外力偶在端部作用時(shí)端部截面的彎矩為零。所以簡支梁兩端支座處的彎矩

10、值豎標(biāo)可直接繪出。,.,注,1）圖的疊加是彎矩豎標(biāo)的疊加，而不是圖形的簡單疊加。,2)每疊加一個(gè)彎矩圖，都以緊前一次彎矩圖外包線為新基線，并由此基線為所疊加的彎矩圖的拉壓分界線。見圖3-1-6。,.,（2）區(qū)段疊加法作彎矩圖,指結(jié)構(gòu)的任意一段直桿段的彎矩圖疊加方法。見下圖3-1-7圖(a)上所示一剛架結(jié)構(gòu)，要繪制直桿AB區(qū)段的彎矩圖。,.,圖3-1-7(a),將直桿段AB取出，見圖(a)右，兩端截開截面上的彎矩MAB、MBA已求出（其它桿端內(nèi)力也可求出）。,.,另做一與區(qū)段AB等長的簡支梁，見圖(b)左，其上作用有桿端力偶MA、MB和與剛架相同的均布荷載q。,圖3-1-7(b),.,比較(a)

11、右、(b)右兩受力圖,若簡支梁的桿端外力偶分別等于區(qū)段AB兩端的彎矩，即，MA=MAB,MB=MBA,容易看出，區(qū)段AB兩端的剪力與簡支梁的支座反力將相等，即，F(xiàn)QAB=FAy,FQBA=FBy,.,又由于區(qū)段AB兩端的軸力在彎曲小變形的假設(shè)下對(duì)彎矩不產(chǎn)生影響,從彎矩圖的角度說，(a)右、(b)右兩受力圖是相同的。,所以,.,區(qū)段AB的彎矩圖可以利用與簡支梁相同的疊加法制作。其步驟相類似：,求出直桿區(qū)段兩端的彎矩值，在桿軸原始基線相應(yīng)位置上畫出豎標(biāo)，并將兩端彎矩豎標(biāo)連直線。,1,.,在新的基線上疊加相應(yīng)簡支梁與區(qū)段相同荷載的彎矩圖。（相應(yīng)簡支梁，指與所考慮區(qū)段等長且其上荷載也相同的，相應(yīng)于該區(qū)

12、的段簡支梁）,上述方法既為直桿區(qū)段彎矩圖的疊加法。,2,.,例3-1-3計(jì)算圖示簡支梁，并作彎矩圖和剪力圖。,.,解,去掉支座約束，以整體為隔離體，由靜力平衡條件,得,1)求支座反力,.,(),(),(a),.,2)計(jì)算控制截面彎矩值,(下側(cè)受拉),取D截面以左,.,取C截面以右,(下側(cè)受拉),.,3)作內(nèi)力圖,彎矩圖：見圖(b)（下頁），以梁軸線為基線，畫出控制截面彎矩豎標(biāo)并連以直線；分段疊加各段相應(yīng)簡支梁的彎矩圖，并計(jì)算各段中點(diǎn)的彎矩值。,.,AD段中點(diǎn)：,DC段中點(diǎn)：,(b)M圖,.,(c)FQ圖,剪力圖：見圖(c)，按圖(a)外力從梁的任意一端開始逐段繪制。注意剪力正負(fù)號(hào)的確定。,.,

13、例3-1-4計(jì)算圖示伸臂梁，并作彎矩圖和剪力圖。,.,解,1)求支座反力（略）,(a),.,2)求控制截面彎矩值,取截面C以右：,上側(cè)受拉,.,3)作內(nèi)力圖,各區(qū)段中點(diǎn)彎矩值：,AC段中點(diǎn)：,上側(cè)受拉,.,CB段中點(diǎn)：,D左：,D右：,上側(cè)受拉,上側(cè)受拉,.,彎矩圖：見圖(b)，剪力圖：見圖(c)。,(b)M圖,(c)FQ圖,.,說明,區(qū)段疊加法作彎矩圖時(shí)，需要熟練計(jì)算簡支梁的內(nèi)力，并應(yīng)熟記簡支梁在單一荷載形式下的彎矩圖，如下圖3-1-8所示。,1,.,圖3-1-8,(a),(b),.,圖3-1-8(c),在均布荷載所用下，簡支梁跨中彎矩為。,1,.,2,集中力在跨中，簡支梁跨中彎矩為。,集中

