高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：不等式的解法知識精講（通用）

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：不等式的解法【本講主要內(nèi)容】 不等式的解法【知識掌握】【知識點(diǎn)精析】 “”是不等“”與方程“”的聯(lián)合體，故相應(yīng)解集是不等式解集與方程解集的并集。 1. 常見不等式的解法步驟： （1）對axb形式的不等式，當(dāng)a0時(shí)解集為，當(dāng)a0時(shí)解集為，當(dāng)a0且b0時(shí)解集為R，當(dāng)a0且b0時(shí)，解集為； 因未限制a的符號，故ax-b不必另行列出。 （2）一元二次不等式我們總可化為x2+bx+c0和x2+bx+c0x2+bx+c00 （3）特殊的高次不等式f （x）0或f（x）0或g（x）； 形如：； （6）指數(shù)、對數(shù)不等式，化為同底的方法是指數(shù)、對數(shù)不等式的基本解法，要注意定義域?yàn)榍疤?，且必?/p>

2、在原始不等式中求定義域，在無法確定指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，必須推論底與1的大小關(guān)系，然后分類解答。不同底的對數(shù)不等式需用換底公式化為同底不等式來解，底中含有未知數(shù)的對數(shù)不等式常常用換底公式化為常數(shù)為底的對數(shù)不等式。 （7）關(guān)于絕對值不等式，應(yīng)首先理解絕對值（此處是指實(shí)數(shù)的絕對值）的意義：當(dāng)a0時(shí)|a|a；當(dāng)a0時(shí)|a|0；當(dāng)a0時(shí)|a|-a。 對|x|0時(shí)，-axa，當(dāng)a0時(shí)，xa或x-a；當(dāng)a0時(shí)，x0；當(dāng)a0，原式同解于。 解： 時(shí)，左右。 原不等式解集為 評講：采用序根法時(shí)，要注意兩點(diǎn)：（1）由于有等號，故分子相應(yīng)的根標(biāo)實(shí)點(diǎn)，分母相應(yīng)的根用空圈，（2）對于，當(dāng)x比最大根2大時(shí)，左為負(fù)值

3、，草圖應(yīng)從右下開始，最好改寫為，則穿根時(shí)要從右上開始。 例2. 解關(guān)于x的不等式 分析：首先應(yīng)考慮有意義：a2-2x20，知分界點(diǎn)為0，當(dāng)a0時(shí)，原不等式即，解集為。當(dāng)a0時(shí)，時(shí)左邊有意義，而右邊是否需要平方要看x-a是否成立，討論應(yīng)圍繞-a與間的大小關(guān)系進(jìn)行。 解：（1）當(dāng)a0時(shí)，原不等式即。（2）當(dāng)a0時(shí)，此時(shí)x+a0，原不等式同解于，即3x2+2ax0，。 3. a0時(shí)，此時(shí)x+a恒負(fù)，原不等式成立。 評講：解無理不等式的要點(diǎn)是去掉根號，化為有理不等式，方法通常是兩邊平方，但要注意這種變形的依據(jù)是不等式平方的性質(zhì)：ab0a2b2， 其中a，b的非負(fù)條件不可缺少，若abb0（a）2（b）2

4、，即a2b2。 例3. 已知a0且a1，解關(guān)于x的不等式：。 分析：先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)把兩邊的底數(shù)化去，再解一個(gè)關(guān)于對數(shù)式logax為變元的二次不等式。 解：原不等式 x11時(shí)，122log axlog a2x，； 0x22log axlog a2x，； （1）當(dāng)a1時(shí)，原不等式等價(jià)于或，1xa或0x； （2）當(dāng)0a1時(shí)，原不等式或,1x或0x1時(shí)，仍然使用同底法化為logax1logaa，然后根據(jù)a的取值范圍討論?！究键c(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】 高考考綱要求:掌握簡單不等式的解法。 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其知識滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多章節(jié)，再加上它的實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用性，決定了它是高考常考的

