簡并微擾理論.ppt

1、第六章 近似方法,（一）簡并微擾理論 （二）實例 （三）討論,3 簡并微擾理論,假設(shè)En(0)是簡并的，那末屬于 H(0)的本征值 En(0) 有 k 個歸一化本征函數(shù)：| n1 , | n 2 , ., | n k =,滿足本征方程：,于是我們就不知道在k個本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個作為微擾波函數(shù)的 0 級近似。所以在簡并情況下，首先要解決的問題是如何選取 0 級近似波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級修正。,0 級近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個| n 中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按冪次分類得到的方程：,共軛方程,（一）簡并微擾理論,|n(0) 已是正交歸一化,系數(shù) c 由 一 次冪方 程定出,左乘

2、 n | 得：,得：,上式是以展開系數(shù)c為未知數(shù)的齊次線性方程組，它有不含為零解的條件是系數(shù)行列式為零，即,根據(jù)這個條件，我們選取 0 級近似波函數(shù)|n(0)的最好方法是將其 表示成 k 個| n k 的線性組合， 因為反正 0 級近似波函數(shù)要在| nk ( =1, 2, ., k )中挑選。,解此久期方程 可得能量的一級修正En(1)的k個根：En(1), = 1, 2, ., k. 因為 En = En(0) + E(1)n 所以， 若這k個根都不相等，那末一級微擾就可以將 k 度簡并完全消除； 若En (1)有幾個重根，則表明簡并只是部分消除， 必須進(jìn)一步考慮二級修正才有可能使能級完全分

3、裂開來。,為了確定能量 En 所對應(yīng)的0級近似波函數(shù)，可以把 E(1)n 之值代入線性方程組從而解得一組c ( = 1,2,.,k.)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的 0 級近似波函數(shù)。,為了能表示出 c 是對應(yīng)與第 個能量一級修正 En (1) 的一組系數(shù)，我們在其上加上角標(biāo) 而改寫成 c 。這樣一來，線性方程組就改寫成：,例1. 氫原子一級 Stark 效應(yīng),（1）Stark 效應(yīng),氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為 Stark 效應(yīng)。,我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場作用，造成第n 個能級有 n2 度簡并。但是當(dāng)加入外電場后，由于勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡

4、并部分被消除。Stark 效應(yīng)可以用簡并情況下的微擾理論予以解釋。,（2）外電場下氫原子 Hamilton 量,取外電場沿 z 正向。通常外電場強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場強(qiáng)度小得多，例如, 強(qiáng)電場 107 伏/米， 而 原子內(nèi)部電場 1011 伏/米，二者相差 4個量級。所以我們可以把外電場的影響作為微擾處理。,（二）實例,（3） H0 的本征值和本征函數(shù),下面我們只討論 n = 2 的情況，這時簡并度 n2 = 4。,屬于該能級的4個簡并態(tài)是：,（4）求 H 在各態(tài)中的矩陣元,由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計算出微擾Hamilton 量 H 在以上各態(tài)的矩陣元。,我們碰到角積分 需要利用如下公

5、式：,于是:,僅當(dāng) = 1, m = 0 時， H 的矩陣元才 不為 0。因此 矩陣元中只有 H12, H21 不等于0。,因為,所以,欲使上式不為 0，由球諧函數(shù)正交歸一性 要求量子數(shù)必須滿足如下條件：,（5）能量一級修正,解得 4 個根：,求零級近似波函數(shù),（1）當(dāng) 時，有 ；,則與能級 對應(yīng)的零級近似波函數(shù)為：,（2）當(dāng)時 ，有 ， 則與能級 對應(yīng)的零級近似波函數(shù)為：,（3）當(dāng)時 ，有 ，而 和 不同時為零，則與能級 對應(yīng)的零級近似波函數(shù)為：,相當(dāng)于一電偶極矩位于電場中,定性解釋：,2氫原子電偶極矩特性,1.當(dāng) 與 方向相反， ， ， ， 即是,3.當(dāng) 與 相互垂直， ， ， ， 即是

6、或,2.當(dāng) 與 方向相同， ， ， ， 即是,例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩陣形式為：H = H0 + H，其中,求能級的一級近似和波函數(shù)的0級近似。,解：,H0 的本征值問題是三重簡并的，這是一個簡并微擾問題。,解得：E(1) = 0, .,記為： E1(1) =- E2(1) = 0 E3(1) = +,故能級一級近似：,簡并完全消除,(1)求本征能量 由久期方程|H - E(1) I| = 0 得：,(2) 求解 0 級近似波函數(shù),將E1(1) = 代入方程，得：,由歸一化條件：,則,將E2(1) = 0 代入方程，得：,則,由歸一化條件：,測驗題,1、非簡并微擾論能實際應(yīng)用的條件是什么？并說明其物理意義。對于連續(xù)譜 的情況，收斂性條件是否滿足？為什么？此條件能否適用于簡并情況？ 2、從數(shù)學(xué)的角度，怎么定義一個體系是微擾的還是非微擾的？ 3、在定態(tài)微擾論中，為什么要分為非簡并和簡并兩類問題討論？試從物理圖像和數(shù)學(xué)適 用條件說明之。 4、有人說：