14、力偶作用點(diǎn)兩側(cè)截面的彎矩豎標(biāo)異側(cè)，絕對(duì)值之和等于該集中力偶（突變值）。注意到力偶作用點(diǎn)兩側(cè)的,3,.,彎矩圖斜直線相互平行，由此幾何關(guān)系可確定兩側(cè)截面上的實(shí)際彎矩值。當(dāng)集中力偶在跨中時(shí)，梁中點(diǎn)兩側(cè)截面的彎矩值的絕對(duì)值相等，均為集中力偶的一半。,.,2,當(dāng)內(nèi)力圖完成后，注意用荷載與內(nèi)力的微分和增量關(guān)系定性檢查。并熟練掌握用疊加法坐直桿的彎矩圖。,.,第二節(jié),多跨靜定梁,.,概念,多跨靜定梁可看作是由若干個(gè)單跨靜定梁順序首尾鉸接構(gòu)成的靜定結(jié)構(gòu)。常見于橋梁、屋面檁條等。,.,多跨靜定梁有兩種基本的形式，即階梯式和懸跨式,階梯式,圖3-2-1,.,(b)懸跨式,圖3-2-1,.,1,多跨靜定梁的組成特

15、征,以階梯式為例。見圖3-2-1（a），這類形式的多跨靜定梁的外在組成形式是，以一根與大地獨(dú)立形成幾何不變體的桿件開始，以后各桿件順序首尾鉸接，并每根桿,.,有一根落地支座鏈桿，逐一按兩個(gè)剛片的規(guī)則（或依次加二元體的方式）組成。各單桿（單跨靜定梁）之間有互為依賴關(guān)系，即，除與大地獨(dú)立有三個(gè)支座鏈桿連接的梁外，按加二元體的順序，,.,后續(xù)的每根梁都以前面已形成的剛片為依托形成擴(kuò)大的剛片。換句話說，若切斷后續(xù)的桿件與緊前桿件的聯(lián)系，或去掉前面任意一根梁或任意約束，則切斷處剩下的部分便成為幾何可變體系，見圖3-2-2（下頁）,.,圖3-2-2-(a),.,圖3-2-2-(b),.,分析上圖,從受力的

16、角度看，其中AB可獨(dú)立承受荷載，并可承受其他部分由鉸B傳來的力，而其他部分則不能。,.,由以上可定義:,在多跨靜定梁中，可獨(dú)立承受荷載的部分，叫做基本部分；依賴于其他部分才能承受荷載的部分，叫做附屬部分。,.,多跨靜定梁的組成順序是，先基本部分，后基礎(chǔ)部分。用分層圖表示見下圖3-2-3，并容易看出，多跨靜定梁的傳力順序是組成順序的反方向，即，由附屬部分傳向基本部分。,.,(a),(b),圖3-2-3,.,圖3-2-3,(c),.,2,多跨靜定梁的實(shí)用計(jì)算方法,多跨靜定梁的實(shí)用計(jì)算方法，是以各獨(dú)立的桿件為隔離體，其計(jì)算順序是：先附屬部分，后基本部分。,.,基本部分上的荷載對(duì)附屬部分不產(chǎn)生影響，而

17、附屬部分上的荷載對(duì)其以下的基本和相對(duì)基本部分均產(chǎn)生影響。,.,例3-2-1計(jì)算圖(a)所示多跨靜定梁，并作內(nèi)力圖。,(a),.,解,該多跨靜定梁為階梯式，分層圖如圖(b),(b),.,從最高層附屬部分依次取單根桿件計(jì)算，見圖(e)以從右向左的順序計(jì)算。據(jù)此作內(nèi)力圖見圖(c)、(d)。,.,(c)M圖,.,(d)FQ圖,.,(d)由下圖組成：,.,例3-2-2計(jì)算圖示多跨靜定梁，并作內(nèi)力圖。,(a),.,計(jì)算見下圖(b)(c)(d)(e)示：,(b),.,(c),.,(d)M圖,.,(e)FQ圖,.,說明,本例為懸跨式多跨靜定梁，見圖(a)中CD（和AB）桿，該類桿沒有直接與大地的聯(lián)系，懸起用兩單鉸與兩端的其他部分相連，稱有這樣的桿件的跨為懸跨。,.,懸跨式多跨靜定梁可以圖(f)所示的剛片逐一由兩個(gè)剛片的規(guī)則作幾何組成分析。,(f),.,圖(f)中AB、CD桿是作為約束的，如果其上無荷載作用，可按圖(g)所示隔離體由右向左順序計(jì)算。,(g),.,然而，AB、CD桿上一般是有荷載的，是受彎桿件。所以，截成單桿后的隔離體受力圖如下圖(h)所示。每個(gè)隔離體都有四個(gè)未知約束力，超出了平面一般力系只能列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程方程。,.,(h),.,從承