向量空間線性代數(shù)課件3 3

1、1.向量組2的結(jié)構(gòu)。向量空間Rn及其子空間3的結(jié)構(gòu)。基礎(chǔ)變換和坐標(biāo)變換，3.3基礎(chǔ)尺寸坐標(biāo)，1。向量組的結(jié)構(gòu)，定義1。線性獨(dú)立群，簡(jiǎn)稱(chēng)為最大獨(dú)立群，(1)向量群等價(jià)于它的最大獨(dú)立群，(2)線性獨(dú)立向量群，它的最大獨(dú)立群本身就是，(3)向量群的最大獨(dú)立群不一定是唯一的，但它們彼此等價(jià)。因此，向量組的最大獨(dú)立組都包含相同數(shù)量的向量。僅包含零個(gè)向量的向量組沒(méi)有最大獨(dú)立組，它們的秩被指定為0。向量組的秩向量組的向量數(shù)。定義2個(gè)向量組1、2和s的最大獨(dú)立組的向量數(shù)稱(chēng)為該向量組的秩。(2)由于矩陣的初等行變換并不改變列向量之間的線性關(guān)系，因此我們可以從最后一步矩陣中判斷由原始向量組構(gòu)成的矩陣的每個(gè)列向量的

2、線性相關(guān)性，進(jìn)而得到原始向量組的線性相關(guān)性，并據(jù)此找到最大不相關(guān)組。定理2向量組1，2，s的秩等于其矩陣A 1，2，s的秩，(1)如果矩陣a 1，2，s的秩是r，則r階非零子類(lèi)型所在的那些列(稱(chēng)為A的基列)的列向量是向量組1，2，s，定理3，推論1，推論2，解，定理4，推論1和等價(jià)向量組的最大獨(dú)立組具有相同的秩。然而，它們不是等價(jià)的，因?yàn)轱@然1不能用1，2來(lái)線性表示。如果兩個(gè)向量組具有相同的秩并滿足一定的條件，它們可以是等價(jià)的向量組。參見(jiàn)第125頁(yè)問(wèn)題6的結(jié)論，證明向量空間Rn及其子空間的結(jié)構(gòu)。定義3設(shè)W是Rn的一個(gè)子空間，1，2，r是W中的一組向量，滿足336。(2)W中的任何向量都可以用1

3、，2，R線性表示，然后1，2，R是子空間W的一組基，而N維單位向量集1，2，N是Rn的一組基(稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)基)。定理5將W設(shè)置為Rn的子空間，然后(2)如果W是，那么W中的任何r 1向量是線性相關(guān)的，因此任何r線性不相關(guān)的向量是W的一組基，(1)W的任何一組基包含相同數(shù)量的向量，并且包含在定義4 Rn的子空間W的一組基中的向量的數(shù)量被稱(chēng)為W的維數(shù)，其被記錄為dimW，注意：零子空間沒(méi)有基，并且其維數(shù)被指定為0。定義5設(shè)置為1，2，t是子空間W的一組基，它是=X11x22.XTT和組合系數(shù)X1，X2，XT是獨(dú)一無(wú)二的。X1，X2，XT是在1，2，并且表示為，(X1，X2，XT)，或者，在特殊情況：中

4、，設(shè)置Rn的標(biāo)準(zhǔn)基1、2和N，這意味著在標(biāo)準(zhǔn)基1、2和N下的N維向量的坐標(biāo)是它自己的分量。3.基變換和坐標(biāo)變換，那么同一矢量在不同基下的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系呢？換句話說(shuō)，隨著基礎(chǔ)的改變，向量的坐標(biāo)如何改變？問(wèn)題：在N維向量空間Rn中，任何N個(gè)線性獨(dú)立向量都可以作為Rn的一組基。對(duì)于不同的基底，同一矢量的坐標(biāo)通常是不同的。它們是等價(jià)的向量組，所以，這里P是N階矩陣的轉(zhuǎn)移矩陣，從上面的公式可以知道P是可逆的。(1)，然后從，從坐標(biāo)的唯一性：(1)和(2)分別稱(chēng)為基變換公式和坐標(biāo)變換公式。(2)，例3，見(jiàn)P121，例3，解，例7，求基中的向量=(x1，x2，xn) t，1=(1，0，0，0) t，2=(1，1，0，0) t，坐標(biāo)設(shè)置為1，2，n是y1，y2 1，2，n),0解：(1，2，n)，0，轉(zhuǎn)換矩陣，0，是，而坐標(biāo)設(shè)在1，2，在實(shí)例8中，I和J在平面直角坐標(biāo)系xoy中彼此垂直。x軸和y軸繞原點(diǎn)o逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，因此相應(yīng)的單位向量是1和2，那么1和2也是R2的一組基數(shù)，并且改變基數(shù)的公式是：1=cos I sin j，2=-sin I cos j，R2，如果在基數(shù)I和j下的坐標(biāo)是(x，y)，得到在基數(shù)1和2下的坐標(biāo)(x，y)，解：轉(zhuǎn)移矩陣，