數(shù)學思想講座2-數(shù)學與思維發(fā)展的關系

1、數(shù)學與思維發(fā)展的關系,人類的思維是后天形成的，思維受到各種因素的影響，并表現(xiàn)出多面性。但符合邏輯的、精密的、深刻的、聰慧的思維是每個人希望達到的最高境界之一。 數(shù)學與數(shù)學教育如此受重視，不完全是因為其廣泛的用途，也不能完全從應用的角度來看待數(shù)學。在上一講中我們說明了數(shù)學能提供觀察世界的一般觀念和方法外，實際上數(shù)學對人的其他發(fā)展，尤其是對人的思維發(fā)展有不可或缺的作用和價值，數(shù)學是為人的更完美發(fā)展提供了良好訓練。,數(shù)學與思維發(fā)展的關系,人們常把數(shù)學形容為思維的體操。培根說過，哲理使人深刻，詩歌使人聰慧，演算使人精密。其實數(shù)學不單單使人精密，數(shù)學同樣也使人深刻，使人聰慧！ 哲學、詩歌不要求每人都會

2、數(shù)學每人必須會,1、歸納與完全歸納,思維的一種形式是歸納。那么歸納性質的表征是什么呢？所謂歸納，是指通過對有限多個同類對象的觀察分析，猜測一種共性或規(guī)律，并證明這種共性的確是正確的一種思維方法。 當“同類對象”為有限多個時，我們將對象一一驗證就可獲得結論（對或錯）；但當“同類對象”無法窮舉或實際上就是無限多時，我們原有的思維方法就無法具有說服力了。因此必須尋找一種處理無限的思維方法.即在數(shù)學上所要求的完全歸納,確保其正確性.,1、歸納與完全歸納,我們熟悉的完全歸納法數(shù)學歸納法。 我們來看一些（非完全歸納）例子。,1、歸納與完全歸納,1、歸納與完全歸納,1、歸納與完全歸納,這說明，考察一組對象的

3、性質或規(guī)律時，可能出錯。究其原因在于對于“無窮多”的思維方式不能按照“有限多”方式來處理，否則容易出現(xiàn)問題。這種方法通常成為不完全歸納。,1、歸納與完全歸納,數(shù)學對歸納的完全性是要求十分嚴格，其意義不僅對所有的自然科學是重要的，而且對人文社會科學也是重要的。借鑒數(shù)學思維的嚴格性，可以大大提高社會科學學科的科學性。以例帶證的方法屬于不完全歸納，顯然不能令人信服。目前許多社會科學學科還是按照這種方式來解釋其命題，科學性顯然要遭到質疑。 社會科學； 實驗學科；,2、邏輯思維的代表：演繹,當歸納具有完全性時，其方法可以說屬于邏輯的范疇了。邏輯思維的代表之一是演繹思維。 演義思維最早來自幾何學，其影響之

4、廣泛使得人們特別看重演繹科學的地位。實際上，一門學科是否為成熟的是以它是否已形成一套演繹體系（公理體系）為標志的。 數(shù)學的這一特點是與它極強的邏輯性和抽象性緊密聯(lián)系在一起的。,2、邏輯思維的代表：演繹,抽象：強抽象 弱抽象。,任意四邊形,凸四邊形,梯形,平行四邊形,矩形,菱形,正方形,強抽象,弱抽象,2、邏輯思維的代表：演繹,例子：函數(shù)概念的演變過程。 17世紀：冪函數(shù)（多項式）的代名詞。 18世紀：表達式（初等函數(shù)）。歐拉給出了y=f(x)的表示。 初等函數(shù)非初等函數(shù)（級數(shù)、積分表示）解析表達式（一個式子）分段函數(shù)（偽函數(shù)，柯西引入了“對應”術語，但還是解析式子）Dirichlet函數(shù)： D

5、irichlet函數(shù)不但從表達式上突破了解析式的限制，而且還對“凡函數(shù)至少在一點連續(xù)”提出了挑戰(zhàn)。,2、邏輯思維的代表：演繹,雖然這個表達式是認為構造的，帶有主觀性質，但它卻推動了人們對函數(shù)本質的客觀認識。這也反映了認識論中的基本內涵。主觀判斷主觀事物一定要小心，不要把主觀臆相混同于主觀構想?？茖W需要主觀構想的。,2、邏輯思維的代表：演繹,Dirichlet函數(shù)對應規(guī)則（何為對應？）有序對（x,y） （新概念）集合函數(shù)（泛函）廣義函數(shù)（函數(shù)）. 上述過程實際上就是演繹思維弱抽象的例子.,2、邏輯思維的代表：演繹,再以函數(shù)為例給出強抽象的例子. 連續(xù)性問題解決后,出現(xiàn)了可微性問題.f(x)=|x|是連續(xù)但在0點不可微的例子. 問題:連續(xù)函數(shù)至少有一個可微點? Weiestrauss構造了一個處處連續(xù)但處處不可微的例子, 這個例子讓數(shù)學家驚嘆:直觀似乎告訴我們不可能有這種函數(shù),直觀欺騙了我們.,2、邏輯思維的代表：演繹,函數(shù)連續(xù)函數(shù)不可微函數(shù)處處連續(xù)處處不可微函數(shù)。 強抽象過程。但抽象性依然很強。 數(shù)學的抽象方法很多，需要學習和實踐逐步加深了解，在你領會