電磁場與電磁波

1、第六章 時 變 電 磁 場,6.1 法拉第電磁感應定律（33.34學時） 6.2 位移電流 6.3 麥克斯韋方程組 （36.36學時） 6.4 時變電磁場的邊界條件 6.6 時變電磁場的能量與能流 （37.38學時） 6.6 正弦電磁場 6.7 波動方程 （39.40學時） 6.8 時變電磁場中的位函數(shù),返回,第33.34學時 6.1 法拉第電磁感應定律,法拉第電磁感應定律,返回,當回路線圈不止一匝時，例如一個N匝線圈，可以把它看成是由N個一匝線圈串聯(lián)而成的， 其感應電動勢為,如果定義非保守感應場Eind沿閉合路徑l的積分為l中的感應電動勢，那么上式可改寫為,如果空間同時還存在由靜止電荷產生的

2、保守電場Ec，則總電場E為兩者之和，即E=Ec+Eind。但是，,又可改寫為,引起與閉合回路鉸鏈的磁通發(fā)生變化的原因可以是磁感應強度B隨時間的變化，也可以是閉合回路l自身的運動(大小、形狀、位置的變化)。,利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可寫為,上式對任意面積均成立，所以,磁場中的運動回路,穿過該回路的磁通量變化率為,式中B(t+t)為t+t時刻由lb圍住的曲面Sb上的磁感應強度，B(t)是t時刻由la圍住的曲面Sa上的磁感應強度。 若把靜磁場中的磁通連續(xù)性原理SBdS=0推廣到時變場，則時刻t+t通過封閉面S=Sa+Sb+Sc的磁通量為零，因此,將B(t+t)展開成泰勒級數(shù)，有,由

3、于側面積Sc上的面積元dS=dlvt, 當t0 時，,因此，l由la的位置運動到lb的位置時，穿過該回路的磁通量的時變率為,這樣運動回路中的感應電動勢可表示為,上式可改寫為,設靜止觀察者所看到的電場強度為E，那么E=E-vB。因此，運動回路中，,或,6.2 位 移 電 流,電荷守恒定律的數(shù)學描述就是電流連續(xù)性方程：,式中J是電流體密度，它的方向就是它所在點上的正電荷流動的方向，它的大小就是在垂直于電流流動方向的單位面積上每單位時間內通過的電荷量(單位是A/m2)。上式表明，每單位時間內流出包圍體積V的閉合面S的電荷量等于S面內每單位時間所減少的電荷量-dQ/dt。,利用散度定理(也稱為高斯公式

4、),用體積分表示， 對靜止體積有,上式對任意體積V均成立， 故有,上式是電流連續(xù)性方程的微分形式。,靜態(tài)場中的安培環(huán)路定律之積分形式和微分形式為,和,此外，對于任意矢量A，其旋度的散度恒為零，即,在承認,也適用于時變場的前提下，則有,由于,所以位移電流,對任意封閉曲面S有,即,穿過任意封閉面的各類電流之和恒為零，這就是全電流連續(xù)性原理。將其應用于只有傳導電流的回路中，可知節(jié)點處傳導電流的代數(shù)和為零(流出的電流取正號，流入的電流取負號)。這就是基爾霍夫(G.R.Kirchhoff)電流定律：I=0。,例 計算銅中的位移電流密度和傳導電流密度的比值。設銅中的電場為E0sint，銅的電導率=6.81

5、07S/m, 0。 解： 銅中的傳導電流大小為,例 證明通過任意封閉曲面的傳導電流和位移電流總量為零。解： 根據(jù)麥克斯韋方程,可知，通過任意封閉曲面的傳導電流和位移電流為,例 在坐標原點附近區(qū)域內，傳導電流密度為,試求： (1) 通過半徑r=1mm的球面的電流值； (2) 在r=1mm的球面上電荷密度的增加率； (3) 在r=1mm的球內總電荷的增加率。,解：(1),(2) 因為,由電流連續(xù)性方程式，得,(3) 在r=1 mm的球內總電荷的增加率：,例 在無源的自由空間中，已知磁場強度,求位移電流密度Jd。 解：無源的自由空間中J=0,第36.36學時 6.3 麥克斯韋方程組,6.3.1 麥克

