挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題21由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題

1、2.12.1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題 例例 1 20131 2013 年寧波市中考第年寧波市中考第 2626 題題 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(0,4)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(4,0)， 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn) P 在射線 AB 上運(yùn)動(dòng)，連結(jié) CP 與 y 軸交于點(diǎn) D，連結(jié) BD過 P、 D、B 三點(diǎn)作Q，與y 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 E，延 長(zhǎng) DQ 交Q 于 F，連結(jié) EF、BF （1）求直線 AB 的函數(shù)解析式； （2）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB（不包括 A、B 兩點(diǎn)） 上時(shí) 求證：BDEADP； 設(shè) DEx，DFy，請(qǐng)

2、求出 y 關(guān)于 x 的函 數(shù)解析式； （3）請(qǐng)你探究：點(diǎn) P 在運(yùn)動(dòng)過程中，是否 存在以 B、D、F 為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為21？如果存在，求出此時(shí) 點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由圖 1 動(dòng)感體驗(yàn)動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“13 寧波 26” ，拖動(dòng)點(diǎn) P 在射線 AB 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， DEF 保持等腰直角三角形的形狀， y 是 x 的一次函數(shù) 觀察 BDBF 的度量值， 可以體驗(yàn)到， BDBF 可以等于 2，也可以等于 0.5 請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“13 寧波 26” ，拖動(dòng)點(diǎn) P 在射線 AB 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， DEF 保持等腰直角三角形的形狀觀察

3、BDBF 的度量值，可以體驗(yàn)到，BDBF 可以等 于 2，也可以等于 0.5 答案答案 （1）直線 AB 的函數(shù)解析式為 yx4 （2）如圖 2，BDECDEADP； 如圖 3，ADPDEPDPE，如圖 4，BDEDBPA， 因?yàn)镈EPDBP，所以DPEA45 所以DFEDPE45因此DEF 是等腰直角三角形于是得到y(tǒng)2x 圖 2圖 3圖 4 （3）如圖 5，當(dāng) BDBF21 時(shí)，P(2,2)思路如下： 由DMBBNF，知BN 1 DM 2 2 2 3 設(shè) OD2m，F(xiàn)Nm，由 DEEF，可得 2m24m解得m 因此D(0, )再由直線 CD 與直線 AB 求得交點(diǎn) P(2,2) 如圖 6，當(dāng)

4、 BDBF12 時(shí)，P(8,4)思路同上 4 3 圖 5圖 6 例例 2 20122 2012 年上海市徐匯區(qū)中考模擬第年上海市徐匯區(qū)中考模擬第 2525 題題 在 RtABC 中，C90，AC6，sin B 3 ，B 的半徑長(zhǎng)為 1，B 交邊 CB 于 5 點(diǎn) P，點(diǎn) O 是邊 AB 上的動(dòng)點(diǎn) （1）如圖 1，將B 繞點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn) 180得到M，請(qǐng)判斷M 與直線 AB 的位置關(guān)系； （2）如圖 2，在（1）的條件下，當(dāng)OMP 是等腰三角形時(shí)，求OA 的長(zhǎng)； （3）如圖 3，點(diǎn) N 是邊 BC 上的動(dòng)點(diǎn)，如果以 NB 為半徑的N 和以 OA 為半徑的O 外切，設(shè) NBy，OAx，求 y 關(guān)于

5、x 的函數(shù)關(guān)系式及定義域 圖 1圖 2圖 3 動(dòng)感體驗(yàn)動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12 徐匯 25” ，拖動(dòng)點(diǎn) O 在 AB 上運(yùn)動(dòng)，觀察OMP 的三個(gè)頂 點(diǎn)與對(duì)邊的垂直平分線的位置關(guān)系，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)O 和點(diǎn) P 可以落在對(duì)邊的垂直平分線 上，點(diǎn) M 不能 請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“12 徐匯 25” ， 分別點(diǎn)擊“等腰”按鈕的左部和中部，觀察三 個(gè)角度的大小，可得兩種等腰的情形點(diǎn)擊“相切”按鈕，可得y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 1B 的三角比反復(fù)用到，注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，防止錯(cuò)亂 2分三種情況探究等腰OMP，各種情況都有各自特殊的位置關(guān)系，用幾何說理的方 法比較簡(jiǎn)單 3探求y 關(guān)于

