高中數(shù)學(xué) 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何課時(shí)-17教材素材（通用）

1、直線和平面復(fù)習(xí)（一） 教學(xué)目標(biāo)1配合系統(tǒng)復(fù)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)空間想象力；2借助平面幾何中，三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心等知識(shí)，解決立體幾何問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1空間想象力的培養(yǎng)；2分析問(wèn)題能力與綜合運(yùn)用知識(shí)能力的培養(yǎng)教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程師：同學(xué)們已經(jīng)很好地完成了知識(shí)總結(jié)的作業(yè)，有些同學(xué)還將知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系用圖表展示出來(lái)也有的同學(xué)將各種位置關(guān)系用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行歸納和整理在此一并提出表?yè)P(yáng)我們將把這些總結(jié)用展板展示，請(qǐng)同學(xué)們互相學(xué)習(xí)師：本節(jié)課我們將通過(guò)一組問(wèn)題來(lái)進(jìn)行復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)的目的之一是進(jìn)一步培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象力關(guān)于空間想象力的問(wèn)題，在高一年級(jí)剛開(kāi)始時(shí)，單純的想象占主導(dǎo)地位，隨著一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，關(guān)于線面的

2、各種位置關(guān)系及性質(zhì)研究的深入，單純的想象力就轉(zhuǎn)化為：在線面各種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)定理指導(dǎo)下的想象請(qǐng)先看下面一組題目：填空題：1空間三個(gè)平面可能將空間分成_部分2正方體各個(gè)面所在的平面將空間分成_部分3與空間四個(gè)點(diǎn)距離相等的平面有_個(gè)*4A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)它們到平面的距離比（依次）為：2111，滿足條件的平面有個(gè)生：第1題空間三個(gè)平面可能將空間分成4或6或7或8部分師：請(qǐng)你畫圖說(shuō)明你的觀點(diǎn)生：（作圖）師：很好，圖1、圖2、圖3、圖4依次表示三個(gè)平面將空間分成4，6，7，8部分生：第2題答案是27師：你給同學(xué)們解釋一下，答案為什么是27生：（手拿一個(gè)粉筆盒）這個(gè)粉筆盒近似看成一個(gè)正

3、方體，它的上底面與下底之間被分成9部分同樣，上底面上邊與下底面下面也各被分成9部分總計(jì)正方體各個(gè)面所在的平面將空間分成27部分師：對(duì)于第3小題，需要先證明下面的命題：線段AB與平面相交，若AB中點(diǎn)C在平面上，則點(diǎn)A、點(diǎn)B到平面的距離相等生A：本題的答案為4，因?yàn)榻?jīng)過(guò)有公共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)作截面，根據(jù)老師剛介紹的引理，可以證明這樣的截面符合條件（如圖5） 生B：還有一種情況剛才生A所作平面使已知四個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)在平面的同一側(cè)，另外一個(gè)點(diǎn)在另一側(cè)我想所作平面兩側(cè)各有2個(gè)點(diǎn)如圖6這類平面共有3個(gè)，即V，A兩點(diǎn)在平面同側(cè)；V，B兩點(diǎn)在平面同側(cè)；V，C兩點(diǎn)在平面同側(cè)師：剛才兩名同學(xué)講的都很好，相互補(bǔ)充，

4、符合條件的平面共有7個(gè)同學(xué)們有不同意見(jiàn)嗎？師：剛才兩名同學(xué)都認(rèn)為已知四個(gè)點(diǎn)不共面，事實(shí)上，當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)共面時(shí)，符合題目要求的平面有無(wú)數(shù)個(gè)只要與四點(diǎn)所在平面平行的平面都符合要求生：老師，如果這四個(gè)點(diǎn)共線呢？師：當(dāng)四個(gè)點(diǎn)共線時(shí)，只要與這條直線平行的平面均符合條件，這個(gè)題目的正確答案應(yīng)該是7個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)分類討論的方法不僅在代數(shù)課上使用，幾何學(xué)中也經(jīng)常使用，此題就是按照?qǐng)D形的不同位置關(guān)系進(jìn)行分類討論我們繼續(xù)討論第4題生：我認(rèn)為仿照第3小題的解答，可提出下面引理：若點(diǎn)A、點(diǎn)B師：他的猜測(cè)是正確的這個(gè)命題的正確性請(qǐng)同學(xué)們課下論證下面我們討論第4小題的解法生A：分別延長(zhǎng)AB，AC，AD至B1，C1，D1，使BB

