建立y對(duì)x的一元線性回歸方程由表可知根據(jù)公式

1、11.2 一元線性回歸,兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)能表明兩者之間關(guān)系的密切程度，但無法用一個(gè)變量去估計(jì)另一個(gè)變量。,回歸分析則可做到這一點(diǎn)，用自變量去估計(jì)或預(yù)測(cè)因變量?；貧w分析首先要區(qū)分自變量和因變量，自變量是“因”，因變量是“果”，然后建立一個(gè)方程去描述這個(gè)因果關(guān)系，即要找出兩者之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，這就是一元回歸；如果兩個(gè)變量是線性關(guān)系稱為一元線性回歸。,設(shè)相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量為 和 ， 的值由兩部分構(gòu)成：一部分由 的影響確定， 用 的 函數(shù) 表示，稱為回歸函數(shù)；另一部分則由眾多不確定性因素影響產(chǎn)生，可看成 取值的隨機(jī)波動(dòng)，記為 ，并且假定其平均值為零，即 。于是得到數(shù)學(xué)模型： 上式稱為回歸模型

2、，它表明當(dāng) 取某個(gè)數(shù)值時(shí)， 并不必然表現(xiàn)為一個(gè)確定的值，而是在 附近波動(dòng)，但其平均數(shù)在大量觀察下趨向于確定的值 。,圖11-1 企業(yè)產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用散點(diǎn)圖,我們?nèi)菀卓闯銎髽I(yè)產(chǎn)量 和生產(chǎn)費(fèi)用 之間的散點(diǎn)圖大致呈直線關(guān)系。但圖形中的各點(diǎn)并不都在條直線上，而是圍繞著直線上下波動(dòng)，有的在直線上面，有的在直線下面。,各散點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程 對(duì)于這樣的散點(diǎn)圖，我們認(rèn)為 與 之間線性相關(guān)，回歸函數(shù) 是線性函數(shù)，即 此時(shí)，回歸模型為 (11.3)式稱為一元線性回歸函數(shù)，(11.4)稱為一元線性回歸模型。,直線截距,直線斜率,也叫做 對(duì) 的回歸系數(shù)，它表示 每變動(dòng)一個(gè)單位所引起的 的平均變動(dòng)量,殘差（也稱為回歸誤差

3、或預(yù)測(cè)誤差），代表除 外的其它次要因素形成的隨機(jī)擾動(dòng)。,當(dāng)樣本量較大時(shí)，正負(fù)干擾可相互抵消，所以我們認(rèn)為 的均值為0。,回歸分析的主要任務(wù)就是確定回歸方程的參數(shù) 、 并判定回歸函數(shù)(11.3)式是否合理。,怎樣確定?,?,越小越好,常用的方法是最小二乘法(Least squares，簡記為LS)。它使殘差平方和(residuals sum of squares :RSS)最小,即使 最小,在計(jì)算上應(yīng)先求 再求 。用最小二乘法擬合的回歸方程有三個(gè)性質(zhì)：,(1) ,即回歸誤差可以相互抵消。,(2)所擬合的回歸線通過均值點(diǎn) ，即通過散點(diǎn)圖的重心，因而預(yù)測(cè)值 的均值等于實(shí)際值 的均值。,(3)殘差 和

4、 、 之間無相關(guān)關(guān)系。,利用求極值的方法可解得:,案例11.2 根據(jù)表11.2中有關(guān)數(shù)據(jù)，確定該企業(yè)生產(chǎn)費(fèi)用對(duì)產(chǎn)量的回歸方程，并說明產(chǎn)量對(duì)生產(chǎn)費(fèi)用的影響大小。,表11-2 企業(yè)生產(chǎn)費(fèi)用與產(chǎn)量相關(guān)系數(shù)計(jì)算表,解：,由于產(chǎn)量多少?zèng)Q定著生產(chǎn)費(fèi)用的多少，所以以產(chǎn)量x為自變量，生產(chǎn)費(fèi)用y為因變量。,代入（11.4）,得,所求的生產(chǎn)費(fèi)用對(duì)產(chǎn)量的回歸方程為：,它說明該企業(yè)產(chǎn)量每增加1千噸，生產(chǎn)費(fèi)用平均增加12.896萬元。,案例11.3某省19902000年工業(yè)產(chǎn)值y與農(nóng)業(yè)產(chǎn)值x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：億元）如表中第2、3列所示。試求工業(yè)產(chǎn)值對(duì)農(nóng)業(yè)產(chǎn)值的回歸函數(shù)。,解：,建立y對(duì)x的一元線性回歸方程，由表可知,根

