一線名師指點(diǎn)07年高考數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)第43講對(duì)稱問題（通用）

1、一線名師指點(diǎn)07年高考數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)第43講對(duì)稱問題【考點(diǎn)回放】1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的對(duì)稱中心恰是這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，因此中心對(duì)稱的問題是線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題設(shè)P（x0，y0），對(duì)稱中心為A（a，b），則P關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為P（2ax0，2by0）2點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱問題由軸對(duì)稱定義知，對(duì)稱軸即為兩對(duì)稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)頂點(diǎn)的坐標(biāo)一般情形如下：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P（x，y），則有，可求出x、y特殊地，點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為P（2ax0，y0）；點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線y=b的對(duì)

2、稱點(diǎn)為P（x0，2by0）3曲線關(guān)于點(diǎn)、曲線關(guān)于直線的中心或軸對(duì)稱問題：一般是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心對(duì)稱或軸對(duì)稱（這里既可選特殊點(diǎn)，也可選任意點(diǎn)實(shí)施轉(zhuǎn)化）一般結(jié)論如下：（1）曲線f（x，y）=0關(guān)于已知點(diǎn)A（a，b）的對(duì)稱曲線的方程是f（2ax，2by）=0（2）曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱曲線的求法：設(shè)曲線f（x，y）=0上任意一點(diǎn)為P（x0，y0），P點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P（y，x），則由（2）知，P與P的坐標(biāo)滿足從中解出x0、y0，代入已知曲線f（x，y）=0，應(yīng)有f（x0，y0）=0利用坐標(biāo)代換法就可求出曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱曲線方程4兩點(diǎn)

3、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的常見結(jié)論：（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y）；（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y）；（3）點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y）；（4）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線xy=0的對(duì)稱點(diǎn)為（y，x）；（5）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為（y，x）【考點(diǎn)解析】1.已知點(diǎn)M（a，b）與N關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為A.（a，b） B.（b，a）C.（a，b） D.（b，a）解析：N（a，b），P（a，b），則Q（b，a）答案：B2.（2020年浙江，理4）曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲

4、線方程是A.y2=84x B.y2=4x8C.y2=164x D.y2=4x16解析：設(shè)曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線為C，在曲線C上任取一點(diǎn)P（x，y），則P（x，y）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為Q（4x，y）.因?yàn)镼（4x，y）在曲線y2=4x上，所以y2=4（4x），即y2=164x.答案：C3.已知直線l1：x+my+5=0和直線l2：x+ny+p=0，則l1、l2關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是A.=B.p=5C.m=n且p=5D.=且p=5解析：直線l1關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為（x）+my+5=0，即xmy5=0，與l2比較，m=n且p=5.反之亦驗(yàn)證成立.答案：C4.點(diǎn)A（4，5）關(guān)

5、于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B（2，7），則l的方程為_.解析：對(duì)稱軸是以兩對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線.答案：3xy+3=05.設(shè)直線x+4y5=0的傾斜角為，則它關(guān)于直線y3=0對(duì)稱的直線的傾斜角是_.解析：數(shù)形結(jié)合.答案：6（2020湖北卷）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則點(diǎn)的軌跡方程是A BC D解：設(shè)P（x，y），則Q（x，y），又設(shè)A（a，0），B（0，b），則a0，b0，于是，由可得ax，b3y，所以x0，y0又（a，b）（x，3y），由1可得故選D【考點(diǎn)演練】1.（2020年全國卷，4）已知圓C與圓（x1）2+y2=1關(guān)于直線y=x對(duì)

6、稱，則圓C的方程為A.（x+1）2+y2=1 B.x2+y2=1C.x2+（y+1）2=1 D.x2+（y1）2=1解析：由M（x，y）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（y，x），即得x2+（y+1）2=1.答案：C2.與直線x+2y1=0關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱的直線方程為A.2xy5=0 B.x+2y3=0C.x+2y+3=0 D.2xy1=0解析：將x+2y1=0中的x、y分別代以2x，2y，得（2x）+2（2y）1=0，即x+2y+3=0.故選C.答案：C3.兩直線y=x和x=1關(guān)于直線l對(duì)稱，直線l的方程是_.解析：l上的點(diǎn)為到兩直線y=x與x=1距離相等的點(diǎn)的集合，即=x1，化簡(jiǎn)得x+y2=0或3