6、 x 的函數(shù)關(guān)系式，作OBN 的邊 OB 上的高，把OBN 分割為兩個(gè)具有 公共直角邊的直角三角形 滿分解答滿分解答 （1）在 RtABC 中，AC6，sin B 所以 AB10，BC8 過點(diǎn) M 作 MDAB，垂足為 D 在 RtBMD 中，BM2，sinB MD 3 ，所以MD 6 BM55 3 ， 5 因此 MDMP，M 與直線 AB 相離圖 4 （2）如圖 4，MOMDMP，因此不存在 MOMP 的情況 如圖 5，當(dāng) PMPO 時(shí)，又因?yàn)?PBPO，因此BOM 是直角三角形 在 RtBOM 中，BM2，cosB BO 4 ，所以BO 8 此時(shí)OA 42 BM555 如圖 6，當(dāng) OMO

7、P 時(shí)，設(shè)底邊 MP 對(duì)應(yīng)的高為 OE 在 RtBOE 中，BE 3 ，cosB BE 4 ，所以BO 15 此時(shí)OA 65 2BO588 圖 5圖 6 （3）如圖 7，過點(diǎn) N 作 NFAB，垂足為 F聯(lián)結(jié) ON 當(dāng)兩圓外切時(shí)，半徑和等于圓心距，所以O(shè)Nxy 在 RtBNF 中，BNy，sinB 3 ，cosB 4 ，所以NF 3 y，BF 4 y 5555 在 RtONF 中，OF AB AO BF 10 x 4 y，由勾股定理得 ON2OF2NF2 5 于是得到(x y)2 (10 x 4 y)2(3y)2 55 整理，得y 25050 x 定義域?yàn)?0x5 x40 圖 7圖 8 考點(diǎn)伸

8、展考點(diǎn)伸展 第（2）題也可以這樣思考： 如圖 8，在 RtBMF 中，BM2，MF 6 ，BF 8 55 在 RtOMF 中，OF10 x 8 42 x，所以O(shè)M2 ( 42 x)2(6)2 5555 在 RtBPQ 中，BP1，PQ 3 ，BQ 4 55 在 RtOPQ 中，OF10 x 4 46 x，所以O(shè)P2( 46 x)2(3)2 5555 當(dāng) MOMP1 時(shí)，方程(42 x)2(6)2 1沒有實(shí)數(shù)根 55 當(dāng) POPM1 時(shí)，解方程(46 x)2(3)2 1，可得x OA 42 555 當(dāng) OMOP 時(shí)，解方程(42 x)2(6)2 ( 46 x)2(3)2，可得x OA 65 55

9、558 例例 3 20123 2012 年連云港市中考第年連云港市中考第 2626 題題 如圖 1，甲、乙兩人分別從 A、B 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)甲沿 AO 方向、乙 沿 BO 方向均以每小時(shí) 4 千米的速度行走， t 小時(shí)后， 甲到達(dá) M 點(diǎn)， 乙到達(dá) N 點(diǎn) （1）請(qǐng)說明甲、乙兩人到達(dá)點(diǎn) O 前，MN 與 AB 不可能平行； （2）當(dāng) t 為何值時(shí)，OMNOBA？ （3）甲、乙兩人之間的距離為 MN 的長(zhǎng)設(shè) sMN2，求 s 與t之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式 ， 并 求 甲 、 乙 兩 人 之 間 距 離 的 最 小 值圖 1 動(dòng)感體驗(yàn)動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12 連

10、云港 26” ，拖動(dòng)點(diǎn)N 在射線 BO 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng) 上時(shí)， MNOBAO，M、N 都在 O 右側(cè)時(shí)， MN 與 AB 不平行 當(dāng)點(diǎn) A 落在MNBOMN OBA 請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“12 連云港 26” ，拖動(dòng)點(diǎn)N 在射線 BO 上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng) 上時(shí)， MNOBAO，M、N 都在 O 右側(cè)時(shí)， MN 與 AB 不平行 當(dāng)點(diǎn) A 落在MNBOMN OBAs 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式呈拋物線圖象，當(dāng)t1 時(shí)，甲、乙兩人的最小距離為12 千米 答案答案 （1）當(dāng) M、N 都在 O 右側(cè)時(shí)， OM OA 所以 24tON64t2 12t，1t， 2OB63 OMON 因此 MN

