考研數(shù)學(xué)-函數(shù)與極限.ppt

1、1,基礎(chǔ)考研第一章,函數(shù)與極限,2,考研：,早開始比任何事情都重要.,3,1.函數(shù)定義：,設(shè)x和y是兩個(gè)變量，,法則，總有確,定的數(shù)值y和它對(duì)應(yīng)，,記作,因變量,自變量,數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域.,函數(shù)值.,函數(shù)值的全體組成的集合稱為函數(shù)的值域.,如果對(duì)于每一個(gè)給定的,則稱y是x的函數(shù)，,一、函數(shù),圖形:,( 一般為曲線 ),按照,4,2.函數(shù)定義的兩要素：,定義域,和,對(duì)應(yīng)法則,3.兩個(gè)函數(shù)相同的條件：,(1)定義域相同，(2)對(duì)應(yīng)法則相同,不同,相同,相同,定義域:,對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:,解析法,、圖象法,、列表法,使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量集合.,5,4.定義域的求法：,(1)

2、分式函數(shù)：,分母不等于零的自變量的值.,(2)開偶次方：,(3)對(duì)數(shù)函數(shù)：,使函數(shù)解析式有意義的自變量的 取值范圍是函數(shù)的（自然）定義域.,(7)多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的定義域：,是其各自定義域的交集.,6,5.函數(shù)的四種特性,(1)函數(shù)的有界性:,設(shè)函數(shù),區(qū)間,說(shuō)明：,1.界不唯一,不一定找最小的界.,2.函數(shù)的有界性是局部概念.,3.區(qū)分無(wú)界與無(wú)窮大，,無(wú)窮大一定無(wú)界，,但無(wú)界不一定,是無(wú)窮大.,7,3.區(qū)分無(wú)界與無(wú)窮大，,無(wú)窮大一定無(wú)界，,但無(wú)界不一定,是無(wú)窮大.,4.還可定義有上界、有下界,有界的充分必要條件是既有上界又有下界,8,(2) 單調(diào)性,設(shè)函數(shù),稱,為 I 上的,單調(diào)增函數(shù) ;,稱

3、,為 I 上的,單調(diào)減函數(shù) ;,注意:(1)這里是嚴(yán)格單調(diào),(2)單調(diào)性是局部概念.,9,(3)函數(shù)的奇偶性:,設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,對(duì)于,有,則稱f(x)為偶函數(shù).,有,則稱f(x)為奇函數(shù).,注意：,(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，奇偶性是整體概念；,(2)奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖形 關(guān)于y 軸對(duì)稱；,是,(3),奇偶函數(shù)的定義域不一定是R.,(4) 若,在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng),則,10,(4) 周期性,且,則稱,為周期函數(shù) ,若,稱 l 為周期.,例如, 常量函數(shù),狄里克雷函數(shù),x 為有理數(shù),x 為無(wú)理數(shù),說(shuō)明：,10周期函數(shù)的定義域是無(wú)限的點(diǎn)集.,20周期函數(shù)不

4、一定存在最小正周期 .,結(jié)論：,設(shè)函數(shù),11,注意：,因子而無(wú)“0”因子,12,例2.設(shè)在區(qū)間,解,13,6.反函數(shù),(1)定義,14,(2)性質(zhì),其反函數(shù),(減),(減) .,1) yf (x) 單調(diào)遞增,且也單調(diào)遞增,2) 函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于直線,對(duì)稱 .,（注意：對(duì)單值函數(shù)而言的）,15,7. 復(fù)合函數(shù),則,設(shè)有函數(shù)鏈,稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) ,u 稱為中間變量.,注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件,不可少.,例如, 函數(shù)鏈 :,但函數(shù)鏈,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .,可定義復(fù)合函數(shù),16,8. 初等函數(shù),(1) 基本初等函數(shù),冪函數(shù)、,指數(shù)函數(shù)、,對(duì)數(shù)函數(shù)、,三角函數(shù)、,反三角函數(shù),(2) 初等函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù),否則稱為非初等函數(shù) .,例如 ,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步,驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) .,可表為,故為初等函數(shù).,為初等函數(shù).,17,非初等函數(shù)舉例:,符號(hào)函數(shù),當(dāng) x 0,當(dāng) x = 0,當(dāng) x 0,取整函數(shù),當(dāng),注意：,分段函數(shù)一般不是初