高中數(shù)學(xué)論文：巧解外接球的問題（通用）

1、巧解外接球問題 摘要：外接球有關(guān)計(jì)算問題在近年高考試題中屢見不鮮，本文就長(zhǎng)方體、正方體及棱錐的外接球有關(guān)問題，給出了特殊解法。關(guān)鍵詞：巧解 外接球 問題普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)立體幾何初步的學(xué)習(xí)提出了基本要求：“在立體幾何初步部分，學(xué)生將先從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)空間圖形；再以長(zhǎng)方體為載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；?！庇纱丝梢姡L(zhǎng)方體模型是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，掌握長(zhǎng)方體模型，對(duì)于學(xué)生理解立體幾何的有關(guān)問題起著非常重要的作用。有關(guān)外接球的立體幾何問題是近年各省高考試題的難點(diǎn)之一，這與學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力有關(guān)，本文通過近年來部分高考試題中外接球的問題談幾種解法。

2、一、直接法1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1 （2020年廣東高考題）若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 .解析：要求球的表面積，只要知道球的半徑即可.因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，再計(jì)算半徑.故表面積為.例2 一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為，則該球的體積為 .解析：要求球的體積，還是先得求出球的半徑，而球的直徑正好是正方體的體對(duì)角線，因此，由正方體表面積可求出棱長(zhǎng)，從而求出正方體的體對(duì)角線是所以球的半徑為.故該球的體積為.2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問題例3 （2020年天津

3、高考題）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為，則此球的表面積為 .解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因?yàn)殚L(zhǎng)方體內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑。長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為，故球的表面積為.例4、（2020年全國(guó)卷I）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（ ）.A. B. C. D. 解析：正四棱柱也是長(zhǎng)方體。由長(zhǎng)方體的體積16及高4可以求出長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為2，因此，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4，于是等同于例3，故選C.二、構(gòu)造法1、構(gòu)造正方體例5 （2020年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是

4、 .解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長(zhǎng)方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造長(zhǎng)方體，且側(cè)棱長(zhǎng)均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，如圖1，則，那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，故所求表面積是.(如圖1)圖2圖1例 6 （2020年全國(guó)卷）一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ）A. B. C. D. 解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出高線，構(gòu)造直角三角形，再計(jì)算球的半徑.在此，由于所有棱長(zhǎng)都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個(gè)

5、正方體，再尋找棱長(zhǎng)相等的四面體，如圖2，四面體滿足條件，即，由此可求得正方體的棱長(zhǎng)為1，體對(duì)角線為，從而外接球的直徑也為，所以此球的表面積便可求得，故選A. (如圖2)例7（2020年山東高考題）在等腰梯形中，為的中點(diǎn)，將與分布沿、向上折起，使重合于點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積為（ ）.A. B. C. D. 解圖3析：（如圖3） 因?yàn)?，所以，即三棱錐為正四面體，至此，這與例6就完全相同了，故選C. 例8 （2020年浙江高考題）已知球的面上四點(diǎn)A、B、C、D，則球的體積等于 .解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長(zhǎng)方體模型很快便可找到球的直徑，由于，聯(lián)想長(zhǎng)方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造如圖4所示的長(zhǎng)方體，又因?yàn)椋瑒t此長(zhǎng)方體為正方體，所以長(zhǎng)即為外接球的直徑，利用直角三角形解出.故球的體積等于.（如圖4）圖42、構(gòu)造長(zhǎng)方體例9（2020年安徽高考題）已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，若，則B、C兩點(diǎn)間的球面距離是 .圖5解析：首先可聯(lián)想到例8，構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體，于是為球的直徑，O為球心，為半徑，要求B、C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C兩點(diǎn)間的球面距離是.（如圖5）參