2020高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 不等式恒成立問題的幾種求解策略（通用）

1、2020高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 不等式恒成立問題的幾種求解策略不等式恒成立問題，把不等式、函數(shù)、數(shù)列、幾何等有機地結(jié)合起來，覆蓋知識點多，方法多種多樣，是近幾年數(shù)學(xué)高考、競賽中考查的熱點。但同學(xué)們對解決此類問題往往感到無從下手，得分率偏低。為此就這類問題的解題策略作一探討共同學(xué)們參考。一、數(shù)形結(jié)合思想例1 （2002年全國高考題）已知a0，函數(shù)f(x)=ax-bx2.(1)當(dāng)b0時，若對任意xR,都有f(x)1,證明：a2；(2)當(dāng)b1時，證明：對任意x0,1,|f(x)|1的充要條件是b-1a2; （3）當(dāng)0 b1時,討論:對任意x0,1,|f(x)|1的充要條件. 證明（1）由已知ax-bx21,得

2、bx2-ax+10.要使bx2-ax+10對任意xR恒成立，結(jié)合拋物線圖象（如圖1），可知，只需=a2-4b0,a1時，2bb+1，（II）無解。又由b1，有b,2b2,由(1)得b-1a2b|f(x)|1b-1a2b(3)因為a0,00,0b 1時對任意x0,1, |f(x)|1的充要條件是ab+1評注 此題充分結(jié)合二次函數(shù)圖象，考察在“軸動區(qū)間定”的情況下二次函數(shù)的最值問題，思路很易找到，結(jié)論很快得證。數(shù)形結(jié)合，直觀形象，是解決不等式恒成立問題的一種有效方法。二、分離參數(shù)，最值轉(zhuǎn)換例2 （2020年全國高中聯(lián)賽題）使不等式對一切xR恒成立的負數(shù)a的取值范圍是_。解 原不等式可化為設(shè)t=co

3、sx，則t-1,1,二次函數(shù)g(t)=t2+(1-a)t圖象的對稱軸為aa,求a的取值范圍.解(1)略(2)由(1)知而1當(dāng)n=2k-1時，式為即令要使式對一切kN*都成立，只需2. 當(dāng)n=2k時，式為即令,要使式對一切kN*都成立，只需綜上，式對任意nN*都成立，有即a0的取值范圍評注 （1）對于不等式恒成立條件下求參數(shù)取值范圍問題，常常把所求參數(shù)從不等式的主元中分離出來，利用函數(shù)的值域或最值求得問題的解。如例2把參數(shù)a從主元x中分離出來；例3把參數(shù)a從主元n中分離出來。（2）此題運用了結(jié)論：f(x)a恒成立三、取特殊值例4 同例3（2）。解 假設(shè)對任意nN*,有anan-1,則取n=1,2

4、有下面證明當(dāng)時，對任意nN*有an-an-10.由通項公式得(1)當(dāng)n=2k-1時，(2)當(dāng)n=2k時，故a0的取值范圍為（0，）。例5（07年高考）已知函數(shù)f(x)=e-e, f(x) ax對x0恒成立,求a的取值范圍.解:令g(x)=f(x)-ax g(x)= e-e-a(1)若a2則x0時g(x)= e-e-a2-a0 g(x)在x0時為增函數(shù)g(x)g(0)=0 即f(x) ax(2)若a2方程g(x)=0的正根為ln此時,若x(0,x)則g(x)0 , g(x)在該區(qū)間為減函數(shù). x(0,x)時g(x)g(0)=0 即f(x)m(x2-1)都成立的x的取值范圍。解 原不等式等價于不等式(x2-1)m -(2x-1)0.設(shè)f(m)=(x2-1)m-(2x-1),則原問題轉(zhuǎn)化成求一次函數(shù)f(m)或常函數(shù)在-2，2內(nèi)恒為負值時，x取值范圍。（1）當(dāng)x2-1=0時，x=1.當(dāng)x=1時，f(m)0恒成立，當(dāng)x=-1時，f(m)0不成立。（2）當(dāng)x2-10時，由一次函數(shù)單調(diào)性知綜上，所求的評注 本題的關(guān)鍵是變元，構(gòu)造m的一次函數(shù)或常函數(shù)，利用一次函數(shù)單調(diào)性順利求解，從而避免了解關(guān)于x的不等式mx2-2x+10對任意xR,f(|x|)0恒成立