三年高考（2020）高考數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)版解析 專題16 直線與圓 理（含解析）（通用）

1、 專題16 直線與圓考綱解讀明方向考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求常考題型預(yù)測熱度1.直線的傾斜角、斜率和方程在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,確定直線位置的幾何要素;理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式;能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直;掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系;能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo);掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離掌握選擇題填空題2.點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系掌握選擇題填空題分析解讀1.理解直線的傾斜角與斜率的關(guān)系,會求直線的傾斜角

2、與斜率.2.掌握求直線方程的三種方法:直接法、待定系數(shù)法、軌跡法.3.能根據(jù)兩條直線平行、垂直的條件判定兩直線是否平行或垂直.4.熟記兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行線間的距離公式,根據(jù)相關(guān)條件,會求三種距離.5.理解方程和函數(shù)的思想方法.6.高考中常結(jié)合直線的斜率與方程,考查與其他曲線的綜合應(yīng)用,分值約為5分,屬中檔題.考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求?？碱}型預(yù)測熱度圓的方程掌握確定圓的幾何要素;掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程掌握填空題解答題分析解讀1.了解參數(shù)方程的概念,理解圓的參數(shù)方程.2.能根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问?利用待定系數(shù)法求出圓的方程,結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解決與圓有關(guān)的問題.3.高

3、考對本節(jié)內(nèi)容的考查以圓的方程為主,分值約為5分,中等難度,備考時(shí)應(yīng)掌握“幾何法”和“代數(shù)法”,求圓的方程的方法及與圓有關(guān)的最值問題.考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求?？碱}型預(yù)測熱度1.直線與圓的位置關(guān)系能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系;能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題;初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想掌握選擇題填空題2.圓與圓的位置關(guān)系掌握填空題解答題分析解讀1.能夠根據(jù)給定直線和圓的方程,選用代數(shù)或幾何方法,判斷直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.會根據(jù)圓的切線方程、公共弦方程及弦長等有關(guān)知識解決有關(guān)直線與圓的問題.3.靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法.4.

4、本節(jié)在高考中以位置關(guān)系、弦長問題為主,分值約為5分,屬中檔題.2020年高考全景展示1【2020年理北京卷】在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cos，sin）到直線的距離，當(dāng)，m變化時(shí)，d的最大值為A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C點(diǎn)睛：與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化2【2020年全國卷理】直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍

5、，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，,則，點(diǎn)P在圓上，圓心為（2，0），則圓心到直線距離，故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為，則，故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題。3【2020年理數(shù)天津卷】已知圓的圓心為C，直線(為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的面積為_.【答案】【解析】分析：由題意首先求得圓心到直線的距離，然后結(jié)合弦長公式求得弦長，最后求解三角形的面積即可.詳解：由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，直線的直角坐標(biāo)方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長公式可得：，則.點(diǎn)睛：處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線

6、的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法4【2020年江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_【答案】3點(diǎn)睛：以向量為載體求相關(guān)變量的取值或范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.5【2020年理數(shù)全國卷II】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，（1）求的方程；（2）求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程【答案】(1) y=x1,(2)或【解析】分析：

7、(1)根據(jù)拋物線定義得，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理代入求出斜率，即得直線的方程；（2）先求AB中垂線方程，即得圓心坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)圓心到準(zhǔn)線距離等于半徑得等量關(guān)系，解方程組可得圓心坐標(biāo)以及半徑，最后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為，即設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），則解得或因此所求圓的方程為或 點(diǎn)睛：確定圓的方程方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，從而求出的值；若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，

8、則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值2020年高考全景展示1.【2020江蘇，13】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在圓上,若則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是 【答案】 【考點(diǎn)】直線與圓，線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)、直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.2.【2020課標(biāo)3，理20】已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)（2,0）的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.（

