高考數(shù)學(xué) 數(shù)列求通項(xiàng)與求和詳解（通用）

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法詳解一、 觀察法（關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系.）例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）答案：（1） （2） （3） （4）.二、 公式法 公式法1：特殊數(shù)列例2： 已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求數(shù)列 a n 和 b n 的通項(xiàng)公式；答案：an=a1+(n1)d = 2(n1)； bn=bqn1=4(2)n1例3. 等差數(shù)列是

2、遞減數(shù)列，且=48，=12，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ） (A) (B) (C) (D) (D)例4. 已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.簡(jiǎn)析：由題意，又是等比數(shù)列，公比為，故數(shù)列是等比數(shù)列，易得.點(diǎn)評(píng)：當(dāng)數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求首項(xiàng)及公差公比.公式法2： 知利用公式 .例5：已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式，求的通項(xiàng)公式.（1）. （2）答案：（1）=3，（2）點(diǎn)評(píng)：先分n=1和兩種情況，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一.三、累加法 【型如的地退關(guān)系遞推關(guān)系】簡(jiǎn)析：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).

3、若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和; 若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和; 若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和各式相加得 例5：已知數(shù)列6，9，14，21，30，求此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng). .答案：例6. 若在數(shù)列中，求通項(xiàng) .答案：=例7.已知數(shù)列滿(mǎn)足，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：四、累積法 【 形如=(n)型】（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列，=.（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時(shí),用累乘法.例8：在數(shù)列中， =1, (n+1)=n，求的表達(dá)式. 例9： 已知

4、數(shù)列中，前項(xiàng)和與的關(guān)系是 ，試求通項(xiàng)公式. .答案： 思考題1：已知,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.分析：原式化為 若令,則問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為形式，累積得解.五、構(gòu)造特殊數(shù)列法構(gòu)造1：【形如,其中)型】 （1）若c=1時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列; （2）若d=0時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時(shí)，數(shù)列為線(xiàn)性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求.方法如下：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得， 所以：,即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列.例10：已知數(shù)的遞推關(guān)系為，且求通項(xiàng). 答案：構(gòu)造2：相鄰項(xiàng)的差為特殊數(shù)列例11：在數(shù)列中，求.提示：變?yōu)?構(gòu)造3：倒數(shù)為特殊數(shù)列【形如】例12： 已知數(shù)列中且（），求數(shù)列的通項(xiàng)公

5、式. 答案 六、待定系數(shù)法：例13：設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通項(xiàng)公式cn解析：設(shè) 建立方程組，解得.點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法解題時(shí)，常先假定通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式為某一多項(xiàng)式，一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列：則，（b、為常數(shù)），若數(shù)列為等比數(shù)列，則，.七、迭代法【一般是遞推關(guān)系含有的項(xiàng)數(shù)較多】例14：（1）數(shù)列滿(mǎn)足,且,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解析：由題得 時(shí)， 由、得.（2）數(shù)列滿(mǎn)足,且,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（3）已知數(shù)列中，求通項(xiàng).八、【討論法-了解】（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為其通項(xiàng)分為奇

6、數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)討論. （2）形如型若(p為常數(shù))，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)討論;若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過(guò)逐差法得，兩式相除后，分奇偶項(xiàng)來(lái)分求通項(xiàng).例15： 數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 專(zhuān)題二：數(shù)列求和方法詳解（六種方法）一、公式法 1、等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式： 例1 已知，求的前n項(xiàng)和. 答案例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 答案n8時(shí)，二、錯(cuò)位相減法方法簡(jiǎn)介：此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等

7、比數(shù)列.例3 求和：()解析：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積：設(shè)得 （錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：. .試一試1：求數(shù)列前n項(xiàng)的和. 答案： 三、倒序相加法方法簡(jiǎn)介：這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)，然后再除以2得解.例4 求的值 . 答案S44.5四、分組法求和方法簡(jiǎn)介：有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：找通向項(xiàng)公式由通項(xiàng)公式確定如何分組；例5 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：， 答案 .試一試1 求之和 .簡(jiǎn)析：由于與、分別求和.五、裂項(xiàng)法求和方法簡(jiǎn)介：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)及分母有理化）如：（1） ； （2）=；（3）；4） （5） .例6 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.例7 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.試一試1：已知數(shù)列an：，求前n項(xiàng)和. 試一試2：.六、合并法求和 方法簡(jiǎn)介：針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此