第三模塊--坐標系及其變換

1、模塊三 坐標及其變換,課題一 坐標平移 課題二 極坐標與參數方程 課題三 切點 課題四 空間曲面,坐標平移,課 題 一,1.理解坐標平移的定義,領會坐標平移的 必要性和實際意義;,2.掌握坐標平移公式,能夠運用坐標平移 公式的計算。,教學目標,下圖為一個要車削的工件，在為數控機床編制程序時，要從圓弧 過渡到圓弧 時，怎樣設計坐標系，才能使所得到的每一段圓弧的方程盡量地簡單，從而有利于程序的編制和機械加工呢？,課題提出,課題分析,選取圓弧 的圓心O為坐標系的原點,能得到該圓弧的方程為 。,相應圓弧 的方程為,若將坐標原點選取在,區(qū)別二圓的位置及其方程的繁簡程度 。,一、定義,不改變坐標軸的方向和

2、長度單位，只把坐標系的原點平移到某一個定點，使其變成一個新的坐標系，叫做坐標系的平移變換，簡稱為坐標平移。,相關知識,二、坐標平移公式,平面上任意一點P在坐標系XOY中的坐標是(x,y)，在坐標系 中的坐標是,設 點在坐標系XOY中的坐標為,平移變換公式是,或,例 平移坐標軸，化簡圓的方程。,解：已知圓的方程為,把原來坐標系平移，變換為以,為原點的新坐標系,根據坐標平移公式：,方程化簡為,極坐標與參數方程,課 題 二,1.理解極坐標的概念,能夠計算點的極坐標 以及求曲線的極坐標方程;,2.理解極坐標與直角坐標的關系,掌握點的 極坐標與直角坐標的互化公式;,教學目標,3.理解參數方程的概念,能夠

3、建立曲線的參 數方程;,4.能夠運用極坐標或參數方程的相關知識 解決實際問題。,上圖為機械傳動中常見的阿基米德螺線，又稱為等速螺線。它是由一個動點M沿著一條射線l做等速直線運動（速度為v），同時這條射線又繞著它的端點O做等角速旋轉運動（角速度為 ）所形成的軌跡.,課題提出,試求該軌跡方程？,課題分析,動點M在運動時,它和原點的連線與x軸所成的夾角以及它與原點的距離都是時刻變化著的.因此在我們所熟悉的直角坐標系中，其運動方程即等速螺線的方程式難以表達.,一、極坐標的概念,在平面內取一個定點O，叫做極點。,引一條射線OX，叫做極軸。,選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向）。,這

4、樣就建立了一個極坐標系。,O,相關知識,極坐標系內一點的極坐標的規(guī)定：,對于平面上任意一點M，用 表示線段OM的長度，用 表示從OX到OM 的角度， 叫做點M的極徑， 叫做點M的極角，有序數對（，）就叫做M的極坐標。,強調：表示線段OM的長度，即點M到極點O的距離；表示從OX到OM的角度，即以OX（極軸）為始邊，OM 為終邊的角。,練習：說出下圖中各點的極坐標。,二、曲線的極坐標方程,與直角坐標系里的情況一樣，求曲線的極坐標方程就是找出曲線上動點P的坐標與之間的關系，然后列出方程f(,)=0 ，再化簡并說明。,例 求過極點，傾角為 的射線的極坐標方程。,分析：,如圖，所求的射線上任一 點的極角

5、都是 ，其極 徑可以取任意的非負數。故所求直線的極坐標方程為,例 求過點A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標方程。,解 如圖，設點,為直線L上除點A外的任意一點，連接OM,在 中有,即,可以驗證，點A的坐標也滿足上式。,根據所求曲線即等速螺線的定義,整理可得等速螺線的極坐標方程,建立極坐標系,初始位置,求等速螺線的極坐標方程,在機械傳動中，利用凸輪將旋轉運動變?yōu)橹本€運動，凸輪的輪廓曲線就是等速螺線。,在直角坐標系中, 以原點作為極點,X軸的正半軸作為極軸, 并且兩種坐標系中取相同的長度單位。,設點M的極坐標為(,),點M的直角坐標為,三、極坐標與直角坐標的關系,設點M的直角坐標是

6、 (x, y)，極坐標是 (,),的大小由點(x, y)所在的象限確定。,例 將點M 的極坐標化成直角坐標。,所以, 點M的直角坐標為,解:,例 將點M 的直角坐標化成極坐標。,因為點在第三象限, 所以,解:,所以, 點M的極坐標為,四、參數方程,由等速螺線的方程,其中t把兩個變量聯系在一起。,定義：在坐標平面內，如果一條曲線F(x,y)=0上任意一點(x,y)的坐標都可以表示為某一個變量的函數，即,該方程組為曲線稱為曲線F(x,y)=0的參數方程,漸開線,將一直線沿著一個半徑r為的圓周作相切滾動，則此直線上任意一點 的軌跡就稱為該圓的漸開線，該圓稱為漸開線的基圓。,漸開線的一個重要性質：該曲

