高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 線性規(guī)劃題型一覽（通用）

1、線性規(guī)劃問題中目標函數(shù)常見類型梳理線性規(guī)劃問題中目標函數(shù)的求解是線性規(guī)劃問題的重點也是難點，對于目標函數(shù)的含義學(xué)生往往理解的不深不透，只靠死記硬背，生搬硬套，導(dǎo)致思路混亂，解答出錯。本文將有關(guān)線性規(guī)劃問題中目標函數(shù)的常見類型梳理如下，以期對大家起到一定的幫助。一 基本類型直線的截距型（或截距的相反數(shù)）例1.已知實數(shù)x、y滿足約束條件，則的最小值為（ ）A5 B-6 C10 D-10 分析：將目標函數(shù)變形可得，所求的目標函數(shù)的最小值即一組平行直線在經(jīng)過可行域時在y軸上的截距的最小值的4倍。解析：由實數(shù)x、y滿足的約束條件，作可行域如圖所示：-553OxyCABL當一組平行直線L經(jīng)過圖中可行域三角

2、形ABC區(qū)域的點C時，在y軸上的截距最小，又，故的最小值為，答案選B。 點評：深刻地理解目標函數(shù)的含義，正確地將其轉(zhuǎn)化為直線的斜率是解決本題的關(guān)鍵。二 直線的斜率型例2.已知實數(shù)x、y滿足不等式組,求函數(shù)的值域.解析：所給的不等式組表示圓的右半圓(含邊界)， -22Oxy（-1，-3）-2可理解為過定點，斜率為的直線族則問題的幾何意義為：求過半圓域上任一點與點的直線斜率的最大、最小值由圖知，過點和點的直線斜率最大，過點所作半圓的切線的斜率最小設(shè)切點為，則過B點的切線方程為又B在半圓周上，P在切線上，則有解得因此。綜上可知函數(shù)的值域為 三 平面內(nèi)兩點間的距離型（或距離的平方型）例3. 已知實數(shù)x

3、、y滿足，則的最值為_.解析：目標函數(shù)，其含義是點(2,2)與可行域內(nèi)的點的距離的平方。由實數(shù)x、y所滿足的不等式組作可行域如圖所示： -111Oxy（2，2）x+y-1=0-1ABC可行域為圖中內(nèi)部（包括邊界），易求B（-2，-1），結(jié)合圖形知，點(2,2)到點B的距離為其到可行域內(nèi)點的最大值，；點(2,2)到直線x+y-1=0的距離為其到可行域內(nèi)點的最小值，。四 點到直線的距離型例4.已知實數(shù)x、y滿足的最小值。解析：目標函數(shù)，其含義是點(-2,1)與可行域內(nèi)的點的最小距離的平方減5。由實數(shù)x、y所滿足的不等式組作可行域如圖所示（直線右上方）：(-2,1)1Oxy2x+y=1點(-2,1)

4、到可行域內(nèi)的點的最小距離為其到直線2x+y=1的距離，由點到直線的距離公式可求得，故同步訓(xùn)練：已知實數(shù)x、y滿足,則目標函數(shù)的最大值是_。答案：13；五 變換問題研究目標函數(shù)例5.（山東濰坊08屆高三）已知，且的最大值是最小值的3倍，則a等于（ ）A或3 B C或2 D解析：求解有關(guān)線性規(guī)劃的最大值和最小值問題，準確畫圖找到可行域是關(guān)鍵.如圖所示，點和B點分別取得最小值和最大值. 由，由得B(1，1). . 由題意得故答案B。六 綜合導(dǎo)數(shù)、函數(shù)知識類例6.（山東省日照市2020屆高三第一次調(diào)研）已知函數(shù)，部分對應(yīng)值如下表，的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如右圖所示. 若兩正數(shù)a，b滿足的取值范圍是（ ）x204 111ABCD分析：本題的關(guān)鍵是如何從函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象中找到原函數(shù)的基本性質(zhì)，將其與所給的函數(shù)性質(zhì)聯(lián)系起來。由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，原函數(shù)在區(qū)間 -2,0為單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間（0，）為單調(diào)遞增函數(shù)。結(jié)合題中提供的函數(shù)的數(shù)據(jù)可得，另外注意到的幾何意義，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題可求解。解析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，原函數(shù)在區(qū)間 -2,0為單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間（0，）為單調(diào)遞增函數(shù)，又，故，而均為正數(shù)，可得可行域如圖，(-3,-3)42Oxy的幾何意義是可行域內(nèi)的點和（-3，-3）連線的斜率的取值范圍，故最大為點（0，4），此時為，最小為點