7、xy2=0.答案：x+y2=0或3xy2=04.直線2xy4=0上有一點(diǎn)P，它與兩定點(diǎn)A（4，1）、B（3，4）的距離之差最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_.解析：易知A（4，1）、B（3，4）在直線l：2xy4=0的兩側(cè).作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1（0，1），當(dāng)A1、B、P共線時(shí)距離之差最大.答案：（5，6）5.已知ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A（1，4），B、C的平分線所在直線的方程分別為l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求邊BC所在直線的方程.解：設(shè)點(diǎn)A（1，4）關(guān)于直線y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)為A（x1，y1），則x1=1，y1=2（1）（4）=2，即A（1，2）.在直線BC上，再設(shè)點(diǎn)A（1，4）關(guān)于l2：x

8、+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)為A（x2，y2），則有（1）=1，+1=0.解得 x2=3，y2=0，即A（3，0）也在直線BC上，由直線方程的兩點(diǎn)式得=，即x+2y3=0為邊BC所在直線的方程.【題型講解】例1 求直線a：2x+y4=0關(guān)于直線l：3x+4y1=0對(duì)稱的直線b的方程分析：由平面幾何知識(shí)可知若直線a、b關(guān)于直線l對(duì)稱，它們具有下列幾何性質(zhì)：（1）若a、b相交，則l是a、b交角的平分線；（2）若點(diǎn)A在直線a上，那么A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B一定在直線b上，這時(shí)ABl，并且AB的中點(diǎn)D在l上；（3）a以l為軸旋轉(zhuǎn)180，一定與b重合使用這些性質(zhì)，可以找出直線b的方程解此題的方法很多，總的來說有兩

9、類：一類是找出確定直線方程的兩個(gè)條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程；另一類是直接由軌跡求方程解：由 ，解得a與l的交點(diǎn)E（3，2），E點(diǎn)也在b上方法一：設(shè)直線b的斜率為k，又知直線a的斜率為2，直線l的斜率為則 =解得k=代入點(diǎn)斜式得直線b的方程為y（2）=（x3），即2x+11y+16=0方法二：在直線a：2x+y4=0上找一點(diǎn)A（2，0），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x0，y0），由解得B（，）由兩點(diǎn)式得直線b的方程為=，即2x+11y+16=0方法三：設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）關(guān)于l：3x+4y1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q（x0，y0），則有解得x0=，y0=Q（x0，y0）在直

10、線a：2x+y4=0上，則2+4=0，化簡(jiǎn)得2x+11y+16=0是所求直線b的方程方法四：設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y），直線a上的點(diǎn)Q（x0，42x0），且P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l：3x+4y1=0對(duì)稱，則有消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y4=0（舍）點(diǎn)評(píng)：本題體現(xiàn)了求直線方程的兩種不同的途徑，方法一與方法二，除了點(diǎn)E外，分別找出確定直線位置的另一個(gè)條件：斜率或另一個(gè)點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式求出方程，方法三與方法四是利用直線上動(dòng)點(diǎn)的幾何性質(zhì)，直接由軌跡求方程，在使用這種方法時(shí)，要注意區(qū)分動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)及參數(shù)，本題綜合性較強(qiáng)，只有對(duì)坐標(biāo)法有較深刻的理解，同時(shí)有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力才能較好地完成

