2020高考數(shù)學復習 排列組合、二項式定理（通用）

1、2020高考數(shù)學復習 大綱要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題. 2.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的問題. 3.掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計算和論證一些簡單問題. 二、知識結(jié)構(gòu) 三、知識點、能力點提示 (一)加法原理、乘法原理 說明 加法原理、乘法原理是學習排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排 列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù). 例1 5位高中畢業(yè)生，準備報考3所高等院校，每人報且只報一所，不同的 報名方法共有多少種? 解： 5個學生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名，因而每

2、個學生都有3種不同的報名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報名方法總共有 33333=35(種) (二)排列、排列數(shù)公式 說明 排列、排列數(shù)公式及解排列的應用題，在中學代數(shù)中較為獨特，它研 究的對象以及研 究問題的方法都和前面掌握的知識不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較靈活，歷屆高考主要考查排列的應用題，都是選擇題或填空題考查. 例2 由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的 偶數(shù)共有( ) A.60個 B.48個 C.36個 D.24個 解 因為要求是偶數(shù)，個位數(shù)只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位數(shù)，萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個的排法有P13;在首

3、末兩位數(shù)排定后，中間3個位數(shù)的排法有P33，得P13P33P1236(個) 由此可知此題應選C. 例3 將數(shù)字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個 數(shù)字，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種? 解： 將數(shù)字1填入第2方格，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即214 3，3142，4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對應著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對應3種填法，因此共有填法為 3P13=9(種). (三)組合、組合數(shù)公式、組合數(shù)的兩個性質(zhì) 說明 歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查排列組合的應用題，且基本上都是由選擇題或填空題考查

4、. 例4 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少有甲型與乙型電 視機各1臺，則不同的取法共有( ) A.140種 B.84種 C.70種 D.35種 解： 抽出的3臺電視機中甲型1臺乙型2臺的取法有C14C25種；甲型2臺乙型1臺的取法有C24C15種 根據(jù)加法原理可得總的取法有 C24C25+C24C15=40+30=70(種 ) 可知此題應選C. 例5 甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項，乙公司承包1 項，丙、丁公司各承包2項，問共有多少種承包方式? 解： 甲公司從8項工程中選出3項工程的方式 C38種； 乙公司從甲公司挑選后余下的5項工程中選出1項工程的方式有

5、C15種； 丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項工程中選出2項工程的方式有C24種； 丁公司從甲、乙、丙三個公司挑選后余下的2項工程中選出2項工程的方式有C22種. 根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有C15C24C22=1=1680(種). (四)二項式定理、二項展開式的性質(zhì) 說明 二項式定理揭示了二項式的正整數(shù)次冪的展開法則，在數(shù)學中它是常用的基礎(chǔ)知識 ，從1985年至1998年歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查二項展開式中通項公式等，題型主要為選擇題或填空題. 例6 在(x-)10的展開式中，x6的系數(shù)是( ) A.-27C610 B.27C410 C.-9C610 D.9C410 解 設(shè)

6、(x-)10的展開式中第+1項含x6， 因T+1=C10x10-(-)，10-=6,=4 于是展開式中第5項含x6，第5項系數(shù)是C410(-)4=9C410 故此題應選D. 例7 (x-1)-(x-1)2(x-1)3-(x-1)4+(x-1)的展開式中的x的系數(shù)等于 解：此題可視為首項為x-1，公比為-(x-1)的等比數(shù)列的前5項的和，則其和為 在(x-1)6中含x3的項是C36x3(-1)3=-20x3，因此展開式中x2的系數(shù)是-2 0. (五)綜合例題賞析 例8 若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為( ) A.1 B.

7、-1 C.0 D.2 解：A. 例9 2名醫(yī)生和4名護士被分配到2所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2 名護士，不同的分配方法共有( ) A.6種 B.12種 C.18種 D.24種 解 分醫(yī)生的方法有P222種，分護士方法有C24=6種，所以共有6212種不同的分配方法。 應選B. 例10 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其 中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同取法共有( ). A.140種 B.84種 C.70種 D.35種 解：取出的3臺電視機中，甲型電視機分為恰有一臺和恰有二臺兩種情形. C24C15+C25C14=56+104=70. 應選C. 例11 某小組共有10

