極點配置問題

1、1,10.2 極點配置問題,2,概 述 本節(jié)討論如何利用狀態(tài)反饋與輸出反饋來進行線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點配置（Pole assignment），也就是使反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)具有所指定的閉環(huán)極點。 對線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設計問題，也有類似的方法和結論。,3,對線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質(zhì)指標，在很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點位置所決定的。 因此在進行系統(tǒng)設計時，設法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質(zhì)指標的極點，是可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標的。 這樣的控制系統(tǒng)設計方法稱為極點配置。 在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，無論采用頻率域法還是根軌跡法，都是通過改變

2、極點的位置來改善性能指標，本質(zhì)上均屬于極點配置方法。 本節(jié)所討論的極點配置問題，則是指如何通過狀態(tài)反饋陣 K 的選擇，使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點恰好處于預先選擇的一組期望極點上。,由于線性定常系統(tǒng)的特征多項式為實系數(shù)多項式，因此考慮到問題的可解性，對期望的極點的選擇應注意下列問題: 1) 對于 n 階系統(tǒng)，可以而且必須給出 n 個期望的極點; 2) 期望的極點必須是實數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復數(shù); 3) 期望的極點必須體現(xiàn)對閉環(huán)系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標等的要求。,5,基于指定的期望閉環(huán)極點，線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點配置問題可描述為: 給定線性定常連續(xù)系統(tǒng),確定反饋控制律,使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極

3、點配置在指定的n個期望的閉環(huán)極點也就是成立,6,下面分別討論: 狀態(tài)反饋極點配置定理 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法 MIMO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法* 輸出反饋極點配置*,10.2.1 狀態(tài)反饋極點配置定理 在進行極點配置時，存在如下問題: 被控系統(tǒng)和所選擇的期望極點滿足哪些條件, 則系統(tǒng)是可以進行極點配置的。 下面的定理就回答了該問題。,定理2-1 對線性定常系統(tǒng) (A, B, C) 利用線性狀態(tài)反饋陣K，能使閉環(huán)系統(tǒng) K(A-BK, B, C) 的極點任意配置的充分必要條件為被控系統(tǒng) (A, B, C) 是狀態(tài)完全可控的。 證明 (1) 先證充分性(條件結論)。 即證明，若被控系統(tǒng)(A

4、, B, C)狀態(tài)完全可控，則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK, B, C)必能任意配置極點。 由于線性變換和狀態(tài)反饋都不改變狀態(tài)可控性，而開環(huán)被控系統(tǒng) (A, B, C) 狀態(tài)可控， 因此一定存在線性變換能將其變換成可控標準型。 不失一般性，下面僅對可控標準型證明充分性。,下面僅對SISO系統(tǒng)進行充分性的證明，對MIMO系統(tǒng)可完全類似于SISO的情況完成證明過程。 證明過程的思路為:,分別求出開環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,比較兩傳遞函數(shù)陣的特征多項式,建立極點可任意配置的條件,證明過程: 如果SISO被控系統(tǒng)(A, B, C)為可控標準型，則其各矩陣分別為,且其傳遞函數(shù)為,若SISO被控系統(tǒng) (A

5、, B, C) 的狀態(tài)反饋陣 K 為 K=kn k2 k1 則閉環(huán)系統(tǒng) K(A-BK, B, C) 的系統(tǒng)矩陣 A-BK 為,相應的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和特征多項式分別為,如果由期望的閉環(huán)極點所確定的特征多項式為 f*(s)=sn+a1*sn-1+an* 那么, 只需令fK(s)=f*(s), 即取 a1+k1=a1* an+kn=an* 則可將狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK, B, C)的極點配置在特征多項式f*(s)所規(guī)定的極點上。 即證明了充分性。 同時，還可得到相應的狀態(tài)反饋陣為 K=kn k2 k1 其中,(2) 再證必要性(結論條件)。 即證明，若被控系統(tǒng) (A, B, C

6、) 可進行任意極點配置，則該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的。 采用反證法。 即證明，假設系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可控的，但可以進行任意的極點配置。 證明過程的思路為:,對狀態(tài)不完全可控的開環(huán)系統(tǒng)進行可控分解,對可控分解后的系統(tǒng)進行狀態(tài)反饋,其完全不可控子系統(tǒng)不能進行極點配置,與假設矛盾, 必要性得證,證明過程:,其中狀態(tài)變量 是完全可控的; 狀態(tài)變量 是完全不可控的。,對狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)K(A-BK,B,C)作同樣的線性變換, 有,其中,被控系統(tǒng)(A,B,C)狀態(tài)不完全可控, 則一定存在線性變換x=Pc , 對其可進行可控分解, 得到如下狀態(tài)空間模型:,由上式可知，狀態(tài)完全不可控子系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 的特征值不能通