11、此題例2 光線從點(diǎn)A（3，4）發(fā)出，經(jīng)過x軸反射，再經(jīng)過y軸反射，光線經(jīng)過點(diǎn)B（2，6），求射入y軸后的反射線的方程分析：由物理中光學(xué)知識(shí)知，入射線和反射線關(guān)于法線對(duì)稱解：A（3，4）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1（3，4）在經(jīng)x軸反射的光線上，同樣A1（3，4）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A2（3，4）在經(jīng)過射入y軸的反射線上，k=2故所求直線方程為y6=2（x+2），即2x+y2=0點(diǎn)評(píng)：注意知識(shí)間的相互聯(lián)系及學(xué)科間的相互滲透例3 已知點(diǎn)M（3，5），在直線l：x2y+2=0和y軸上各找一點(diǎn)P和Q，使MPQ的周長(zhǎng)最小分析：如下圖，作點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M1，再作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，連結(jié)MM1、MM2，連

12、線MM1、MM2與l及y軸交于P與Q兩點(diǎn)，由軸對(duì)稱及平面幾何知識(shí)，可知這樣得到的MPQ的周長(zhǎng)最小解：由點(diǎn)M（3，5）及直線l，可求得點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)M1（5，1）同樣容易求得點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M2（3，5）據(jù)M1及M2兩點(diǎn)可得到直線M1M2的方程為x+2y7=0令x=0，得到M1M2與y軸的交點(diǎn)Q（0，） 解方程組得交點(diǎn)P（，）故點(diǎn)P（，）、Q（0，）即為所求點(diǎn)評(píng)：恰當(dāng)?shù)乩闷矫鎺缀蔚闹R(shí)對(duì)解題能起到事半功倍的效果例4 若拋物線上總存在關(guān)于直線的異于交點(diǎn)的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍 解法一：（對(duì)稱曲線相交法）曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程為如果拋物線上總存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，則兩曲線與必

13、有不在直線上的兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖所示)，從而可由： 代入得有兩個(gè)不同的解，解法二：（對(duì)稱點(diǎn)法）設(shè)拋物線上存在異于于直線的交點(diǎn)的點(diǎn)，且關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在拋物線上 則 必有兩組解(1)-(2)得 必有兩個(gè)不同解，有解 從而有 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解即 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解 ， 解法三：（點(diǎn)差法）設(shè)拋物線上以為端點(diǎn)的弦關(guān)于直線對(duì)稱，且以為中點(diǎn)是拋物線（即）內(nèi)的點(diǎn)從而有由 (1)-(2)得 由從而有例5 試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱解：設(shè)橢圓上以為端點(diǎn)的弦關(guān)于直線對(duì)稱，且以為中點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn) 從而有由 (1)-(2)得 由由在直線上從而有小結(jié)：1對(duì)稱問題的核心是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱和

14、點(diǎn)關(guān)于直線的軸對(duì)稱，要充分利用轉(zhuǎn)化的思想將問題轉(zhuǎn)化為這兩類對(duì)稱中的一種加以處理2許多問題都隱含著對(duì)稱性，要注意挖掘、充分利用對(duì)稱變換來解決，如角平分線、線段中垂線、光線反射等3對(duì)稱問題除了用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率關(guān)系來求以外，還可以用求軌跡的思想代入法來求解【基礎(chǔ)演練】1已知點(diǎn)M（a，b）與N關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為A（a，b） B（b，a）C（a，b） D（b，a）解析：N（a，b），P（a，b），則Q（b，a）答案：B2曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線方程是Ay2=84x By2=4x8 Cy2=164x Dy2=4x16解：

15、設(shè)曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線為C，在曲線C上任取一點(diǎn)P（x，y），則P（x，y）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為Q（4x，y）因?yàn)镼（4x，y）在曲線y2=4x上，所以y2=4（4x），即y2=164x答案：C3已知直線l1：x+my+5=0和直線l2：x+ny+p=0，則l1、l2關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是A= Bp=5 Cm=n且p=5 D=且p=5解析：直線l1關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為（x）+my+5=0，即xmy5=0，與l2比較，m=n且p=5反之亦驗(yàn)證成立答案：C4點(diǎn)A（4，5）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B（2，7），則l的方程為_解析：對(duì)稱軸是以兩對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線答案：3x