6、斯韋方程組,返回,如果假設過去或將來某一時刻，B在空間每一點上都為零，則 B在任何時刻處處為零， 所以有,6.3.2 麥克斯韋方程的輔助方程本構關系,一般而言，表征媒質宏觀電磁特性的本構關系為,對于各向同性的線性媒質，可得,電荷(運動或靜止)激發(fā)電磁場，電磁場反過來對電荷有作用力。當空間同時存在電場和磁場時，以恒速v運動的點電荷q所受的力為,如果電荷是連續(xù)分布的，其密度為，則電荷系統(tǒng)所受的電磁場力密度為,上式稱為洛侖茲力公式。近代物理學實驗證實了洛侖茲力公式對任意運動速度的帶電粒子都是適應的。,6.3.3 洛侖茲力,例 證明均勻導電媒質內部，不會有永久的自由電荷分布。 解：將J=E代入電流連續(xù)

7、性方程，考慮到媒質均勻，有,由于,例 已知在無源的自由空間中，,其中E0、為常數(shù)，求H。 解：所謂無源，就是所研究區(qū)域內沒有場源電流和電荷，即J=0, =0。,由上式可以寫出：,6.4 時變電磁場的邊界條件,法向分量邊界條件,設n是分界面上任意點處的法向單位矢量；F表示該點的某一場矢量(例如D、B、)，它可以分解為沿n方向和垂直于n方向的兩個分量。 因為矢量恒等式,所以,上式第一項沿n方向，稱為法向分量；第二項垂直于n方向，切于分界面，稱為切向分量。,6.4.1 一般情況,如果分界面的薄層內有自由電荷，則圓柱面內包圍的總電荷為,由上面兩式，得電位移矢量的法向分量邊界條件的矢量形式為,或者如下的

8、標量形式：,若分界面上沒有自由面電荷， 則有,然而D=E，所以,綜上可見，如果分界面上有自由面電荷，那么電位移矢量D的法向分量Dn越過分界面時不連續(xù)，有一等于面電荷密度S的突變。如S=0，則法向分量Dn連續(xù)；但是，分界面兩側的電場強度矢量的法向分量En不連續(xù)。,磁感應強度矢量的法向分量的矢量形式的邊界條件為,或者如下的標量形式的邊界條件：,由于B=H，所以,切向分量邊界條件將麥克斯韋方程,設n(由媒質2指向媒質1)、l分別是l中點處分界面的法向單位矢量和切向單位矢量，b是垂直于n且與矩形回路成右手螺旋關系的單位矢量，三者的關系為,將麥克斯韋方程,因為 有限而h0，所以,如果分界面的薄層內有自由

9、電流，則在回路所圍的面積上，,綜合以上三式得,b是任意單位矢量，且nH與JS共面(均切于分界面)，所以,如果分界面處沒有自由面電流，那么,由上式可以獲得,6.4.2 兩種特殊情況,矢量形式的邊界條件為,它們相應的標量形式為,理想導體是指，所以在理想導體內部不存在電場。此外，在時變條件下，理想導體內部也不存在磁場。故在時變條件下，理想導體內部不存在電磁場，即所有場量為零。設n是理想導體的外法向矢量，E、H、D、B為理想導體外部的電磁場，那么理想導體表面的邊界條件為,例 設z=0 的平面為空氣與理想導體的分界面，z0 一側為理想導體，分界面處的磁場強度為,試求理想導體表面上的電流分布、電荷分布以及

10、分界面處的電場強度。 解：,假設t=0 時，S=0，由邊界條件nD=S以及n的方向可得,例 證明在無初值的時變場條件下，法向分量的邊界條件已含于切向分量的邊界條件之中，即只有兩個切向分量的邊界條件是獨立的。 因此，在解電磁場邊值問題中只需代入兩個切向分量的邊界條件。 解： 在分界面兩側的媒質中，,將矢性微分算符和場矢量都分解為切向分量和法向分量，即令,于是有,由上式可見：,對于媒質 1 和媒質 2 有,上面兩式相減得,代入切向分量的邊界條件：,有,從而有,如果t=0 時的初值B1、B2都為零，那么C=0。 故,同理，將式,中的場量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展開取其中的法向分量