7、過狀態(tài)反饋改變，即該部分的極點不能配置。,雖然狀態(tài)完全可控子系統(tǒng)的 的特征值可以任意配置，但其特征值個數(shù)少于整個系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 的特征值個數(shù)。,因此, 系統(tǒng) 的所有極點并不都能任意配置。,由于線性變換不改變系統(tǒng)特征值，因此系統(tǒng)(A,B,C)的極點并不是都能任意配置的。 這與前面假設矛盾，即證明了：被控系統(tǒng) 可任意配置極點，則系統(tǒng)一定是狀態(tài)完全可控的。 故必要性得證。,16,由可控標準型的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),狀態(tài)反饋雖然可以改變系統(tǒng)的極點，但不能改變系統(tǒng)的零點。 當被控系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控時，其極點可進行任意配置。 因此，當狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)極點恰好配置與開環(huán)的零點重合時，則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函

8、數(shù)中存在零極點相消現(xiàn)象。,17,根據(jù)零極點相消定理可知，閉環(huán)系統(tǒng)或狀態(tài)不可控或狀態(tài)不可觀。 由于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)保持其開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控特性，故該閉環(huán)系統(tǒng)只能是狀態(tài)不完全可觀的。 這說明了狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的狀態(tài)可觀性。 從以上說明亦可得知，若SISO系統(tǒng)沒有零點，則狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)可觀性。,10.2.2 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法 上述定理及其證明不僅說明了被控系統(tǒng)能進行任意極點配置的充分必要條件，而且給出了求反饋矩陣 K 的一種方法。對此，有如下討論: 1. 由上述定理的充分性證明中可知，對于SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點配置問題，若其狀態(tài)空間模型為可控標準型，則相應的

9、反饋矩陣為 K=kn k1 =an*-an a1*-a1 其中 ai 和 ai*(i=1, 2, , n)分別為開環(huán)系統(tǒng)特征多項式和所期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式的系數(shù)。,對可控標準型 進行極點配置，求得相應的狀態(tài)反饋陣,因此，原系統(tǒng)的相應狀態(tài)反饋陣K為,2. 若SISO被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為可控標準型，則由9.9節(jié)討論的求可控標準型的方法, 利用線性變換x=P ,將系統(tǒng)(A,B)變換成可控標準型 , 即有,下面通過兩個例子來說明計算狀態(tài)反饋陣 K 的方法。 例2-1 設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,求狀態(tài)反饋陣K 使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為 -1j2。,解 ： 1. 判斷系統(tǒng)的可控性 開環(huán)系統(tǒng)的可控性矩

10、陣為,則開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)可控，可以進行任意極點配置。 2. 求可控標準型,3. 求反饋律 因此開環(huán)特征多項式 f(s)=s2-2s-5 而由期望的閉環(huán)極點 -1 j2 所確定的期望閉環(huán)特征多項式 f*(s)=s2+2s+5 則得狀態(tài)反饋陣 K 為,通過驗算可知，該閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-1j2，達到設計要求。,則在反饋律 u=-Kx+v 作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,例2-2（P252 例10-1，掌握） 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試選擇一種狀態(tài)空間實現(xiàn)并求狀態(tài)反饋陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在 -2 和 -1j 上。 解 ： 1. 要實現(xiàn)極點任意配置，則系統(tǒng)實現(xiàn)需狀態(tài)完全可控。 因此，可以通過選擇可控標準

11、型來建立被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。,2. 系統(tǒng)的開環(huán)特征多項式 f(s) 和由期望的閉環(huán)極點所確定的閉環(huán)特征多項式 f *(s) 分別為 f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 則相應的反饋矩陣 K 為 K=a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1 =4 4 1,系統(tǒng)的可控標準型實現(xiàn)為,因此，在反饋律 u=-Kx+v 下，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,在例2-2中, 由給定的傳遞函數(shù)通過狀態(tài)反饋進行極點配置時需先求系統(tǒng)實現(xiàn)，即需選擇狀態(tài)變量和建立狀態(tài)空間模型。 這里就存在一個所選擇的狀態(tài)變量是否可以直接測量、可以直接作反饋量的問題。,由于狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)運動和特性的，因