7、線上的任一點M到基圓的切線MB恰是漸開線在M點處的法線。,在機械制造中，大多數齒輪的輪廓線為圓的漸開線，采用這種齒形的齒輪，具有加工較為簡單，磨損少，傳動平穩(wěn)等特點。,為參數,漸開線的參數方程為,切 點,課 題 三,掌握圓的切線方程、直線與圓弧以及圓弧 與圓弧相切的切點坐標的計算公式和計算方 法。,教學目標,在下圖所示的數控加工零件圖樣中，A、B、C各點都是該零件輪廓上的基點，試求這些點的坐標。,課題提出,圖樣中的B、C是一個圓與兩條直線相切的切點問題。,課題分析,在工程技術和機械加工，特別是在數控加工中，有些圓弧的位置和聯接點往往在零件圖樣上不加標注，這時就需要我們用坐標的方法來計算。,用r

8、 表示圓的半徑，d 表示圓心到直線的距離，則,觀 察,直線與圓的位置關系,相關知識,思考,1.圓的切線有哪些性質？,2.求切線方程的關鍵是什么？,3.切線的斜率一定存在嗎？,已知圓的方程是 ，求經過圓上一點 的切線的方程。,一、求圓上一點的切線方程,分析：利用平面向量知識.,x0 x +y0 y = r2,設P（x,y)是切線上不同于M的任意一點,則,當P與M重合時，P的坐標仍滿足上面方程。,已知圓的方程是 ，求經過圓上一點 的切線的方程。,自圓 外一點 向圓作切線并求切點P 的坐標。,過 點向圓作切線，切點是,則切線方程為,解方程組,得 為,其中,二、求圓外一點向圓作切線所得切點的坐標,三、

9、求直線與橢圓相切的切點坐標,如圖所示，直線段AB與標準橢圓相切于點B，試求切點B的坐標。,分析 建立如圖所示的直角坐標系， 可設AB的直線方程為,由于直線AB與橢圓相切，利用一元二次方程只有一個解的條件，可求出b，然后求出切點。,解 建立坐標系如圖,由于,解得,故切點B的坐標為,聯立,得,四、求兩圓內切的切點坐標,五、求兩圓外切的切點坐標,練習：下圖所示的是某數控加工零件的圖樣，現要加工型面，試求其中 的圓心位置 。,空間曲面,課 題 四,1.理解空間直角坐標系的概念;,2.掌握空間兩點間距離的公式；,教學目標,3.理解空間曲面方程的概念，能夠求出空 間動點的軌跡方程；,4.了解幾種常見曲面的

10、曲面方程。,課題提出,在大型的熱力電廠，我們經?？梢钥吹叫螤钊鐖D所示的高大冷卻塔， 它的曲面是根據什么建造出來的呢？,課題分析,事實上，冷卻塔的表面可以視為是由空間的一條曲線C ：,繞著它的中軸（Z軸）旋轉而形成的旋轉曲面。,X橫軸,Y縱軸,Z 豎軸,定點,空間直角坐標系,三個坐標軸的正方向符合右手系。,一、空間直角坐標系,相關知識,面,面,面,空間直角坐標系把空間隔離成了八個部分,空間的點,有序數組,特殊點的表示:,坐標軸上的點,坐標面上的點,空間兩點間的距離,特殊地：若兩點分別為,解,原結論成立。,如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關系:,(1) 曲面 S 上的

11、任意點的坐標都滿足此方程;,則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形。,(2) 不在曲面 S 上的點的坐標不滿足此方程,二、曲面方程的定義,求到兩定點A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點的,化簡得,即,說明: 動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面.,例,顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程。,解 設軌跡上的動點為,軌跡方程。,故所求方程為,方程。,特別,當M0在原點時,球面方程為,解 設軌跡上動點為,即,依題意,距離為 R 的軌跡,表示上(下)球面 。,例 求動點到定點

12、,平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面。,表示拋物柱面,母線平行于 Z 軸;,準線為XOY 面上的拋物線。,C 叫做準線, l 叫做母線。,三、幾種常見曲面的曲面方程,1.柱面,表示母線平行于 Z 軸的橢圓柱面。,表示母線平行于Z 軸的平面。,(且 Z 軸在平面上),例 分析方程,表示怎樣的曲面。,的坐標也滿足方程,解在 XOY面上，,表示圓C,沿曲線C平行于Z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓柱面。其上所有點的坐標都滿足此方程,故在空間,過此點作,平行 Z 軸的直線 l ,對任意 z ,表示圓柱面,在圓C上任取一點,一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面。,該定直線稱為旋轉軸。,例如 :,2.旋轉曲面,故旋轉曲面方程為,當繞