5、據(jù)公式(11.5),有,從而y對(duì)x的線性回歸方程為：,可線性化的一元回歸問題,常見的非線性函數(shù)及其轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)的方法：,1、雙曲線 （圖11-8）,令 ，則有,2、冪函數(shù)曲線 （ 圖11-9 ）,令 ，則有,3、數(shù)函數(shù)曲線 （圖11-10）,令 ，則有,4、負(fù)指數(shù)函數(shù)曲線 （圖11-11）,令 ，則有,5、對(duì)數(shù)曲線 （圖11-11）,令 ，則有,案例11.4某商店歷年銷售肥皂統(tǒng)計(jì)資料如下：,試用指數(shù)曲線預(yù)測(cè)1998年的肥皂銷量。,解：,設(shè) 令 為了計(jì)算方便，再定義 ,列表計(jì)算如下：,由公式 （11.5）有,所以,已知1996年的序號(hào)是 ，那么1998年應(yīng)為,所以預(yù)計(jì)1998年的銷量為,回歸模

6、型的擬合優(yōu)度和顯著性,一 、 回歸模型的擬合優(yōu)度,SRF,總離差,來自殘差,來自回歸,圖11-13 總變異分解為兩部分,可以證明，對(duì)最小二乘法，如下等式成立：,總平方和SST,殘差平方和SSE,回歸平方和SSR,越大，則 越小，因而回歸方程的擬合程度越高。,定義 即 稱 為可決系數(shù)（也叫做判定系數(shù)）。 越大，說明回歸平方和占總平方和的比例越大，殘差平方和占總平方和的比例越小，回歸直線擬合優(yōu)度越好。,二 、回歸模型的顯著性檢驗(yàn),為了分析Y與X之間是否存在線性關(guān)系，我們可以對(duì)回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。通常也稱為F檢驗(yàn)。其檢驗(yàn)步驟如下：,(1)假設(shè)回歸方程是不顯著的，即 原假設(shè)：方程不顯著 對(duì)立假設(shè)：

7、方程顯著,(2)計(jì)算回歸方程的F統(tǒng)計(jì)量,(3)根據(jù)給定的顯著性水平 和兩個(gè)自由度1和(n一2)查F分布表中相應(yīng)的臨界值,若 ，則拒絕原假設(shè)，說明回歸方程顯著；,若 ，則接受原假設(shè)，說明回歸方程不顯著。,案例11.5 討論案例11.2中回歸方程的顯著性并分析回歸模型的擬合優(yōu)度。,解：,通過計(jì)算可得：,根據(jù)公式（11.8）,若 查表得 ,由于實(shí)際的F值大于5.59，拒絕原假設(shè)，說明生產(chǎn)費(fèi)用與產(chǎn)量之間的線性關(guān)系是顯著的。再根據(jù)公式 (11.7)可得。,說明回歸方程的擬合程度是較高的。,隨堂練習(xí),1、直線回歸方程 中，參數(shù) 的經(jīng)濟(jì)意義。,答：,參數(shù) 的經(jīng)濟(jì)意義， 代表經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象經(jīng)過修勻的基礎(chǔ)水平； 稱為

8、回歸系數(shù)，表示： 每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)影響 平均變動(dòng)的數(shù)量。,2、某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與單位成本資料如下表,（1）確定直線回歸方程，并說明回歸系數(shù)的意義。,（2）測(cè)算產(chǎn)量為6500臺(tái)時(shí)，單位成本為多少？,解：,由已知條件可計(jì)算出：,（1） 由式11.5可計(jì)算出：,的意義：,當(dāng)產(chǎn)量每增加1干臺(tái)時(shí)，單位成本平均下降約1.67元,（2）當(dāng)x65時(shí)，代入回歸方程有：,所以產(chǎn)量為6500臺(tái)時(shí)，單位成本為76.71元,3、試述相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)系。,答：,(2)對(duì)兩個(gè)變量x與y而言，相關(guān)分析只能計(jì)算一個(gè)反映兩變量相關(guān)密切程度的相關(guān)系效，回歸分析有時(shí)可根據(jù)研究目的不同分別建立兩個(gè)不同的回歸方程；,二者的區(qū)別有,(1)相關(guān)分析所研究的兩個(gè)變量是對(duì)等關(guān)系，回歸