5、1=AB，CC1=AC，DD1=AD，如圖7，則平面就是平面B1C1D1生B：分別在AB，AC，AD上取點(diǎn)B，C，D，使得：師：分別取BC，CD，DA的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G那么經(jīng)過(guò)EG的任何一個(gè)平面都滿足：它與B，C，D三點(diǎn)的距離相等，在這些平面中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或經(jīng)過(guò)CD（因?yàn)镃DCDGE）的平面符合題目要求（圖8）經(jīng)過(guò)EG有兩個(gè)平面符合題意同樣，經(jīng)過(guò)EF，F(xiàn)G各有兩個(gè)平面符合題意，綜合以上分析共有8個(gè)平面符合題目要求師：?jiǎn)栴}5是否存在一個(gè)四面體，它的每個(gè)面都是直角三角形？請(qǐng)同學(xué)們思考生A：我找到一個(gè)幾何體，它的三個(gè)面都是直角三角形如圖 9AVB=BVC=CVA=90生B：我曾經(jīng)證過(guò)生A所給的圖中，AB

6、C是銳角三角形師：根據(jù)兩名同學(xué)的發(fā)言，給我們以下啟示：三個(gè)面是直角三角形的幾個(gè)體已經(jīng)找到；三個(gè)直角頂點(diǎn)不能是同一個(gè)點(diǎn)！構(gòu)造VAB=VAC=90，且BAC90再構(gòu)造ACB=90，同學(xué)們不難證明VCB=90生：是根據(jù)三垂線定理師：空間想象力在不同時(shí)期有不同要求上面這個(gè)問(wèn)題如果是高一第一學(xué)期開(kāi)始讓同學(xué)們作，那就只有想象或動(dòng)手制做模型現(xiàn)在解決它，可以借助我們所學(xué)的線面位置關(guān)系去尋找解決問(wèn)題的方法，并且在想象結(jié)束時(shí)，論證想象的合理性師；如圖11，正方體ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分別在C1D1，CC1，AB上畫出截面PQR與正方體各面的交線由公理知：PQ 面DC1因?yàn)槊鍭B1面DC1，截面與它

7、們相交，交線必平行（根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理）過(guò)點(diǎn)R在面AB1中作PQ平行線交AA1于SPQ交DC于T，TR交BC于E，連結(jié)EQ，過(guò)S作SFEQ交A1D1于F，連FP，則多邊形PQERSF的邊就是截面PQR與正方體各面的交線師：同學(xué)們請(qǐng)看下面一組題：6從平面外一點(diǎn)向平面引垂線和斜線，若斜線與平面所成的角都相等，垂足是斜足多邊形的_心7直角三角形ABC中，C是直角，AC=6，BC=8，ABC所在平面外一點(diǎn)P，PA=PB=PC=13，點(diǎn)P到ABC所在平面的距離為_(kāi)生：垂足是斜足多邊形的外心，因?yàn)閺钠矫嫱庖稽c(diǎn)向平面引斜線它們與平面所成角相等，可以得到它們的長(zhǎng)相等，它們?cè)谄矫鎯?nèi)的射影長(zhǎng)也相等師：同學(xué)們還

8、可以進(jìn)一步思考，滿足什么條件時(shí)，垂足是斜足多邊形的內(nèi)心？垂足有沒(méi)有可能成為斜足多邊形的重心？垂心？做完一道題目之后，不要滿足于題目的本身，能夠?qū)l件、結(jié)論變換后的有關(guān)命題進(jìn)行研究，可達(dá)到事半功倍，提高能力的效果師：根據(jù)已知條件，第7小題中，點(diǎn)P在ABC所在平面上的射影恰為ABC的外心由于ABC是直角三角形，所以由點(diǎn)P引平面ABC的垂線，垂足恰為ABC斜邊AB的中點(diǎn)，你們知道了解題思路嗎？生：作PD面ABC于D，由PA=PB=PC，得DA=DB=DC，D是ABC外心又因?yàn)锳CB=90，由平面幾何知識(shí)，得出D為AB的中點(diǎn)PA=13，AD=5，PD=12即點(diǎn)P到平面ABC的距離為12師：三角形的垂心

9、、內(nèi)心、外心、重心的知識(shí)在立體幾何中經(jīng)常使用有一些題目本身沒(méi)有明確給出，如第7小題，恰到好處地運(yùn)用四心有關(guān)的知識(shí)，可簡(jiǎn)化解題過(guò)程下面一道題目也是與三角形的“心”有關(guān)的問(wèn)題8如圖13，正ABC邊長(zhǎng)為a，O為外心，PO面ABC，PA=PB=PC=b，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，且PA面DEFG求：四邊形DEFG的面積由題設(shè)我們能得到哪些有用的結(jié)論？生A：因?yàn)镻A面EFGD，由線面平行的性質(zhì)可得：EFPA，GDPA，所以EFDG由D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，DEBC，所以BC面DEFG進(jìn)一步得出BCFG綜上DEFG是平行四邊形能求出平行四邊形DEFG的面積師：到目前為止，已知條件中還有兩條沒(méi)有發(fā)揮作用等邊ABC；O為ABC的外心，生C：當(dāng)O為等邊三角形外心時(shí)，它也是等邊ABC的垂心即BCAO，又PO面ABC，由三垂線定理知：BCPA已經(jīng)證明了EFPA，BCDE，得出EFDE，EF