11、與 AB 不平行 OAOB （2）如圖 2，當(dāng) M、N 都在 O 右側(cè)時(shí)，OMNB，不可能OMNOBA 如圖 3，當(dāng) M 在 O 左側(cè)、 N 在 O 右側(cè)時(shí)， MONBOA，不可能OMNOBA ONOA 如圖 4，當(dāng) M、N 都在 O 左側(cè)時(shí)，如果OMNOBA，那么 OMOB 4t 62 所以解得 t2 4t 26 圖 2圖 3圖 4 （3）如圖 2，OM 24t，OH 12t，MH 3(12t) NH ON OH (64t)(12t) 52t 如圖 3，OM 4t 2，OH 2t 1，MH 3(2t 1) NH ON OH (64t)(2t 1) 52t 如圖 4，OM 4t 2，OH 2t

12、 1，MH 3(2t 1) NH OH ON (2t 1)(4t 6) 52t 綜合、，s MN2 MH2 NH2 (52t)216t232t 28 16(t 1)2123(2t 1) 所以當(dāng) t1 時(shí)，甲、乙兩人的最小距離為12 千米 2 例例 4 20114 2011 年上海市中考第年上海市中考第 2525 題題 在 RtABC 中，ACB90，BC30，AB50點(diǎn)P 是 AB 邊上任意一點(diǎn)，直線PE AB，與邊 AC 或 BC 相交于 E點(diǎn) M 在線段 AP 上，點(diǎn) N 在線段 BP 上，EMEN， sinEMP 12 13 （1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) E 與點(diǎn) C 重合時(shí)，求 CM 的長(zhǎng)；

13、（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E 在邊 AC 上時(shí)，點(diǎn) E 不與點(diǎn) A、C 重合，設(shè) APx，BNy，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域； （3） 若AMEENB （AME 的頂點(diǎn) A、 M、 E 分別與ENB 的頂點(diǎn) E、 N、 B 對(duì)應(yīng)） ， 求 AP 的長(zhǎng) 圖 1圖 2備用圖 動(dòng)感體驗(yàn)動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11 上海 25” ，拖動(dòng)點(diǎn) P 在 AB 上運(yùn)動(dòng)，從圖象中可以看到，y 是 x 的一次函數(shù)觀察圖形和角度的度量值，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)E 在 AC 和 BC 上，各存在一 個(gè)時(shí)刻，AMEENB 請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“11 上海 25” ，拖動(dòng)點(diǎn) P 在 AB 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)

14、 E 與點(diǎn) C 重合時(shí)， CM 26點(diǎn)E 在邊 AC 上時(shí)，y 是 x 的一次函數(shù)當(dāng)AP=42時(shí)，三角形相似，且滿足頂點(diǎn) 對(duì)應(yīng)。 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 1本題不難找到解題思路，難在運(yùn)算相當(dāng)繁瑣反復(fù)解直角三角形，注意對(duì)應(yīng)關(guān)系 2備用圖暗示了第（3）題要分類討論，點(diǎn)E 在 BC 上的圖形畫在備用圖中 3第（3）題當(dāng) E 在 BC 上時(shí)，重新設(shè) BPm 可以使得運(yùn)算簡(jiǎn)便一些 滿分解答滿分解答 （1）在 RtABC 中，BC30，AB50，所以 AC40，sinA 33 ，tanA 54 3 在 RtACP 中，CP ACsinA 40 24 5 在 RtCMP 中，因?yàn)閟inCMP CP121313 ，

15、所以CM CP 24 26 CM131212 3 x 4 （2）在 RtAEP 中，EP APtanA 在 RtEMP 中，因?yàn)閟inEMP 因此MP EP12EP12 ，所以tanEMP EM13MP5 55351313313 EP x x，EM EP x x 12124161212416 5 x 16 521 于是y BN AB AP NP 50 xx 50x 1616 已知 EMEN，PEAB，所以 MPNP 定義域?yàn)?0x32 513 xx AMEN 1616 （3）如圖 3，當(dāng) E 在 AC 上時(shí)，由，得 MENB1321 x50x 1616 x 解得 xAP22 如圖 4，當(dāng) E 在 BC 上時(shí)，設(shè) BPm，那么 AP50m 在 RtBEP 中，EP 4 m 3 5545131313 EP m m，EM EP 4m m 12123912