5、熱點(diǎn)。高考試題中對于解不等式要求較高，往往與函數(shù)概念，特別是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等有關(guān)概念和性質(zhì)密切聯(lián)系，應(yīng)重視；從歷年高考題目看，關(guān)于解不等式的內(nèi)容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的則是間接考查解不等式 列表如下：年份題號分值占總分比例題型考查知識200019128%解答題解不等式與函數(shù)的綜合200117128%選擇題解不等式2002453.5%選擇題解不等式2020353.5%選擇題解不等式2020全國153.5%選擇題集合與解不等式2020全國I9511.5%選擇題指數(shù)與對數(shù)不等式1912解答題二次函數(shù)與二次不等式2020全國I153.5%選擇題集合與解不等式2020福建21

6、128%解答題函數(shù)與二次不等式 縱觀近幾年高考試題中對不等式解法的考查，其分值約占總分的10%14%，從題型上看有以下幾個(gè)特點(diǎn)： 在選擇題中結(jié)合集合及其它知識點(diǎn)考查對簡單不等式的求解，有時(shí)還可能與函數(shù)、方程等內(nèi)容的小綜合。 在填空題中考查簡單不等式的解法，建立不等式求參數(shù)的取值范圍，等。 在解答題中，解不等式仍是高考的熱點(diǎn)?！镜湫屠}分析】 例4. （2020年上海）記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，g（x）lg（xa1）（2ax）（a1）的定義域?yàn)锽。 （1）求A； （2）若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：（1）20，得0，x0，得（xa1）（x2a）0。 a2a，B（2a,a+1）。 BA，2a1

7、或a+11，即a或a2，而a1 a0的解集為（ ） A. x|x3C. x|x3D. x|1x0且a1，解關(guān)于x不等式: |2|log ax2|2，Bxx6x+80的解集是_。 12. （2020年濰坊二模）不等式x2|x1|10的解集為_。三. 解答題 13. （1998全國文，20）設(shè)ab，解關(guān)于x的不等式a2xb2（1x）axb（1x）2。 14. （2020年南京二質(zhì)檢）解關(guān)于x的不等式x（aR）。 15. 已知適合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值為3。 （1）求p的值； （2）若f（x），解關(guān)于x的不等式f-1（x）（kR+）達(dá)標(biāo)測試答案一. 選擇題： 1. 解析：解得

8、A（-,1）（1,+ ），B-3,2，所以AB 選A 2. 解析：由得：，即，故選D。 3. 解析：由|ax+2|6得6ax+26，即8ax4。不等式|ax+2|6的解集為（1，2），易檢驗(yàn)a4。答案：C 4. 解法一：當(dāng)x2時(shí)，原不等式化為， 去分母得（x+2）（3x）（x+3）（x2）， 即x2x6x2x6，2x2120，. 注意x2，得2x； 當(dāng)0x2時(shí)，原不等式化為，去分母得x2x6x2x6 即2x0 注意0x2，得0x2. 綜上得0x，所以選C。 答案：C 解法二：特殊值法。取x2，適合不等式，排除A；取x2.5，不適合不等式，排除D；再取x，不適合不等式，所以排除B；選C。 5.

9、解法一：x+2x2+00x（x1）（x+1）01x0或x1。解法二：驗(yàn)證，x2、不滿足不等式，排除B、C、D答案：A 6. 解法一：x0時(shí)，原不等式化為：（1x）（1x）0 （x1）（x1）0 0x1 x0時(shí)，原不等式化為：（1x）（1x）0（1x）20 x1 x0且x1 綜上，不等式的解集為x1且x1. 解法二：原不等式化為： 或 解得1x1 解得即x1 原不等式的解集為x1且x1 選D 7. 解析：由已知（x1）（x3）0，x3. 故原不等式的解集為x|x3 答案：C 8. 解析：原不等式等價(jià)于： 0x1. 答案：C二. 填空題： 9. 解析：ax2+（ab+1）x+b0的解集為x|1x2

