高三數(shù)學(xué)抽象函數(shù)問題的解題策略（通用）

1、抽象函數(shù)問題的解題策略 一、利用特殊模型 有些抽象函數(shù)問題,用常規(guī)解法很難解決,但與具體函數(shù)“對(duì)號(hào)入座”后,問題容易迎刃而解.這種方法多用于解填空題、選擇題、解答題的解題后的檢驗(yàn),但解答題的解答書寫過程一般不能用此法. 例1 若函數(shù)f(x)與g(x)在R上有定義,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)0,則g(1)+g(-1)= . 解 因?yàn)?f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 這是兩角差的正弦公式模型, 又f(-2)=f(1)0, 則可取 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例2 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的減函數(shù),

2、且滿足f(x+y)=f(x)f(y),f(-3)=8,則不等式f(x)f(x-2) 的解集為 . 解 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y),這是指數(shù)函數(shù)模型, 又 f(-3)=8, 則可取 f(x)f(x-2)8, 解不等式,得 x5, 不等式的解集為 x|x5. 二、利用函數(shù)性質(zhì) 函數(shù)的特征是通過函數(shù)的性質(zhì)反映出來的,抽象函數(shù)也不例外,只有充分利用題設(shè)條件所表明的函數(shù)的性質(zhì),靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,抽象函數(shù)問題才能峰回路轉(zhuǎn)、化難為易. 1. 利用單調(diào)性 例3 設(shè)f(x)是定義在（0,+）上的增函數(shù),滿足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)2.

3、 解 函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1, 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9), 由f(x)+f(x-8)2,得 fx(x-8)f(9),x0,x-80,x(x-8)9,8x9, 函數(shù)f(x)是定義在（0,+）上的增函數(shù), 則 不等式解集為 x|8x9. 2. 利用奇偶性 例4 已知函數(shù)f(x)=ax5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值. 分析 f(x)的解析式含有兩個(gè)參數(shù)a、b,卻只有一個(gè)條件f(-3)=7,無法確定a、b的值,因此f(x)仍是抽象函數(shù),但我們注意到g(x)=ax5+bsinx是奇函數(shù),有g(shù)(-3)=-g(3). 解 設(shè)g(x

4、)=ax5+bsinx,顯然g(x)是奇函數(shù), f(-3)=7, f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7 g(3)=-4, f(3)=g(3)+3=-4+3=-1. 3. 利用周期性 例5 設(shè)函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù),f(x+2)=-f(x) ,當(dāng)00的x的取值區(qū)間是 . 解 依已知條件作出f(x)的大致圖象,如圖1所示,從圖象中可看出,當(dāng)f(x)0時(shí),x的取值區(qū)間是（-1,0）（1,+）.xy1-10圖1 例8 定義在（-,+）上的函數(shù)y=f(x)在（-,2）上是增函數(shù),且函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),則f(-1),f(4),f(6)的大小關(guān)系為 . 解 設(shè)F(x)=f(x+2),

5、 F(x)為偶函數(shù), F(-x)=F(x), 即f(2+x)=f(2-x), 函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱, f(-1)=f(5), f(x)在（-,2）上是增函數(shù), f(x)在（2,+）上是減函數(shù), f(6)f(5)f(4), 即f(6)f(-1)f(4). 三、利用特殊方法 有些抽象函數(shù)問題,用常規(guī)方法來解決往往難于奏效,但用一些非常規(guī)方法來求解,常收到意想不到的效果. 1. 利用賦值法 例9 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x、yR,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)0. （1）求證:f(0)=1; （2）求證:f(x)是偶函數(shù); （3） 求證:對(duì)任意

6、xR,有f(x+c)=-f(x)成 立; 求證:f(x)是周期函數(shù). 解 （1）令x=y=0,則有2f(0)=2f2(0), f(0)0, f(0)=1. （2）令x=0,則有f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y), f(0)=1, f(-y)=f(y), f(x)是偶函數(shù).（3） 分別用 (c0)替換x、y, 有f(x+c)+f(x)=2f()f(). f()=0, f(x+c)= -f(x) . 由知 f(x+c)=-f(x), 用x+c替換x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x), f(x)是以2c為周期的周期函數(shù). 2. 利用遞推法 例10 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任

7、意實(shí)數(shù)x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求證：f(x)是周期函數(shù). 解 f(x)=f(x+1)-f(x+2), f(x+1)=f(x+2)-f(x+3), 將以上兩式相加,得 f(x+3)=-f(x), f(x+6)=-f(x +3)=f(x), f(x)是周期函數(shù),6是它的一個(gè)周期. 例11 f(x)是定義在正整數(shù)集的函數(shù),且滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy (x,yN+),f(1)=1,求函數(shù)f(x)的解析式. 解 令y=1, f(1)=1, f(x+1)=f(x)+f(1)+x, 即f(x+1)-f(x)=x+1, 則 f（2)-f(1)=2, f（3)-f(2)=3, f(x)-f(x-1)=x. 將以上各式相加,得 f(x)-f(1)=2+3+4+ +x, f(x)=1+2+3+4+x=x(x+1) (xN+). 3. 利用反證法 例12 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+）上是增函數(shù),a,bR,若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).求證:a+b0. 證明 假設(shè)a+b0,則a-b,b-a, 函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+）上是增函數(shù), f(a) f(-b),f(b) f(-a), f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),這與已知矛盾, a+b0. 證明 假設(shè)在定義域內(nèi)存在x0,使f(x0) 0, f(x0) 0,這與假