12、此對于實際的控制系統(tǒng)，它可能不能直接測量，甚至只是抽象的數(shù)學變量而已，實際中不存在物理量與之直接對應。 若狀態(tài)變量不能直接測量，則在狀態(tài)反饋中需要引入所謂的狀態(tài)觀測器來估計系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值，再用此估計值來構成狀態(tài)反饋律。這將在下節(jié)中詳述。,10.2.3 MIMO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點配置方法* MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)極點配置問題的提法為:,對給定的狀態(tài)完全可控的MIMO被控系統(tǒng)(A,B)和一組所期望的閉環(huán)極點 , 要確定rn的反饋矩陣K,使成立,29,對SISO系統(tǒng)，由極點配置方法求得的狀態(tài)反饋陣K是唯一的, 而由MIMO系統(tǒng)的極點配置所求得的狀態(tài)反饋陣K不唯一。 這也導致了求取MIMO系統(tǒng)極點

13、配置問題的狀態(tài)反饋矩陣的方法多樣性。 MIMO系統(tǒng)極點配置主要方法有: (1) 化為單輸入系統(tǒng)的的極點配置方法 (2) 基于MIMO可控標準型的極點配置方法 (3) 魯棒特征結構配置的極點配置方法。 下面分別介紹前2種方法。,30,1. 化為單輸入系統(tǒng)的極點配置方法 對可控的多輸入系統(tǒng)，若能先通過狀態(tài)反饋化為單輸入系統(tǒng)，則可以利用前面介紹的SISO系統(tǒng)的極點配置方法來求解MIMO系統(tǒng)的極點配置問題的狀態(tài)反饋矩陣。,為此，有如下MIMO系統(tǒng)極點配置矩陣求解算法步驟。 第1步: 判斷系統(tǒng)矩陣A是否為循環(huán)矩陣(即每個特征值僅有一個約旦塊或其幾何重數(shù)等于1)。,若否, 則先選取一個rn維的反饋矩陣K1

14、, 使A-BK1為循環(huán)矩陣,并令 ; 若是, 則直接令 。,31,第3步: 對于等價的單輸入系統(tǒng)的極點配置問題, 利用單輸入極點配置方法, 求出狀態(tài)反饋矩陣K2, 使極點配置在期望的閉環(huán)極點 。,第2步: 對循環(huán)矩陣, 適當選取r維實列向量p, 令b=Bp且為可控的。,第4步: 當A為循環(huán)矩陣時, MIMO系統(tǒng)的極點配置反饋矩陣解K=pK2; 當A不為循環(huán)矩陣時, MIMO系統(tǒng)的極點配置反饋矩陣解K=pK2+K1。,32,在上述算法中，之所以需要判斷系統(tǒng)矩陣A是否為循環(huán)矩陣是因為對單輸入系統(tǒng), 若A不為循環(huán)矩陣(其某個特征值對應約旦塊多于一個), 則根據(jù)推論3-1, 系統(tǒng)直接轉化成的單輸入系統(tǒng)

15、不可控, 不能進行極點配置。 例2-3 設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,求狀態(tài)反饋陣K使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為 - 2, -1j2。,33,解 (1) 判斷系統(tǒng)的可控性。 由于被控系統(tǒng)狀態(tài)空間模型恰為約旦規(guī)范形, 由定理3-2可知, 該開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)可控, 可以進行任意極點配置。 (2) 由于系統(tǒng)矩陣A不為循環(huán)矩陣, 需求取rn維的反饋矩陣K1, 使為循環(huán)矩陣。 試選反饋矩陣K1為:,34,可以驗證,為循環(huán)矩陣。,(3) 對循環(huán)矩陣 , 選取r維實列向量為 p=1 1T, 可以驗證,為可控的。,35,(4) 對于等價的可控的單輸入系統(tǒng) 的極點配置問題,利用單輸入極點配置方法，求出將閉環(huán)極點配置在-2,-

16、1j2 的狀態(tài)反饋矩陣K2為,K2=-24 -68 50T 計算過程為,36,因此系統(tǒng)開環(huán)特征多項式 f(s)=|sI-A|=s3-4s2+5s-2, 而由期望的閉環(huán)極點-3, -1j2 所確定的期望的閉環(huán)特征多項式 f(s)=s3+4s2+9s+10 則得系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣 K2 為,37,(5) 對MIMO系統(tǒng)的極點配置反饋矩陣解為,則在反饋律u=-Kx+v下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,通過驗算可知, 該閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-2, -1j2, 達到設計要求。,38,2. 基于MIMO可控標準型的極點配置方法 類似于前面介紹的SISO系統(tǒng)的極點配置方法，對可控的MIMO系統(tǒng)，也可以通過線性變換將其變換

