一線名師指點(diǎn)07年高考數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)第18講數(shù)列的求和（通用）

1、一線名師指點(diǎn)07年高考數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)第18講數(shù)列的求和【考點(diǎn)回放】1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn= Sn= Sn=當(dāng)d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a10），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)；當(dāng)q1時(shí)，Sn= Sn=3拆項(xiàng)法求數(shù)列的和，如an=2n+3n 4錯(cuò)位相減法求和，如an=(2n-1)2n（非常數(shù)列的等差數(shù)列與等比數(shù)列的積的形式）5分裂項(xiàng)法求和，如an=1/n(n+1) （分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項(xiàng)積的形式）6反序相加法求和，如an=7求數(shù)列an的最大、最小項(xiàng)的方法：an+

2、1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an=【考點(diǎn)解析】1. 若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，是否是等差數(shù)列？解析: ,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),數(shù)列不是等差數(shù)列,從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列.點(diǎn)評(píng):非常數(shù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù),且常數(shù)項(xiàng)為0.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求，并判斷是什么數(shù)列？解析: ,即當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又,數(shù)列是首項(xiàng)為4,公比為5的等比數(shù)列.3.已知數(shù)列滿足，求解析: ,當(dāng)n=1時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,由和兩式相減得,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比和等差數(shù)列.，是以為首項(xiàng),為公比和等差數(shù)列.點(diǎn)評(píng):若是等比數(shù)列,則其子數(shù)列也是等比數(shù)列(其中是等

3、差數(shù)列).4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求證數(shù)列是等比數(shù)列,并寫出其通項(xiàng)公式.解析:,兩式相減得,即,即數(shù)列是等比數(shù)列.,解得,數(shù)列是以3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.即點(diǎn)評(píng):本題是采用換元的方法,需要有整體的意識(shí).5（2001年高考）某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)并以此發(fā)展旅游事業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少1/5.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加1/4. 設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入bn萬元. 至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？解析:應(yīng)用問題建?；瘹w為直用公式求和構(gòu)建不

4、等式求解.依題設(shè)知，總投入和旅游業(yè)總收入分別為兩個(gè)等比數(shù)列的和，直用公式構(gòu)建不等式求解. 由題設(shè)可知，an=800+800(1-1/5)+800(1-1/5)n-1=4000,bn=400+4005/4+400(5/4)n-1=1600; 由題設(shè)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)總收入超過總投入，則 bn-an0. 化簡，1600400,即 5(+2(-70,換元解得n.6求數(shù)列 1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,(a0)的前n項(xiàng)和Sn.解析:整體把握，所求數(shù)列的每一項(xiàng)都是一等比數(shù)的和，其第k項(xiàng) ak=ak-1+ak+ak+1+a2k-2.當(dāng)|a|0時(shí)，ak=(ak-1-a2k-1),

5、Sn=(1-a)+(a-a3)+(a2-a5)+(an-1-a2n-1)=（1-an）（1-an+1）;當(dāng)a=1時(shí),易得Sn=;當(dāng)a=-1時(shí),易得Sn= .7. 函數(shù)f(x)對(duì)任意x1,x2R,當(dāng)x1+x2=1時(shí),恒有f(x1)+f(x2)=1,且f(0)=0,若an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+f(n-1/n),求an.解析:依據(jù)對(duì)應(yīng)法則和所求值的結(jié)構(gòu)特征，創(chuàng)造用對(duì)應(yīng)法則，整體把握用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法“反序求和”,由an=0+f(1)+f(1/n)+f(2/n)+f(n-1/n) an= f(n-1/n)+f(n-2/n)+ +f(1/n)+0，相加用對(duì)應(yīng)法則有2an=f

6、(1/n)+f(n-1/n)+f(2/n)+f(n-2/n)+f(n-1/n)+f(1/n)=n-1,故an=(n-1)/2.8. 已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,且a1,a2,a3,an組成一個(gè)數(shù)列，n為自然數(shù)，且有f(1)=n2, 試證明 0f(1/3)1+2n1+n,所以0(n+1)/3n1，故 0f(1/3)1.9. 函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x,y都有f(x)+f(y)=f()，且當(dāng)x0，求證f()+f()+f() f().解析:依據(jù)對(duì)應(yīng)法則的結(jié)構(gòu)特征，整體把握不等式左端數(shù)列和，從通項(xiàng)入手，逆用法則裂項(xiàng)相消法求和解決.賦值易知f(x)奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，都有f(x)0

7、, 恒有f() f().故所證不等式成立.10設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，求奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比值.解析:本題解法很多.現(xiàn)整體把握奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)之和，構(gòu)建方程組求解.設(shè)S奇，S偶 分別為奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和，則 S奇+S偶=Sn=nak, S奇-S偶=ak,其中k=,解方程組有，S奇=,S偶=則 S奇：S偶=11.設(shè)正數(shù)列ab的前項(xiàng)和Sn，且Sn=,試求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.解析:：由一般數(shù)列的切入點(diǎn)，可構(gòu)建關(guān)于Sn的方程解出Sn，從而求其通項(xiàng)公式an.由題設(shè)和數(shù)列的切入點(diǎn),Sn= (an+)=(Sn-Sn-1+,化簡為 Sn2-Sn-12=2 (n.即Sn2為等差數(shù)列，易求Sn2=S