8、名學生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2 名代表，至少有1名女生當選的不同選法有( ) A.27種 B.48種 C.21種 D.24種 解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類： C13C17+C23=37+3=24， 應選D. 例12 由數(shù)學0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的 六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有( ). A.210個 B.300個 C.464個 D.600個 解：先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個?應有P15P55=600個. 由對稱性，個位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半. 有600=300個符合題設(shè)的六位數(shù). 應選B. 例13 以一個正方體的頂點

9、為頂點的 四面體共有( ). A.70個 B.64個 C.58個 D.52個解：如圖，正方體有8個頂點，任取4個的組合數(shù)為C48=70個. 其中共面四點分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組；構(gòu)成垂直底面的對角面的有2組；形如(ADB1C1 )的有4組. 能形成四面體的有70-6-2-4=58(組) 應選C. 例14 如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱 錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有( ). A.12對 B.24對 C.36對D.48對 解：設(shè)正六棱錐為OABCDEF. 任取一側(cè)棱OA(C16)則OA與BC、CD、DE、EF均形成異面直線對. 共有C164=24對異面直線. 應選B. 例15

10、正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中三個點 為頂點的三角形共 個(以數(shù)字作答). 解：7點中任取3個則有C37=35組. 其中三點共線的有3組(正六邊形有3條直徑). 三角形個數(shù)為35-3=32個. 例16 設(shè)含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個元素組成的子集 數(shù)為T，則的值為 。 解 10個元素的集合的全部子集數(shù)有： SC010+C110+C210+C310+C410+C510+C610+C710+C810+C910+C1010=210=1024 其中，含3個元素的子集數(shù)有T=C310=120 故=例17 在50件產(chǎn)品 n 中有4件是次品，從中任意抽了5件 ，至少有3件是次品的抽

11、法共 種(用數(shù)字作答). 解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”. C34C246+C44C146=4186(種) 例18 有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人承擔，乙、 丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務(wù)，不同的選法共有( ). A.1260種 B.2025種 C.2520種 D.5040種 解：先從10人中選2個承擔任務(wù)甲(C210) 再從剩余8人中選1人承擔任務(wù)乙(C18) 又從剩余7人中選1人承擔任務(wù)乙(C17) 有C210C18C17=2520(種). 應選C. 例19 集合1，2，3子集總共有( ). A.7個 B.8個 C.6個 D.5個 解 三個元素的集合

12、的子集中，不含任何元素的子集有一個，由一個元素組成的子集數(shù) C13，由二個元素組成的子集數(shù)C23。 由3個元素組成的子集數(shù)C33。由加法原理可得集合子集的總個數(shù)是C13+C23+C33+1=3+3+1+18 故此題應選B. 例20 假設(shè)在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有兩件次品的抽法有( ). A.C23C3197種 B.C23C3197 +C33C2197 C.C5200-C5197 D.C5200-C 13C4197 解：5件中恰有二件為次品的抽法為C23C3197， 5件中恰三件為次品的抽法為C33C2197， 至少有兩件次品的抽法為C23C3197+C33C

13、2197. 應選B. 例21 兩排座位，第一排有3個座位，第二排有5個座位，若8名學生入座(每人一個座位)，則不同座法的總數(shù)是( ). A.C58C38 B.P12C58C38 C.P58P38 D.P88 解：對于8個人的任意一個排列均可“按先前排從左到右再后排從左到右”的次序入座. 應有P88種不同的入座法. 應選D. 例22 7人并排站成一行，如果甲、乙必須不相鄰，那么不同排法的總數(shù)是 ( ). A.1440 B.3600 C.4320 D.4800 解：7人的全排列數(shù)為P77. 若甲乙必須相鄰則不同的排列數(shù)為P22P66. 甲乙必須不相鄰的排列數(shù)為P77-P22P66=5P66=360

14、0. 應選B. 例23 用1，2，3，4，四個數(shù)字組成沒有重復的四位奇數(shù)的個數(shù)是 個(用具體數(shù)字作答). 解：末位數(shù)(C12)，前三位數(shù)(P33). 有C12P33=12個四位奇數(shù). 例24 用1，2，3，4，四個數(shù)字組成的比1234大的數(shù)共有 個(用具體 數(shù)字作答). 解：若無限制，則可組成4!=24個四位數(shù)，其中1234不合題設(shè). 有24-1=23個符合題設(shè)的數(shù). 例25 用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，那么在這些 四位數(shù)中，是偶數(shù)的總共有( ). A.120個 B.96個 C.60 個 D.36個 解：末位為0，則有P34=24個偶數(shù). 末位不是0的偶數(shù)有P12P