17、成旺納姆(W.M. Wonham)可控標準型或龍伯格(D. Luenberger)可控標準型，然后再進行相應的極點配置。 這種基于可控標準型的極點配置方法，計算簡便，易于求解。 主要有兩種方法 基于旺納姆可控標準型的設計 基于龍伯格可控標準型的設計,39,(1) 基于旺納姆可控標準型的設計 下面結合一個3個輸入變量，5個狀態(tài)變量的MIMO系統(tǒng)的極點配置問題，求解來介紹基于旺納姆可控標準型的極點配置算法。 第一步: 先將可控的MIMO系統(tǒng)化為旺納姆可控標準型。 不失一般性，設變換矩陣為，所變換成的旺納姆可控標準型的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣分別為:,40,第二步: 對給定的期望閉環(huán)極點 , 按旺納姆可控

18、標準型 的對角線的維數(shù), 相應地計算,41,第三步: 取旺納姆可控標準型下的反饋矩陣 為,將上述反饋矩陣 代入旺納姆可控標準型驗算，可得,42,第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣為,43,(2) 基于龍伯格可控標準型的設計 下面結合一個3個輸入變量，6個狀態(tài)變量的MIMO系統(tǒng)的極點配置問題求解，來介紹基于龍伯格可控標準型的極點配置算法。 第一步: 先將可控的MIMO系統(tǒng)化為龍伯格可控標準型變換。 不失一般性，設變換矩陣為，所變換成的龍伯格可控標準型的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣分別為:,44,45,第二步: 對給定的期望閉環(huán)極點 ，按龍伯格可控標準型 的對角線的維數(shù)，相應地計算,46,第三步: 對龍伯格可控標準

19、型，一定存在狀態(tài)反饋陣 使得閉環(huán)反饋矩陣為,其中 為期望閉環(huán)特征多項式的系數(shù)。,因此,將開環(huán)的 帶入代數(shù)上述方程，由該方程的第3, 5, 6行(即每個分塊的最后一行)可得如下關于狀態(tài)反饋陣 的方程,47,由代數(shù)方程論知識可知，上述代數(shù)方程組有唯一解。 由于該方程為下三角代數(shù)方程組，可以快捷地求解出狀態(tài)反饋矩陣。 第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣為,48,例2-4 試將線性連續(xù)定常系統(tǒng),的閉環(huán)極點配置在和 -1, -2j, -12j 上。,49,解 (1) 采用旺納姆可控標準型求解。 第一步: 按照4.5節(jié)求解旺納姆可控標準型的算法步驟，求得如下旺納姆可控標準型,其中變換矩陣,50,第二步: 對給定的

20、期望閉環(huán)極點 , 按旺納姆可控標準型的對角線的維數(shù)， 相應地計算,第三步: 取旺納姆可控標準型下的反饋矩陣為,則閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為:,51,52,第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣和閉環(huán)系統(tǒng)矩陣分別為,53,(2) 采用龍伯格可控標準型求解。 第一步: 按照4.5節(jié)求解龍伯格可控標準型的算法步驟求得如下龍伯格可控標準型,其中變換矩陣,54,第二步: 對給定的期望閉環(huán)極點 ，按龍伯格可控標準型的對角線的維數(shù)，相應地計算,第三步: 期望的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為,55,因此狀態(tài)反饋陣滿足的方程為,即,因此可以解得,56,第四步: 原系統(tǒng)的反饋矩陣和閉環(huán)系統(tǒng)矩陣分別為,57,10.2.4 輸出反饋極點配置* 由于輸出變量空間可視為狀態(tài)變量空間的子空間，因此輸出反饋也稱之為部分狀態(tài)反饋。 由于輸出反饋包含的信息較狀態(tài)反饋所包含的信息少，因此輸出反饋的控制與鎮(zhèn)定能力必然要比狀態(tài)反饋弱。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出反饋極點配置問題可描述為: 給定線性定常連續(xù)系統(tǒng),58,確定反饋控制律,使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在指定的n個期望的閉環(huán)極點，也就是成立,下面，先通過一輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點變化，考察輸出反饋能否像狀態(tài)反饋那樣對可控系統(tǒng)進行極點