8、22+(n-2)=n(n).故 a1=1;當(dāng)n時(shí),an=.12.數(shù)列an的相鄰兩項(xiàng)an,an+1是方程x2-cnx+(的兩根，又a1=2，求無窮數(shù)列c1,c2,cn各項(xiàng)和.解析:整體把握an間隔成等比數(shù)列，“挑項(xiàng)求和”. 由題設(shè)，cn=an+an+1, anan+1=(,則.故a2n-1是2為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列；a2n是為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.S=c1+c2+cn+=a1+a2+a2+a3+a3+an+1+=2(a1+a2+a3+an+)-a1=2.13（2020北京卷）設(shè)，則等于（A） （B） （C）（D）解析:依題意為首項(xiàng)為2，公比為8的前n4項(xiàng)求和，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得D.14（

9、2020天津卷）已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于（）A55 B70C85D100解析:數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于=， =，選C.15（2020廣東卷）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個(gè)乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）. 解析:10，16（2020湖南卷） 若數(shù)列滿足：，2，

10、3.則. 解析:數(shù)列滿足：，2，3，該數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列， .【考點(diǎn)演練】考點(diǎn)1、等差、等比公式求和1在等差數(shù)列an中，它的前n項(xiàng)和為Sn，已知 . 182等差數(shù)列an中，已知前15項(xiàng)的和S15=90，則a8等于（ ）AB12CD63等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，若，則公比q等于 4、等差數(shù)列an中,若a1+a4+a7=39, a3+a6+a 9=27, 則前9項(xiàng)的和S9= ( )A 66 B 99 C 144 D 2975數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n1，則這個(gè)數(shù)列一定是B（ ）A等差數(shù)列B非等差數(shù)列C常數(shù)數(shù)列D等差數(shù)列或常數(shù)數(shù)列考點(diǎn)2、分項(xiàng)求和1、5，55，555，

11、5555，；解：2、求和：；， 原式考點(diǎn)3、錯(cuò)位減法求和1、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(an-1)(nN,n1)(1)求a1,a2 (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 (3)bn=n,令Cn=bnan ,求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和 解：（1）由 4分（2） 是首項(xiàng)公比均為的等比數(shù)列 8分（3）設(shè)前n項(xiàng)的和Tn，：14分考點(diǎn)4、裂項(xiàng)求和1數(shù)列的前n項(xiàng)之和為 2若的前n項(xiàng)和是（ ）ABCD3設(shè)，則n的值為（ ）A9B8C7D64、= A B C D 考點(diǎn)5、疊加法、疊乘法1、已知數(shù)列 (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：或者用累乘得2、數(shù)列的通項(xiàng)公式是，若前n項(xiàng)

12、的和為10，則項(xiàng)數(shù)n為（）A11B99C120D121考點(diǎn)6、倒序求和1、設(shè)， 又， ，【題型講解】例1 （分情況討論）求和：解：當(dāng)a=0或b=0時(shí)，當(dāng)a=b時(shí)，；當(dāng)ab時(shí)，例2（分部求和法）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前10項(xiàng)的和為145，求解：首先由則例3（分部求和法）求數(shù)列1，3，32，3n的各項(xiàng)的和解：其和為：(133n)()=(3n1-3-n)例4（裂項(xiàng)求和法）解：， 例5（裂項(xiàng)求和法）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，求和：解：首先考慮則=點(diǎn)評(píng)：已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，下列求和也可用裂項(xiàng)求和法例6（錯(cuò)位相減法）設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，

13、nan，的前n項(xiàng)和解：若a=0時(shí)，Sn=0 若a=1，則Sn=1+2+3+n= 若a1，a0時(shí)，Sn-aSn=a（1+a+an-1-nan），Sn=例7（錯(cuò)位相減法）已知，數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：-得：點(diǎn)評(píng)：設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列 的前項(xiàng)和求解，均可用錯(cuò)位相減法例8（組合化歸法）求和：解：而連續(xù)自然數(shù)可表示為組合數(shù)的形式，于是，數(shù)列的求和便轉(zhuǎn)化為組合數(shù)的求和問題了點(diǎn)評(píng)：可轉(zhuǎn)化為連續(xù)自然數(shù)乘積的數(shù)列求和問題，均可考慮組合化歸法當(dāng)然本題也可以將通項(xiàng)展開為n的多項(xiàng)式，再用分部求和法例9（逆序相加法）設(shè)數(shù)列是公差為，且首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求和：解：因