11、，有,此式對分界面兩側的媒質區(qū)域都成立， 故有,將兩式相減并用,代入，得,再將切向分量的邊界條件,例 設區(qū)域(z0)的媒質參數(shù)r2=6, r2=20, 2=0。區(qū)域中的電場強度為,區(qū)域中的電場強度為,試求： (1) 常數(shù)A； (2) 磁場強度H1和H2； (3) 證明在z=0處H1和H2滿足邊界條件。,解：(1) 在無耗媒質的分界面z=0處， 有,由于E1和E2恰好為切向電場，,(2) 根據(jù)麥克斯韋方程,有,所以,同理，可得,(3) 將z=0代入(2)中得,第37.38學時 6.6 時變電磁場的能量與能流,假設電磁場在一有耗的導電媒質中，媒質的電導率為，電場會在此有耗導電媒質中引起傳導電流J=

12、E。根據(jù)焦耳定律，在體積V內由于傳導電流引起的功率損耗是,由麥克斯韋方程式,返回,利用矢量恒等式,利用散度定理上式可改寫為,這就是適合一般媒質的坡印廷定理。,利用矢量函數(shù)求導公式,對于各向同性的線性媒質，即D=E, B=H, J=E, 可知，,同理，,坡印廷定理表示如下：,為了說明上式的物理意義，首先假設儲存在時變電磁場中的電磁能量密度的表示形式和靜態(tài)場的相同，即w=we+wm。其中，we=1/2(DE)為電場能量密度，wm=1/2(BH)為磁場能量密度，它們的單位都是J/m3。另外，引如一個新矢量,稱為坡印廷矢量，單位是W/m2。 據(jù)此，坡印廷定理可以寫成,上式右邊第一項表示體積V中電磁能量

13、隨時間的增加率，第二項表示體積V中的熱損耗功率(單位時間內以熱能形式損耗在體積V中的能量)。根據(jù)能量守恒定理，上式左邊一項-SSdS=-S(EH)dS必定代表單位時間內穿過體積V的表面S流入體積V的電磁能量。因此，面積分S SdS=S(EH)dS表示單位時間內流出包圍體積V的表面S的總電磁能量。由此可見，坡印廷矢量S=EH可解釋為通過S面上單位面積的電磁功率。,在靜電場和靜磁場情況下，由于電流為零以及 ，所以坡印廷定理只剩一項S(EH)dS=0。由坡印廷定理可知，此式表示在場中任何一點，單位時間流出包圍體積V表面的總能量為零，即沒有電磁能量流動。由此可見，在靜電場和靜磁場情況下， S=EH并不

14、代表電磁功率流密度。,在恒定電流的電場和磁場情況下， ， 所以由坡印廷定理可知，V JEdV=-S(EH)dS。因此，在恒定電流場中，S=EH可以代表通過單位面積的電磁功率流。說明，在無源區(qū)域中，通過S面流入V內的電磁功率等于V內的損耗功率。 在時變電磁場中，S=EH代表瞬時功率流密度，它通過任意截面積的面積分P=S(EH)dS代表瞬時功率。,例 試求一段半徑為b，電導率為，載有直流電流I的長直導線表面的坡印廷矢量，并驗證坡印廷定理。 解：如圖一段長度為l的長直導線，其軸線與圓柱坐標系的z軸重合，直流電流將均勻分布在導線的橫截面上，于是有,坡印廷定理驗證,在導線表面，,因此，導線表面的坡印廷矢

15、量,其方向處處指向導線的表面。將坡印廷矢量沿導線段表面積分，有,例 一同軸線的內導體半徑為a，外導體半徑為b，內、外導體間為空氣，內、外導體均為理想導體，載有直流電流I，內、 外導體間的電壓為U。求同軸線的傳輸功率和能流密度矢量。 解：分別根據(jù)高斯定理和安培環(huán)路定律，可以求出同軸線內、外導體間的電場和磁場：,上式說明電磁能量沿z軸方向流動，由電源向負載傳輸。 通過同軸線內、外導體間任一橫截面的功率為,這一結果與電路理論中熟知的結果一致。,6.6 正 弦 電 磁 場,6.6.1 正弦電磁場的復數(shù)表示法 時變電磁場的任一坐標分量隨時間作正弦變化時，其振幅和初相也都是空間坐標的函數(shù)。以電場強度為例，

