2018年考研數(shù)學三試題及全面解析

1、2018年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三考研真題與全面解析（Word版）一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1. 下列函數(shù)中在處不可導(dǎo)的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】()【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，A. ，可導(dǎo)；B., 可導(dǎo)； C. ，可導(dǎo)；D. ，極限不存在。故選（）. 2. 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)。且，則 （ ）（A）當時， （B）當時，（C）當時， （D）當時，【答案】（）【解析一】有高于一階導(dǎo)數(shù)的信息時，優(yōu)先考慮“泰勒展開”。從選項中判斷，展開點為 。將函數(shù)在處展開，有，其中。兩邊

2、積分，得，由于 ，所以，應(yīng)選（D）.【解析二】排除法。（A）錯誤。令，易知，但是。（B）錯誤。令，易知，但是。（C）錯誤。令，易知，但是。故選 （D）.3. 設(shè)，則（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（）【解析】積分區(qū)間是對稱區(qū)間，先利用對稱性化簡，能求出積分最好，不能求出積分則最簡化積分。，令，則，當時，當時，故 對，有，因而，故。應(yīng)選（）.4. 設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)可導(dǎo)，其中為產(chǎn)量。若產(chǎn)量為時平均成本最小，則 （ ）（A）（B）（C）（D）【答案】（）【解析】平均成本 ，由于產(chǎn)量為時平均成本最小，因此，故選（ ）5. 下列矩陣中陣，與矩陣相似的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答

3、案】（）【解析】記矩陣，則秩，跡,特征值（三重）。觀察四個選項，它們與矩陣的秩相等、跡相等、行列式相等，特征值也相等，進一步分析可得：,，, 。如果矩陣與矩陣相似，則必有與相似（為任意常數(shù)），從而），故選（A）,6. 設(shè)是階矩陣，記為矩陣 的秩，表示分塊矩陣，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（）【解析】把矩陣 按列分塊，記，則向量組 可以由向量組線性表出，從而與，等價，于是，故選（）。7. 設(shè)隨機變量的概率密度滿足，且則 ( )（A）0.2 （B）0.3 （C）0.4 （D）0.5【答案】（）【解析】由可知概率密度函數(shù)關(guān)于對稱，結(jié)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)及已知條件，容易得出，故選（）

4、。8. 設(shè)是來自總體的簡單隨機樣本。令 ，則（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（）【解析】由 ，且 與 相互獨立，所以，故選 （）。二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.9. 曲線在其拐點處的切線方程為 ?！敬鸢浮?【解析】函數(shù)的定義域為，；。令 ，解得 ，而，故點 是曲線唯一的拐點。曲線在該點處的斜率，所以切線方程為 。10. ?！敬鸢浮俊窘馕觥?1、差分方程的通解是。 【答案】，其中為任意常數(shù)。【解析】 由于，原方程化為 ，即 。該一階線性非齊次差分方程對應(yīng)的齊次差分方程為 ，其通解為。設(shè)原方程的特解為 ,代入原方程得 .故原方程的通解為 。

5、12. 設(shè)函數(shù)滿足，且，則?！敬鸢浮俊！窘馕觥坑?可得兩邊取極限得 ，即 解一階線性齊次微分方程，有，代入，故 。由輪換對稱性可得 ：。13. 設(shè)為3階矩陣，是線性無關(guān)的向量組,若，則。【答案】.【解析】已知因為 線性無關(guān)，所以矩陣可逆，,.，14. 設(shè)隨機事件,相互獨立，,，則。 【答案】.?！窘馕觥?三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. （本題滿分10分）已知實數(shù)滿足.，求。【解析一】令 ，可得 .（1）于是 對（1）式使用洛必達法則，有 故 。【解析二】令 ，可得 ，于是 。16. （本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域由

6、曲線與直線及軸圍成，計算二重積分?！窘馕觥糠e分區(qū)域如圖示， ，其中 ， 故 。17. （本題滿分10分）將長為的鐵絲分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形，三個圖形的面積之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。【答案】面積之和存在最小值，?！窘馕觥吭O(shè)圓的半徑為，正方形的邊長為，三角形的邊長為，則，三個圖形的面積之和為 ，則問題轉(zhuǎn)化為 “在條件，下，求三元函數(shù) 的最小值”。 令 解方程組，得到唯一駐點由實際問題可知，最小值一定存在，且在該駐點處取得最小值。最小面積和 為.18. （本題滿分10分）已知，求?！窘馕觥繉?和展開成冪級數(shù)， ，于是 ，比較等式兩邊同次項系數(shù) ，可得 ，綜上，。19.

7、（本題滿分10分）設(shè)數(shù)列滿足 。證明收斂，并求?！咀C明一】因為 ，所以 。根據(jù)拉格朗日中值定理，存在，使得 ，即，因此 。完全類似，假設(shè) ，則，即 ，故數(shù)列單調(diào)減少且有下界，從而數(shù)列收斂。設(shè) ，在等式 兩邊取極限，得 ，解方程得 唯一解 ，故 ?！咀C明二】首先證明數(shù)列有下界，即證明：當時， 。根據(jù)題設(shè) ，由 可知 ；假設(shè)當時， ；則當時， ，其中，可知 。根據(jù)數(shù)學歸納法，對任意的， 。再證明數(shù)列的單調(diào)性：，(離散函數(shù)連續(xù)化)設(shè) ，則當時，單調(diào)遞減，即 。從而 ，故，即數(shù)列的單調(diào)遞減。綜上，數(shù)列的單調(diào)遞減且有下界。由單調(diào)有界收斂原理可知收斂。設(shè) ，在等式 兩邊同時令，得 ，解方程得 唯一解 ，故

8、 。20. （本題滿分11分）設(shè)二次型 ，其中是參數(shù)。（I）求 的解；（II）求 的規(guī)范型?！窘馕觥浚↖）由 可得對上述齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作 初等行變換得當時， 只有零解：。當時， 有非零解：， 為任意常數(shù)。（II）當時，若不全為0，則二次型 恒大于 0，即二次型為正定二次型，其規(guī)范型為。當 時，二次型對應(yīng)的實對稱矩陣 ，其特征方程為解得特征值 ，可知二次型的規(guī)范型為。21.（本題滿分11分）設(shè)是常數(shù)，且矩陣 可經(jīng)過初等列變換化為矩陣。(I)求；（II）求滿足的可逆矩陣？【解析】（I）由于矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，故 。對矩陣作初等行變換，得，顯然，要使，必有 。（II）將矩陣 按 列 分塊：，求解矩陣方程可化為解三個同系數(shù)的非齊次線性方程組：。對下列矩陣施以初等行變換得，易知，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 ：,三個非齊次線性方程組的特解分別為：。因此，三個非齊次線性方程組的通解為，從而可得可逆矩陣 ，其中。（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機變量相互獨立，的概率分布為，服從參數(shù)為的泊松分布。令，（I）求；（II）求的概率分布。【解析】（I）由相互獨立，可得.。由協(xié)方差計算公式可知,其中 ，代入上式可得 。（II）由于是離散型隨機變量，因此也是離散型隨機變量。的可能取值為1，-1，的概