9、1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.【答案】(1)證明略；(2)直線 的方程為 ，圓 的方程為 .或直線 的方程為 ，圓 的方程為 .【解析】試題分析：(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與圓的方程，由斜率之積為 可得，即得結(jié)論；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論求得實(shí)數(shù) 的值，分類討論即可求得直線 的方程和圓 的方程.試題解析：(1)設(shè) ， .由 可得 ，則 .又 ，故 .因此 的斜率與 的斜率之積為 ，所以 .故坐標(biāo)原點(diǎn) 在圓 上.(2)由(1)可得 .故圓心 的坐標(biāo)為 ，圓 的半徑 .由于圓 過點(diǎn) ，因此 ，故 ，即 .由(1)可得 . 所以 ，解得 或 .當(dāng) 時(shí)，直線 的

10、方程為 ，圓心 的坐標(biāo)為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 .當(dāng) 時(shí)，直線 的方程為 ，圓心 的坐標(biāo)為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 .【考點(diǎn)】 直線與拋物線的位置關(guān)系；圓的方程【名師點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點(diǎn)弦問題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗(yàn)證0或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部.3.【2020課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：（ab0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P

11、2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn).【解析】試題分析：（1）根據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，由橢圓的對稱性可知C經(jīng)過，兩點(diǎn).另外知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此在橢圓上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出C的方程；（2）先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，在設(shè)直線l的方程，當(dāng)l與x軸垂直，通過計(jì)算，不滿足題意，再設(shè)設(shè)l：（），將代入，寫出判別式，韋達(dá)定理，表示出，根據(jù)列出等式表示出和的關(guān)系，判斷出直線恒過定點(diǎn).（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），

12、（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得由題設(shè)可知.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，欲使l：，即，所以l過定點(diǎn)（2，）【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】橢圓的對稱性是橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在橢圓上，可以通過這一方法進(jìn)行判斷；證明直線過定點(diǎn)的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化，找出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系式，從而可以判斷過定點(diǎn)情況.另外，在設(shè)直線方程之前，若題設(shè)中為告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在情況，接著通法是聯(lián)立方程組，求判別式、韋達(dá)定理，根據(jù)題設(shè)關(guān)系進(jìn)行化簡.202

13、0年高考全景展示1.【2020高考新課標(biāo)2理數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】試題分析：圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，解得，故選A考點(diǎn)： 圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式.【名師點(diǎn)睛】直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑長r的大小關(guān)系來判斷若dr，則直線與圓相離；若dr，則直線與圓相切；若dr，則直線與圓相交(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解的個(gè)數(shù)(也就是方程組解的個(gè)數(shù))來判斷如果0，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，從而方程組也有

14、兩組不同的實(shí)數(shù)解，那么直線與圓相交提醒：直線與圓的位置關(guān)系的判斷多用幾何法2.【2020高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，過分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn)，若，則_.【答案】4考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系3.【2020高考上海理數(shù)】已知平行直線，則的距離_.【答案】【解析】試題分析：利用兩平行線間距離公式得.考點(diǎn)：兩平行線間距離公式.【名師點(diǎn)睛】確定兩平行線間距離，關(guān)鍵是注意應(yīng)用公式的條件，即的系數(shù)應(yīng)該分別相同，本題較為容易，主要考查考生的基本運(yùn)算能力.4.【2020高考江蘇卷】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn)（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，

15、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）（2）（3）【解析】試題分析：（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定圓心與半徑：根據(jù)直線與x軸相切確定圓心位置，再根據(jù)兩圓外切建立等量關(guān)系求半徑（2）本題實(shí)質(zhì)已知弦長求直線方程，因此應(yīng)根據(jù)垂徑定理確定等量關(guān)系，求直線方程（3）利用向量加法幾何意義建立等量關(guān)系，根據(jù)圓中弦長范圍建立不等式，解對應(yīng)參數(shù)取值范圍試題解析：解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M(6，7)，半徑為5,.（1）由圓心在直線x=6上，可設(shè).因?yàn)镹與x軸相切，與圓M外切，所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)因?yàn)橹本€l|OA，所以直線l的斜率為.設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，則圓心M到直線l的距離 因?yàn)?而 所以，解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.于是點(diǎn)既在圓M上，又在圓上，