16、y+3=05設(shè)直線x+4y5=0的傾斜角為，則它關(guān)于直線y3=0對(duì)稱的直線的傾斜角是_答案：6一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓與圓x2+y2+8x4y=0關(guān)于直線l對(duì)稱,則直線l的方程是 答案：2xy+5=07直線y=3x4關(guān)于點(diǎn)P(2,1)對(duì)稱的直線l的方程是 答案：3xy10=0 用求方程的方法或幾何性質(zhì)(平行)均可8方程x2+y2+2ax2ay=0所表示的圓的對(duì)稱軸方程為 答案：x+y=0提示：點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(y,x)關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱9如果直線axy+3=0與直線3xyb=0關(guān)于直線xy+1=0對(duì)稱，則a= , b= 答案：1/3, 5 說明：掌握k=1時(shí)，求對(duì)稱點(diǎn)的方法10已知圓C與圓關(guān)于

17、直線y=x對(duì)稱，則圓C的方程為A（x+1）2+y2=1 Bx2+y2=1 Cx2+（y+1）2=1 Dx2+（y1）2=1解：由M（x，y）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（y，x），即得x2+（y+1）2=1答案：C11與直線x+2y1=0關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱的直線方程為A2xy5=0 Bx+2y3=0 Cx+2y+3=0 D2xy1=0解：將x+2y1=0中的x、y分別代以2x，2y，得（2x）+2（2y）1=0，即x+2y+3=0故選C答案：C12兩直線y=x和x=1關(guān)于直線l對(duì)稱，直線l的方程是_解：l上的點(diǎn)為到兩直線y=x與x=1距離相等的點(diǎn)的集合，即=x1，化簡(jiǎn)得x+y2=0或3xy2=0答案

18、：x+y2=0或3xy2=013直線2xy4=0上有一點(diǎn)P，它與兩定點(diǎn)A（4，1）、B（3，4）的距離之差最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_解：易知A（4，1）、B（3，4）在直線l：2xy4=0的兩側(cè)作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1（0，1），當(dāng)A1、B、P共線時(shí)距離之差最大答案：（5，6）14已知曲線C：y=x2+x+2關(guān)于點(diǎn)(a,2a)對(duì)稱的曲線是C/,若C與C/有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求a的取值范圍解：曲線C/的方程為y=x2+(14a)x+(4a2+2a2),聯(lián)立C與C/的方程并消去y得：x22ax+2a2+a2=0, 由0得：2a0. 又=，=.線段AB的中點(diǎn)M（，）.M點(diǎn)在直線AB上，=+b，即b=.

19、 將代入得1+4a（1）0.a.5.（2020年新課程，理10）已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1x42，求tan的取值范圍.解：設(shè)P1B=x，P1P0B=，則CP1=1x，P1P2C、P3P2D、AP4P3均為，tan=x.又tan=x，CP2=1.而tan=x，DP3=x（3）=3x1.又tan=x，AP4=3.依題設(shè)1AP42，即132，4.tan.6. 已知兩點(diǎn)A（2，3）、B（4

20、，1），直線l：x+2y2=0，在直線l上求一點(diǎn)P.（1）使|PA|+|PB|最??；（2）使|PA|PB|最大.解：（1）可判斷A、B在直線l的同側(cè)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（x1，y1）.則有 +22=0，（）=1.解得 x1=，y1=.由兩點(diǎn)式求得直線A1B的方程為y=（x4）+1，直線A1B與l的交點(diǎn)可求得為P（，）.由平面幾何知識(shí)可知|PA|+|PB|最小.（2）由兩點(diǎn)式求得直線AB的方程為y1=（x4），即x+y5=0.直線AB與l的交點(diǎn)可求得為P（8，3），它使|PA|PB|最大.7. 直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，1），若拋物線y2=x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l斜率的取值范圍.解法一：設(shè)直線l的方程為y1=k（x1），弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A（x1，y1）、B（x2，y2）