15、13P23=36個. 共有24+36=60個數(shù)符合題設(shè). 應選C. 例26 已知集合A和集合B各含有12個元素，AB含4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)： (1)CAB，且C中含有3個元素； (2)CA(表示空集). 解：AB含有12+12-4=20個元素； B含12個元素， B含20-12=8個元素， 若C中恰含A中1個元素，則有C112C28個， 若C中恰含A中2個元素，則有C212C28C28個， 若C中恰含A中3個元素，則有C312個， 符合題設(shè)的集合C的個數(shù)為 C112C28+C212C18+C312=1084個. 例27 四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4

16、個不共面的點，不同的取法共有( ) A.150種 B.147種 C.144種 D.141種 解：從10點中任取4點的組合數(shù)為C410=210. 其中有4C46=60組點，每組中的四點恰為一個側(cè)面上的點. 其中任取同一棱上3點它們和相對棱的中點共面，即有6組這種情況應排除. 其中還有底面兩棱中點和對面兩棱中點共面，即有3組這種情況應排除. 符合題設(shè)的取法有150-6-3=141種. 應選D. 例28 已知()9的展開式中x3的系數(shù)為，常數(shù)a的值為 . 解：Tk+1=Ck9()9-k()k =Ck9a9-k2xk-9+ 令k-9+=3，得k=8， x的系數(shù)為C89a2-4=. 即a=,得a=4.

17、例29 ()6的展開式中的常數(shù)項為( ) A.-160 B.-40 C.40 D.160 解：Tk+1=Ck6()6-k(-)k =Ck6(-2)kx 令=0，得k=3 常數(shù)項為C36(-2)3=-160 應選A. 例30 若()n展開式 中前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求出展開式里的有理項。 解 由于展開式前三項系數(shù)成等差數(shù)列 所以 2C1n()=C0n+C2n()2，n=1+ 解方程得n=9或n=1(舍去) 又展開式的通項為 T+1=C8(x)8-X=C8()x 因04-8,且4-是整數(shù)。 所以是4的倍數(shù)。 取=0或=4 故()8展開式中第一項和第五項為有理 項，其有理項為 T1C08x4x4 T

18、5C48()4(x4-3) 例31 (x+2)10(x2-1)的展開式中x10 的系數(shù)是 (用數(shù)字作答)。 解 因(x+2)10展開式中x10的系數(shù)是1，x8的系數(shù)為C21022180 ，所以(x+2)10(x2-1)的展開式中，x10的系數(shù)為180-1179 例32 9192除以100的余數(shù) . 解：9192=(100-9)92992(mod 100). 992=(10-1)92=1092-+C9092100-C919210+1 -C919210+1(mod 100) -C919210+1=-920+1=-919-19(mod 100)， -1981 (mod 100). 9192除以100

19、的余數(shù)是81. 例33 由()100的展開所得的x的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有( ) A.50項 B.17項 C.16項 D.15項 解：Tk+1=Ck10(x)10-k()k =Ck10()10-k()k(x)10-k(k=0，1，2，100) 由N，N，k0，1，2，100，得 k=0，6，12，18，96，共17項. 應選B. 例34 在(3-x)7的展開式中，x5的系數(shù)是 (用數(shù)字作答). 解：Tk+1=Ck737-k(-x)k=Ck7(-1)kxk， T6=C5737-5(-1)5x5=-189x5. 即x5的系數(shù)是-189. 例35 在(1-x3)(1+x)10的展開式中，x5的

20、系數(shù)是( ). A.-297 B.-252 C.297 D.207 解：(1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(+C550x5+C210x2+) x5的系數(shù)為+C550-C210=207. 應選D. 例36 求(2x3-)15的展開式的常數(shù)項. 解：Tk+1=Ck5(2x3)5-k(-)k=(-1)k Ck525-kx15-3k-2k 令15-5k=0，得k=3 常數(shù)項為T4=(-1)3C3525-3=-40. 例37 在(x-)8的展開式中，x4的系數(shù)與的系數(shù)之差是 . 解：Tk+1=Ck8(-x)8-k(-)k=Ck8(-1)kx8-k-k. 令8-2k=-4，得k=6，得k=2， T

