第12章 簡單回歸分析

1、第十二章 簡單回歸分析,概述 簡單線性回歸 線性回歸的應(yīng)用 殘差分析 非線性回歸,概述,回歸分析 因變量Y 隨自變量X的變化而變化。 相關(guān)分析 因變量Y 與自變量X間的彼此關(guān)系。 在醫(yī)學(xué)研究中，常要分析變量間的數(shù)量規(guī)律。回歸則是研究這種關(guān)系的統(tǒng)計方法。線性回歸則是較簡單的一種。,簡單線性回歸,函數(shù)關(guān)系：確定的。如， y=2r 回歸關(guān)系：不確定的。 Y隨著X的變化而變化，但 不具有一一對應(yīng)性。例如成年人的胸圍 隨著體重的增大而增大，但不能講體 重60公斤的人，胸圍一定是多少。,概述,回歸描述的是通過自變量的數(shù)值反應(yīng)因變量的平均水平。因此可以通過可測或易測的變量估計難測或不可測變量的狀態(tài)。 例如：

2、通過體重估計體表面積； 通過身高、體重、肺活量估計心室血輸出 量、體循環(huán)總血量； 本章只涉及一個自變量的回歸問題！,簡單線性回歸,回歸系數(shù)b的意義 直線回歸的概念主要是通過直線回歸系數(shù)b的概念體現(xiàn)的。當(dāng)X增加一個單位時，Y相應(yīng)地平均改變b個單位。 例如，由年齡X推算小兒體重Y的回歸方程為 它表示年齡增加l歲，體重平均增加2公斤。顯然，回歸系數(shù)b可以很好地反映X與Y之間的數(shù)量規(guī)律(以上方程適用于212歲兒童)。,簡單線性回歸,一般表達式： (linear regression equation) 直線回歸方程中只有兩個待定的常量a和b，所以求回歸方程的目的就是求出a和b。 a：稱為截距(inte

3、rcept)，當(dāng)X可以取零時a才有意義。 b：稱為回歸系數(shù)(regression coefficient)，它就是回歸直線的斜率。 b0，Y隨X的增加而增大； b0，Y隨X的增加而減?。?b=0，直線與X軸平行，X與Y無直線關(guān)系。 |b|越大，表示Y隨X變化越快，直線越陡峭。,簡單線性回歸,簡單線性回歸,回歸方程參數(shù)的計算： 根據(jù)樣本觀察值（x,y），計算a，b的過程 最小二乘原則 使各實際散點（Y）到直線（ ）的縱向距離的平方和最小 也即 最小,簡單線性回歸,為殘差：點到直線的縱向距離。,最小二乘 (Least squares)法圖解,尋找使S(殘差i)2 最小的直線,簡單線性回歸,由最小二

4、乘法得到a,b的計算公式為：,例：隨機抽取15名健康成人，測定血液的凝血酶濃度（單位/毫升）及凝固時間，數(shù)據(jù)如下：,簡單線性回歸,例：凝血酶濃度與凝血時間,計算得到： a21.77393 b6.98,直線回歸方程的圖示,在X的實測范圍內(nèi)，任取兩值帶入方程，求得Y的估計值，從而畫出回歸直線。,回歸直線的有關(guān)性質(zhì),(1)直線通過均點 (2)直線上方各點到直線的縱向距離之和 = 直線下方各點到直線的縱向距離之和 即: (3)各點到該回歸線縱向距離平方和較到其它任何直線者為小。,回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗,方程的統(tǒng)計學(xué)意義： 方程有無統(tǒng)計學(xué)意義通俗地講是方程的真?zhèn)巍⒎匠棠懿荒苡玫膯栴}。 直線回歸方程只有一個自

5、變量，所以回歸系數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義與方程的統(tǒng)計學(xué)意義是等價的。 回歸系數(shù)是否有統(tǒng)計學(xué)意義，可以用方差分析和t檢驗。,回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗,方差分析 引起Y變異的因素有： 1.自變量X的線性影響 2.其他因素及測量誤差,1、建立假設(shè) H0： =0 H1：0 =0.05 2、計算統(tǒng)計量 F值,X,回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗,回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗,回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗,回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗,總體回歸系數(shù) 的假設(shè)檢驗,t 檢驗 1、建立假設(shè) H0： =0 H1：0 =0.05 2、計算統(tǒng)計量,總體回歸系數(shù)的統(tǒng)計推斷,樣本回歸系數(shù)b的標(biāo)準(zhǔn)誤,總體回歸系數(shù)的統(tǒng)計推斷,總體回歸系數(shù)的置信區(qū)間,標(biāo)準(zhǔn)差相等 EQUAL STAND

6、ARD DEVIATION 對于任何X值，隨機變量Y的方差相等,獨立 INDEPENDENCE 任意兩個觀察值之間彼此獨立,y|X = + x,線性 LINEARITY 反應(yīng)變量y的均數(shù)與X間呈線性關(guān)系,回歸模型的四個假定,正態(tài) NORMALITY 指線性模型的誤差項服從正態(tài)分布,線性回歸的應(yīng)用,總體回歸線的95置信帶,線性回歸的應(yīng)用,線性回歸的應(yīng)用,線性回歸的應(yīng)用,個體Y預(yù)測值的區(qū)間估計,線性回歸的應(yīng)用,線性回歸的應(yīng)用,非線性回歸,非線性回歸,變換自變量實現(xiàn)線性回歸的步驟 1、首先將觀測數(shù)據(jù)作散點圖，觀察散點的分布與何種函數(shù)類型類似 2、對照所選函數(shù)進行相應(yīng)的變量變換 3、使用最小二乘法作線

7、性模型的參數(shù)估計,直線回歸與相關(guān)的區(qū)別與聯(lián)系,區(qū)別 r 沒有單位，b有單位；所以，相關(guān)系數(shù)與單位無關(guān)，回歸系數(shù)與單位有關(guān)； 相關(guān)表示兩變量關(guān)系的方向和密切程度。而回歸則用函數(shù)方程表示應(yīng)變量隨自變量變化的數(shù)量關(guān)系； 對資料的要求不同： 當(dāng)X和Y都是隨機的，可以進行相關(guān)和回歸分析； 當(dāng)Y是隨機的(X是控制的)，理論上只能作回歸而不能作相關(guān)分析,直線回歸與相關(guān)的區(qū)別與聯(lián)系,聯(lián)系 均表示線性關(guān)系； 符號相同：共變方向一致； 假設(shè)檢驗結(jié)果相同：是否存在共變關(guān)系； 決定系數(shù) 表示由X導(dǎo)致Y的變異在總變異中所占的比重，越接近1越好。開方便是相關(guān)系數(shù),回歸分析的正確應(yīng)用,要有實際意義； 充分利用散點圖，判斷： (1) 線性趨勢 (2) 離群值 回歸系數(shù)是有單位的，不能根據(jù) b 的大小判斷回歸關(guān)系的密切程度 自變量的選擇： 原因 容易測量的 變異小的