16、在直角坐標系中，,式中電場強度的各個坐標分量為,與電路理論中的處理相似，利用復數(shù)或相量來描述正弦電磁場場量，可使數(shù)學運算簡化：對時間變量t進行降階(把微積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程)減元(消去各項的共同時間因子e jt)。例如，,因此，把 稱為Ex(x, y, z, t)=Exm(x, y, z)cost+x(x, y, z)的復數(shù)形式。給定函數(shù)Ex(x, y, z, t)=Exm(x, y, z)cost+x(x, y, z)，有唯一的復數(shù)與之對應； 反之亦然。,由于,采用復數(shù)表示時，正弦量對時間t的偏導數(shù)等價于該正弦量的復數(shù)形式乘以j，即,同理，電場強度矢量也可用復數(shù)表示為,式中 稱為電場強度的復

17、振幅矢量或復矢量， 它只是空間坐標的函數(shù)，與時間t無關。把時間t和空間x、y、z的四維(x, y, z, t)矢量函數(shù)簡化成了空間(x, y, z)的三維函數(shù)，即,若要得出瞬時值，只要將其復振幅矢量乘以ejt并取實部，便得到其相應的瞬時值：,例將下列用復數(shù)形式表示的場矢量變換成瞬時值，或作相反的變換。,例 將下列場矢量的復數(shù)形式寫為瞬時值形式。,6.6.2 麥克斯韋方程的復數(shù)形式 在復數(shù)運算中，對復數(shù)的微分和積分運算是分別對其實部和虛部進行的，并不改變其實部和虛部的性質，故,故當t任意時，,以及電流連續(xù)性方程的復數(shù)形式：,6.6.3 復坡印廷矢量,對正弦電磁場，當場矢量用復數(shù)表示時：,從而坡印

18、廷矢量瞬時值可寫為,它在一個周期T=2/內的平均值為,式中：,S稱為復坡印廷矢量，它與時間t無關，表示復功率流密度，其實部為平均功率流密度(有功功率流密度)，虛部為無功功率流密度。注意式中的電場強度和磁場強度是復振幅值而不是有效值；E*、 H*是E、H的共扼復數(shù)，Sav稱為平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量。,類似地可得到電場能量密度、磁場能量密度和導電損耗功率密度的表示式：,6.6.4 復介電常數(shù)與復磁導率,媒質在電磁場作用下呈現(xiàn)三種狀態(tài)：極化、磁化和傳導，它們可用一組宏觀電磁參數(shù)表征，即介電常數(shù)、磁導率和電導率。在靜態(tài)場中這些參數(shù)都是實常數(shù)；而在時變電磁場作用下，反映媒質電磁特性的宏觀參數(shù)與

19、場的時間變化有關，對正弦電磁場即與頻率有關。研究表明：一般情況下(特別在高頻場作用下)，描述媒質色散特性的宏觀參數(shù)為復數(shù)，其實部和虛部都是頻率的函數(shù)， 且虛部總是大于零的正數(shù)，即,對于具有復介電常數(shù)的導電媒質，考慮到傳導電流J=E,上式表明，導電媒質中的傳導電流和位移電流可以用一個等效的位移電流代替；導電媒質的電導率和介電常數(shù)的總效應可用一個等效復介電常數(shù)表示，即,6.6.6 復坡印廷定理,利用矢量恒等式,可知,這個公式表示了作為點函數(shù)的功率密度關系。 對其兩端取體積分，并應用散度定理得,這就是用復矢量表示的坡印廷定理， 稱為復坡印廷定理。 設宏觀電磁參數(shù)為實數(shù)， 磁導率和介電常數(shù)為復數(shù)， 則有,式中pav,c、pav,e、pav,m分別是單位體積內的導電損耗功率、極化損耗功率和磁化損耗功率的時間平均值；wav,e和wav,m分別是電場和磁場能量密度的時間平均值。,例 已知無源(=0, J=0)的自由空間中，時變電磁場的電場 強度復矢量 式中k、E0為常數(shù)。求： 磁場強度復矢量；