工程力學(xué)課件第九章

1、1,彎曲變形與剛度計算,第 九 章,目錄,2,第九章 彎曲變形,概 述,9-1 梁的撓度與轉(zhuǎn)角,9-2 撓曲線的微分方程,9-4 用疊加法求梁的變形,9-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施,9-6 簡單超靜定梁解法,目錄,目錄,9-3 用積分法求梁的變形,3,概 述,概述,目錄,4,概 述,目錄,5,概 述,6,概 述,目錄,7,概 述,目錄,8,概 述,目錄,9,概 述,目錄,10,概 述,目錄,11,9-1 梁的撓度與轉(zhuǎn)角,1.基本概念,撓曲線方程：,由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計,撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：,撓度y：截面形心在y方向的位移,向上為正,轉(zhuǎn)角：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。,逆時

2、針為正,9-1,目錄,12,2.撓曲線的近似微分方程,推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時，得到：,忽略剪力對變形的影響,9-2 撓曲線的微分方程,目錄,9-2,13,由數(shù)學(xué)知識可知：,略去高階小量，得,所以,目錄,9-2 撓曲線的微分方程,14,由彎矩的正負(fù)號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：,由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。,目錄,9-2 撓曲線的微分方程,15,撓曲線的近似微分方程為：,積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：,再積分一次得撓度方程為：,目錄,9-2 撓曲線的微分方程,16,積分常數(shù)C、D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。,位移邊界條件,光滑連續(xù)

3、條件,彈簧變形,9-3 用積分法求梁的變形,目錄,9-3,17,例1 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整體平衡分析可得：,2）寫出x截面的彎矩方程,3）列撓曲線近似微分方程并積分,積分一次,再積分一次,目錄,9-3 用積分法求梁的變形,18,4）由位移邊界條件確定積分常數(shù),代入求解,5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度,目錄,9-3 用積分法求梁的變形,19,例2 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整體平衡分析得：,2）彎矩方程,AC 段：,CB 段：,目錄,9-3

4、用積分法求梁的變形,20,3）列撓曲線近似微分方程并積分,AC 段：,CB 段：,目錄,9-3 用積分法求梁的變形,21,4）由邊界條件確定積分常數(shù),代入求解，得,位移邊界條件,光滑連續(xù)條件,目錄,9-3 用積分法求梁的變形,22,5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,AC 段：,CB 段：,目錄,9-3 用積分法求梁的變形,23,6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度,令 得，,令 得，,目錄,9-3 用積分法求梁的變形,24,討 論,積分法求變形有什么優(yōu)缺點？,目錄,9-3 用積分法求梁的變形,25,9-4 用疊加法求梁的變形,設(shè)梁上有n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為y，則有：,

5、若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為 ，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為 ，則有：,由彎矩的疊加原理知：,所以，,9-4,目錄,26,故,由于梁的邊界條件不變，因此,重要結(jié)論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。,目錄,9-4 用疊加法求梁的變形,27,例3 已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C 截面的撓度yC ；B截面的轉(zhuǎn)角B,1）將梁上的載荷分解,2）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。,解,目錄,9-4 用疊加法求梁的變形,28,3） 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果求和,目錄,9-4 用疊加法求

6、梁的變形,29,例4 已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉(zhuǎn)角C,1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形,為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB 段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。,解,目錄,9-4 用疊加法求梁的變形,30,3）將結(jié)果疊加,2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。,目錄,9-4 用疊加法求梁的變形,31,討 論,疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？,目錄,9-4 用疊加法求梁的變形,32,9-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施,1.剛度條件,建筑鋼梁的

7、許可撓度：,機(jī)械傳動軸的許可轉(zhuǎn)角：,精密機(jī)床的許可轉(zhuǎn)角：,9-5,目錄,33,根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B 處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。,B,1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B 處的轉(zhuǎn)角為：,解,目錄,例5 已知鋼制圓軸左端受力為F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。軸承B處的許可轉(zhuǎn)角 =0.5。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。,9-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施,34,例6 已知鋼制圓軸左端受力為F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。軸承B處的許可轉(zhuǎn)角 =0.5。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。,B,2）由剛度條件確定軸的直徑：,目錄,9-5 梁

8、的剛度條件及提高梁剛度的措施,35,2.提高梁剛度的措施,1）選擇合理的截面形狀,目錄,9-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施,36,2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值,改變支座形式,目錄,9-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施,37,2）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值,改變載荷類型,目錄,9-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施,38,3）采用超靜定結(jié)構(gòu),目錄,9-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施,39,3）采用超靜定結(jié)構(gòu),目錄,9-5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施,40,9-6 簡單超靜定梁解法,1.基本概念：,超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁,多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約

9、束,超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。,2.求解方法：,解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程利用靜力平衡條件求其他約束反力。,相當(dāng)系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng),9-6,目錄,41,解,例6 求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。,1）判定超靜定次數(shù),2）解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng),目錄,3）進(jìn)行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件,9-6 簡單超靜定梁解法,42,4）由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程,所以,4）由整體平衡條件求其他約束反力,目錄,9-6 簡單超靜定梁解法,43,例7 梁AB 和BC 在B 處鉸接，A、C 兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn) = 40kN，q = 20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。,從B 處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個懸臂梁。,變形協(xié)調(diào)方程為：,物理關(guān)系,解,9-6 簡單超靜定梁解法,44,代入得補(bǔ)充方程：,確定A 端約束力,9-6 簡單超靜定