14、為 點(diǎn)評(píng)：此類問題還可變換為探索題形：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在等差數(shù)列使得對(duì)一切自然數(shù)n都成立例10（遞推法）已知數(shù)列的前項(xiàng)和與滿足：成等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：由題意： 點(diǎn)評(píng)：本題的常規(guī)方法是先求通項(xiàng)公式，然后求和，但逆向思維，直接求出數(shù)列的前項(xiàng)和的遞推公式，是一種最佳解法例11 數(shù)列中，且滿足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，（2）若，時(shí)，故 （3）若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有說明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)

15、，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題例12 已知函數(shù),數(shù)列an滿足a1 = 1,an+1 = f(an) (nN*)() 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;() 記Sn = a1a2 +a2a3+anan+1 , 求Sn并求解: () 由 得 3anan+1 +an+1 = an ,從而 ,即 ,數(shù)列是以為首項(xiàng)3為公差的等差數(shù)列 , () 設(shè)bn = anan+1 ,則 , , l 小結(jié)： 1等價(jià)轉(zhuǎn)換思想是解決數(shù)列問題的基本思想方法,復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列 2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問題的重要思想,數(shù)學(xué)歸納法是這一思想的理論基礎(chǔ) 3錯(cuò)位相減”、“裂項(xiàng)相消”是數(shù)列求和最重要的

16、方法【基礎(chǔ)演練】1設(shè)S和T分別為兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意nN，都有，則第一個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng)與第二個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng)的比是( )A43 B32 C74 D78712一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3項(xiàng)的和等于前11項(xiàng)的和，當(dāng)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n等于（）A5 B6 C7 D83若數(shù)列中，且 ，則數(shù)列的通項(xiàng) 4設(shè)在等比數(shù)列中，求及5根據(jù)下面各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式6數(shù)列的前項(xiàng)和為不等于0，1的常數(shù))，求其通項(xiàng)公式7某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭，到2001年底全縣的綠化率已達(dá)30%從2002年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同

17、時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化（1）設(shè)全縣面積為1，2001年底綠化面積為經(jīng)過年綠化總面積為 求證（2）至少需要多少年（年取整數(shù)，）的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？8 某企業(yè)2020年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤為500(1+)萬元(n為正整數(shù)) ()設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為An萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤Bn萬元(須扣除技術(shù)改造資

18、金)，求An、Bn的表達(dá)式()依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)經(jīng)過至少多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤？參考答案:1解：設(shè)這兩個(gè)等差數(shù)列分別為an和bn故選擇A說明：注意巧妙運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)來反映等差數(shù)列的通項(xiàng)an與前2n-1項(xiàng)和S2n-1的內(nèi)在聯(lián)系2解：依題意知數(shù)列單調(diào)遞減，公差d0因?yàn)镾3=S11=S3+a4+a5+a10+a11所以a4+a5+a10+a11=0即a4+a11=a7+a8=0，故當(dāng)n=7時(shí)，a70，a80選擇C3解：多次運(yùn)用迭代，可得4解：，又，由以上二式得或；由此得或5解：（1）， （2） =又解：由題意，對(duì)一切自然數(shù)成立，（3）是首項(xiàng)為公

19、比為的等比數(shù)列，說明：本例復(fù)習(xí)求通項(xiàng)公式的幾種方法：迭加法、迭乘法、構(gòu)造法6解：由可得當(dāng)時(shí)， ，是公比為的等比數(shù)列又當(dāng)時(shí)，說明：本例復(fù)習(xí)由有關(guān)與遞推式求，關(guān)鍵是利用與的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化7（1）證明：由已知可得確定后，表示如下：=即=80%+16%=+（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=故有=，若則有即兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得故，故使得上式成立的最小為5，故最少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%8 ()依題意，An=(500-20)+(500-40)+(500-20n)=490n-10n2Bn=500-60=500n-100 () Bn- An=(500n-100)-(490n-10n

20、2)=10n2+10n-100 =10因?yàn)楹瘮?shù)y=x(x+1)- -10在(0，+)上為增函數(shù)當(dāng)1n3時(shí)，n(n+1)- -1012-100當(dāng)n4時(shí)，n(n+1)- -1020-100僅當(dāng)n4時(shí)，BnAn【實(shí)戰(zhàn)演練】1等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且，則 （ ）A B C D2設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)的和,若Sn是等差數(shù)列,則公比q= 13數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若，則這個(gè)數(shù)列一定是（ ）A等比數(shù)列B等差數(shù)列C從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列D從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列4已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S6=36，Sn=324，Sn6=144（n6），則n等于（ ）A15B16C17D185 數(shù)列1,(1+2),(1+2+22),( 1+2+22+2n-1+)的前n項(xiàng)和是 ( )A 2n B 2n-2 C 2n+1- n -2 D n2n 6 已知等差數(shù)列， (1) 求的通項(xiàng)公式；(2) 令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解：(1) 設(shè)數(shù)列的公差為d，依題意得方程組 解得 所以的通項(xiàng)公式為(2) 由所以是首項(xiàng)，公式的等比數(shù)列.于是得的前n項(xiàng)和 7 把正奇數(shù)數(shù)列2n1中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)