21、7=C68(-1)6=28. x4與的系數(shù)之差是28-28=0. 例38 已知(x+a)7的展開式中，x4的系數(shù)是-280，則a= . 解：T4=C37x4a3=C37a3x4. 由已知C37a3=-28035a3=-280，得a=-2. 例39 在(1-x2)20的展開式中，如果第4r項和第r+2項的二項式系數(shù) 相等， (1)求r的值； (2)寫出展開式中的第4r項和第r+2項. 解：(1)第4r項和第r+2項的二項式系數(shù)分別是和 =4r-1=r+1或4r-1+r+1=20， 得r=4和r=(舍去) r=4 (2)T4r=T16=C1520(-x2)15=-15504x30， Tr+2=T6

22、=C520(-x2)5=-15504x10 例40 在(1+x+x2)(1-x)10的展開式中，x5的系數(shù)是 (用具體數(shù)字作答). 解：(1+x+x2)(1-x)10 =(1+x+x2)(1-1x+45x2-120x3+210x4-252x5+) =+(-120+210-252)x5+. x5的系數(shù)是-120+210-252=-162. 例41 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7；那么a1+a2+ +a7= . 解：令x=1，代入已知式，得-1=a0+a1+a7， 將x=0代入已知式，得1=a0 a1+a2+a7=-1-a0=-2. 例42 如果n是正偶數(shù)，則C0n+C2n+

23、C4n+Cn-2n+Cnn=( ). A.2n B.2n-1 C.2n-2 D.(n-1)2n-1 E.(n-1)2n-2 解：C0n+C2n+Cn-2n+Cnn=C1n+C3n+Cn-1n ， 又(C0n+C2n+Cn-2n+Cnn)+(C1n+C3n+Cn-1n)= 2n， 2(C0n+C2n+Cn-2n+Cnn)=2n， C0n+C2n+Cn-2n+Cnn=2n-1. 應選B.【同步達綱練習】四、能力訓練 (一)選擇題 1.有多少個整數(shù)n能使(n+i)4成為整數(shù)( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知(ax+1)2n和(x+a)2n+1的展開式中含xn項的系數(shù)相同(a0為實數(shù)，

24、n N)，則a的取值范圍是( ) A.a=1 B.a1 C.a 1 D.a1 3.在n的展開式中，所有奇數(shù)項二項式系數(shù)之和等于1024，則中間項 的二項式系數(shù)是( ) A.330 B.462 C.682 D.792 4.在()8的展開式中的常數(shù)項是 ( ) A.7 B.-7 C.28 D.-28 5.nN，A（+2）2n+1，B為A的小數(shù)部分，則AB的值應是( ) A.72n+1 B.22n+1 C.32n+1 D.52n+1 6.某小組有8名學生，從中選出2名男生，1名女生，分別參加數(shù)、理、化單科競賽，每人參加一種，共有90種不同的參賽方案，則男女生的人數(shù)應是( ) A.男生6名，女生2名

25、B.男生5名，女生3名 C.男生3名，女生5名 D.男生2名，女生5名 7.從0，1，2，3，4中每次取出3個不同的數(shù)字組成三位數(shù)，則這些三位數(shù)的個位數(shù)字之和等于( ) A.80 B.90 C.110 D .120 8.從集合1，2，3，10中，選出由5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11，則這樣的子集共有( ) A.10個 B.16個 C.20個 D.32個 9.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現(xiàn)將這5個球投放在這5個盒內(nèi)，要求每個盒內(nèi)投放一個球，并且恰有兩個球的編號與盒子的編號相同，則 這樣的投放方法的總數(shù)為( ) A.20 B.30 C.60 D. 120 10.用0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)字排成一個數(shù)字不重復且個位數(shù)最大，十位數(shù)次之，百位數(shù)最小的三位數(shù)的個數(shù)是( ) A.10 B.20 C.30 D. 40 11.要排一張5個獨唱節(jié)目和3個合唱節(jié)目的演出節(jié)目表，如果合唱節(jié)目不排頭，并且任何兩個合唱節(jié)目不相鄰，則不同排法的種類是( ) A.P88 B.P55P33 C.P55P35 D.P55P38 12.3人坐在一排8個座位上，若每人左右