10-Fourier變換及其應(yīng)用

1、1、偏微分方程教程第7章Fourier變換及其應(yīng)用，2，1 Fourier變化及其性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)提示】Fourier變換的定義及其性質(zhì)及其逆變換。 【重、難點(diǎn)提示】求解函數(shù)的Fourier變換及其逆變換，特別是逆變換。 【教學(xué)目的】熟悉Fourier變換的定義和性質(zhì)，能夠很好地解開(kāi)特定特殊函數(shù)的Fourier變換及其逆變換。 3、Fourier變換線性偏微分方程，特別是在常數(shù)線性偏微分方程的研究中非常重要。 對(duì)于求解各種數(shù)學(xué)物理方程式有普遍的意義。 本章系統(tǒng)地介紹Fourier變換的基本知識(shí)及其演算性質(zhì)。 最后利用Fourier變換及其逆變換解決一些典型數(shù)學(xué)物理方程的解問(wèn)題。 4、在學(xué)習(xí)常微分方

2、程解時(shí)介紹了Laplace變換，把常數(shù)系數(shù)的線性常微分方程求解與函數(shù)方程求解及其函數(shù)方程解進(jìn)行Laplace變換逆運(yùn)算. 其他形式的積分變換有木有能否使常數(shù)系數(shù)的線性偏微分方程特別是3種典型的數(shù)學(xué)物理方程的求解變得簡(jiǎn)單，這就是我們從此往后介紹的Fourier變換。如果是5，5，1.1 Fourier變換定義7.1，那么任意的積分都有意義，我們將其稱為Fourier變換，或者標(biāo)記為定理7.1 (Fourier積分定理)，則由于是(1.1)、(1.2)、6，證：所以包含參照變量的積分對(duì)一致收斂，并且在能夠證明簡(jiǎn)單易懂的同樣的事情的另一方面，我們卻有其中的連續(xù)函數(shù)。、1.5 )、8、現(xiàn)在被給予、先取

3、、大到一盞茶、當(dāng)時(shí)、然后固定、取、大到一盞茶、黎曼-勒貝格(Riemann-Lebesgue )正在介紹、大到一盞茶定理證明完成，9，式(1.2 )稱為反轉(zhuǎn)式，左端的積分表示取Cauchy的主值。 由此定義的變換稱為Fourier反變換，并且因此也可以描述(1.2)，即，一個(gè)所屬的函數(shù)在進(jìn)行Fourier變換之后再進(jìn)行Fourier反變換，并且返回到該函數(shù)本身，注意：以后反轉(zhuǎn)Fourier變換我們不需要先深入研究是否滿足上述定理的條件，直接應(yīng)用它導(dǎo)出問(wèn)題的形式解，然后通過(guò)直接驗(yàn)證，確定該形式解是“真解”，如果1.0、性質(zhì)是7.1 (線性性質(zhì))，則相對(duì)于任意常數(shù)，性質(zhì)是7.2 如果、性質(zhì)為7.3

4、 (對(duì)稱性質(zhì))，則基本性質(zhì)在使用Fourier變換求解問(wèn)題之前，先介紹了Fourier變換的基本性質(zhì)。 如果、以及1.1、性質(zhì)是7.3 (對(duì)稱性質(zhì))，則(1.8 )以上的3個(gè)性質(zhì)的證明都可以從Fourier變換及其逆變換的定義中直接導(dǎo)出。 希望讀者用自各兒完成。 如果性質(zhì)是7.4 (微商性質(zhì))，那么(1.9 )、1.2、證明：是假設(shè)、知道、事實(shí)、反證法也知道，即(1.10 )成立。 由于使用了自由(1.10 )、分支構(gòu)造積分公式，1.3，如果推論7.1小，則(1.11 )、注意：這個(gè)性質(zhì)指示了微商運(yùn)算被變換成傅立葉變換然后被變換成乘積運(yùn)算，所以可以使用傅立葉變換來(lái)使常數(shù)系數(shù)的常微分方程簡(jiǎn)化為函

5、數(shù)方程， 能夠?qū)⑵⒎址匠毯?jiǎn)化為常微分方程的Fourier變換是解常系數(shù)的線性偏微分方程的重要工具。1.4，性質(zhì)7.5 (乘法多項(xiàng)式)，因?yàn)椋?，也就是說(shuō)，知識(shí)(1.12 )成立。(1.12 )，有函數(shù)，1.5，推論7.2 如果是(1.13 )，性質(zhì)7.6 (伸縮性質(zhì))，則為非零常數(shù)，并且，(1.14 )，1.6，證：不失一般性，則.由定義7.1、有、1.7、性質(zhì)7.7 (日式榻榻米嵌入性質(zhì))，則、證：富比尼定理、有、(1.15 )、(1.16 )、1.8、進(jìn)而若為Fubini定理、性質(zhì)7.8 (Plancherel定理) 下面舉例說(shuō)明利用Fourier變換的定義和基本性質(zhì)求出幾個(gè)具體函數(shù)的

6、Fourier變換的方法。 求例1定徑套、例2定徑套、2.0、解：定義7.1，知道。 例3定徑套，求。 解：由性質(zhì)7.1、性質(zhì)7.6得到。 在對(duì)、例4高斯函數(shù)、的Fourier變換、2.1、積分應(yīng)用Cauchy定理來(lái)改變積分路徑后，可以從、解：定義得到7.1、(圖7-1 )、并行指令、2.2、圖7-1，然后得到、2.3、例5設(shè)定、解： 為了消除高維空間的Fourier變換高維空間的常系數(shù)線性偏微分方程，我們需要介紹高維空間的Fourier變換.定義7.2，被稱為積分、意義，如果是該Fourier變換，則稱為、2.5、定理7.2，而函數(shù)、 對(duì)于具有表示Fourier逆變換的一維Fourier變換的性質(zhì)7.1-7.