10、， 解得或 a+b或3 答案：或3 10. 解析：由題意，知0、2是方程x2+（2m）x0的兩個(gè)根， 0+2 m1 11. 解析：將不等式變形得. 答案：x|2x4 12. 解析：0x+68，即6x+2，解之得三. 解答題： 13. 解： 所以，原不等式組的解集為x|x5. 14. 解：原不等式變形為ax2+（a2）x20. a0時(shí)，x1； a0時(shí)，不等式即為（ax2）（x+1）0， 當(dāng)a0時(shí)，x或x1； 由于（1），于是 當(dāng)2a0時(shí)，x1； 當(dāng)a2時(shí)，x1； 當(dāng)a2時(shí)，1x. 綜上，當(dāng)a0時(shí)，x1； 當(dāng)a0時(shí)，x或x1； 當(dāng)2a0時(shí)，x1； 當(dāng)a2時(shí)，x1； 當(dāng)a2時(shí)，1x。 15. 解：原

11、不等式等價(jià)于|2log ax2|log ax2|1時(shí)，原不等式等價(jià)于（1） 或（2）或（3） 解（1）得xa，解（2）得axa2，不等式組（3）無解， 原不等式解集是x| aa2； 當(dāng)0a1時(shí)，原不等式等價(jià)于（1） 或（2）或（3） 解（1）得ax，解（2）得a2xa，不等式組（3）無解 原不等式解集是x| a2a1時(shí),原不等式的解集是x|aa2，當(dāng)0a1時(shí),原不等式解集是x|a2a【綜合測試答案】一. 選擇題： 1. 解析：A（-，-1）（3，+），A-1,3，又B（2,4），所以（A）B（2,3）選B 2. 解析：P（-，0）1，+，Q（1，+），解得（1，+） 選C 3. 解析：在數(shù)軸上

12、標(biāo)出各根。 答案：A 4. 解析：條件集是結(jié)論集的子集，所以選B。 5. 解析：由|2x21|1得12x2110x21，即1x1 答案：A 6. 解析：不等式的解集是，即方程的解為故 選D 7. 解析：可化為 1x+13或-3x+1-1，解得0x2或-4x0，xloga3 . 選 C二. 填空題： 9. 答案：x|3x2 10. 解法一：|x+2|x|（x+2）2x24x+40x1。 解法二：在同一直角坐標(biāo)系下作出f（x）|x+2|與g（x）|x|的圖象，根據(jù)圖象可得x1。 解法三：根據(jù)絕對值的幾何意義，不等式|x+2|x|表示數(shù)軸上x到2的距離不小于到0的距離，x1。 答案：x|x1 11.

13、 解析：觀察表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線開口向上且對應(yīng)二次方程的兩根為-2,3，故所求解集 12. 解析：當(dāng)x10時(shí)，原不等式化為x2x0，解得0x1。x1； 當(dāng)x10時(shí)，原不等式化為x2+x20，解得2x1。2x1. 綜上，2x1。答案：x|2x1三. 解答題 13. 解：將原不等式化為（a2b2）xb2（ab）2x22（ab）bxb2 移項(xiàng)，整理得（ab）2（x2x）0， ab，即（ab）20，x2x0，0x1 不等式的解集為x|0x1 14. 解法一：由x，得x0，即0 此不等式與x（ax1）0同解 若a0，則x0； 若a0，則x0； 若a0，則x0或x 綜上，a0時(shí)，原不等式的解集是（，0） a0時(shí)，原不等式的解集是（，0） a0時(shí)，原不等式的解集是（，0）（，+） 解法二：由x，得x0，即0 此不等式與x（ax1）0同解 顯然，x0 （1）當(dāng)x0時(shí)，得ax10 若a0，則x，與x0矛盾 此時(shí)不等式無解； 若a0，則10，此時(shí)不等式無解； 若a0，則x （2）當(dāng)x0時(shí)，得ax10 若a0，則x，得x0 若a0，則10，得x0； 若a0，則x，得x0； 綜上，a0時(shí)，原不等式的解集是（，0）； a0時(shí)，原不等式的解集是（，0）； a0時(shí)，原不等式的解集是（，0）（，+） 15. 解：（1）適合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值為3， x30，|x3|3x。