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文檔簡介
1、單自由度系統(tǒng)受迫振動,主講:周利東 太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 2011-10-20,教學(xué)內(nèi)容,單自由度系統(tǒng)受迫振動,線性系統(tǒng)的受迫振動 工程中的受迫振動問題 任意周期激勵的響應(yīng) 非周期激勵的響應(yīng),線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的受迫振動 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動,線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,彈簧質(zhì)量系統(tǒng),設(shè),外力幅值,外力的激勵頻率,振動微分方程:,x 為復(fù)數(shù)變量,分別與,實部和虛部分別與,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,受力分析,以靜平衡位置為坐標(biāo)原點,建立圖示的坐標(biāo)系,和,相對應(yīng),和,
2、相對應(yīng),參考文獻(xiàn)振動力學(xué)(劉延柱)P31 振動力學(xué)(倪振華)P79,振動微分方程:,顯含時間 t 非齊次微分方程,非齊次微分方程通解,齊次微分方程通解,非齊次微分方程特解,阻尼自由振動 逐漸衰減 暫態(tài)響應(yīng),持續(xù)等幅振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 本節(jié)內(nèi)容,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,振動微分方程:,設(shè):,代入,有:,復(fù)頻響應(yīng)函數(shù),振動微分方程:,引入:,振幅放大因子,相位差,則:,:穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅,靜變形,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,代入,有:,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實振幅,若:,則:,無阻尼情況:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,(1)線性系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響
3、應(yīng)是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動,(2)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)(m, k, c)和激振力的頻率及力幅,而與系統(tǒng)進(jìn)入運動的方式(即初始條件)無關(guān),結(jié)論:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動,幅頻特性,相頻特性,線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的受迫振動 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,以s為橫坐標(biāo)畫出 曲線,幅頻特性曲線,簡諧激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性:,(1)當(dāng)s1( ),激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很低,結(jié)論:響應(yīng)的振幅 A 與靜位移 B 相當(dāng),單自由度系統(tǒng)受迫振
4、動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,(2)當(dāng)s1( ),激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很高,結(jié)論:響應(yīng)的振幅 很小,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,(3)在以上兩個領(lǐng)域 s1,s1,結(jié)論:系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的,對應(yīng)于不同 值,曲線較為密集,說明阻尼的影響不顯著,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,結(jié)論:共振 振幅無窮大,(4)當(dāng),對應(yīng)于較小 值, 迅速增大,當(dāng),但共振對于來自阻尼的影響很敏感,在 s=1 附近的區(qū)域內(nèi),增加阻尼使振幅明顯下降,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,(5)對于有阻尼系統(tǒng), 并不出現(xiàn)在s=1處
5、,而且稍偏左,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,(6)當(dāng),振幅無極值,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,記:,品質(zhì)因子,在共振峰的兩側(cè)取與 對應(yīng)的兩點 ,,帶寬,Q與 有關(guān)系 :,阻尼越弱,Q越大,帶寬越窄,共振峰越陡峭,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性,相頻特性曲線,(1)當(dāng)s1( ),以s為橫坐標(biāo)畫出 曲線,相位差,位移與激振力在相位上幾乎相同,(2)當(dāng)s1( ),位移與激振力反相,(3)當(dāng),共振時的相位差為 ,與阻尼無關(guān),單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,有阻尼單自由度系統(tǒng),外部作用力規(guī)律:,假設(shè)系統(tǒng)固有頻率:,從
6、左到右:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性,線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的受迫振動 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動,受迫振動的過渡階段,在系統(tǒng)受到激勵開始振動的初始階段,其自由振動伴隨受迫振動同時發(fā)生。系統(tǒng)的響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊加,顯含 t,非齊次微分方程,非齊次微分方程 通解,齊次微分方程 通解,非齊次微分方程 特解,阻尼自由振動 逐漸衰減 暫態(tài)響應(yīng),持續(xù)等幅振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng),回顧:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,受迫振動的過渡階段,先考慮無阻尼的情況,假定正弦激勵,通解:,齊次通解,非齊次特
7、解,初始條件決定,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),特點:以系統(tǒng)固有頻率為振動頻率,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),如果是零初始條件,自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,零初始條件,(2) s 1,(1) s 1,穩(wěn)態(tài)受迫振動進(jìn)行一個循環(huán)時間內(nèi),自由伴隨振動完成多個循環(huán),自由伴隨振動進(jìn)行一個循環(huán)時間內(nèi),穩(wěn)態(tài)受迫振動完成多個循環(huán),受迫振動響應(yīng)成為自由振動響應(yīng)曲線上迭加的一個振蕩運動,受迫振動響應(yīng)成為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線上迭加的一個振蕩運動,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫
8、振動的過渡階段,由于系統(tǒng)是線性的,也可利用疊加定理求解,通解:,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,即使在零初始條件下,也有自由振動與受迫振動相伴發(fā)生,實際中總是存在著阻尼的影響,因而上式右端的暫態(tài)運動會逐漸衰減,進(jìn)而消失,最終系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,解:,的全解:,如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以 為頻率振動,必須成立:,初始條件:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,解:,的全解:,正確?,全解:,由,求一階導(dǎo)數(shù):,由,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,全解:,因此:,的全解:,相同,不同,單自
9、由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,全解:,如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以 為頻率振動,初始條件:, 0,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,若激勵頻率與固有頻率十分接近 (但并不等于),令:, 小量,考慮零初始條件,有:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,代入:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,1,可看作頻率為 但振幅按 規(guī)律緩慢變化的振動,這種在接近共振時發(fā)生的特殊振動現(xiàn)象稱為”拍”,拍的周期:,圖形包絡(luò)線:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,當(dāng),隨 t 增大,振幅無限增大,無阻尼系統(tǒng)共振的情形,響應(yīng)曲線,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡
10、階段,討論有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵的響應(yīng),初始條件響應(yīng),自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),利用前述相同的方法,有:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,初始條件響應(yīng),經(jīng)過充分長時間后,作為瞬態(tài)響應(yīng)的前兩種振動都將消失,只剩穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動,自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,初始條件響應(yīng),自由伴隨振動,強(qiáng)迫響應(yīng),對于零初始條件:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 受迫振動的過渡階段,表示出零初始條件下, 時系統(tǒng)在過渡階段的振動情況。,(a)激振力 (b)自由伴隨振動 (c)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動 (d)過渡階段的強(qiáng)迫振動,線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特
11、性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的受迫振動 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動,簡諧慣性力激勵的受迫振動,背景:地基振動,轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動 特點:激振慣性力的振幅與頻率的平方成正比例,坐標(biāo):,動力學(xué)方程:,基座位移規(guī)律 :,x1 相對基座位移,受力分析(某瞬時t),D:基座位移振幅,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,以物體與支座靜止時的平衡位置為原點,動力學(xué)方程:,回顧:,令:,有:,其中:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,幅頻曲線,相頻曲線,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,有阻尼的單自由度承受支撐運動,支撐運動:,系統(tǒng)固
12、有頻率從左到右:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,若以絕對位移 x 為坐標(biāo),其中:,則有:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,代入:,無阻尼情況:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,幅頻曲線,可看出:,當(dāng) 時,,振幅恒為支撐運動振幅D,當(dāng) 時,,振幅恒小于D,增加阻尼反而使振幅增大,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,例:,汽車的拖車在波形道路上行駛,已知拖車的質(zhì)量滿載時為 m1=1000 kg,空載時為 m2=250 kg,懸掛彈簧的剛度為 k =350 kN/m,阻尼
13、比在滿載時為,車速為 v =100 km/h,路面呈正弦波形,可表示為,求: 拖車在滿載和空載時的振幅比,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,參考文獻(xiàn)振動力學(xué)(倪振華)P107,解:,汽車行駛的路程可表示為:,路面的激勵頻率:,l =5 m,因此:,得:,c、k 為常數(shù),因此 與 成反比,因此得到空載時的阻尼比為:,滿載和空載時的頻率比:,因為有:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,滿載時頻率比,記:滿載時振幅 B1,空載時振幅 B2,有:,滿載時阻尼比,空載時阻尼比,空載時頻率比,因此滿載和空載時的振幅比:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動
14、,支承運動小結(jié),相對位移,基座位移規(guī)律 :,絕對位移,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中,偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵來源。旋轉(zhuǎn)機(jī)械總質(zhì)量為M,轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為m,偏心距為e,轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度為,x:機(jī)器離開平衡位置的垂直位移,則偏心質(zhì)量的垂直位移:,由達(dá)朗伯原理,系統(tǒng)在垂直方向的動力學(xué)方程:,簡化圖形,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,參考文獻(xiàn)振動力學(xué)(倪振華)P99,me :不平衡量,:不平衡量引起的離心慣性力,設(shè):,得:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,B 又寫為 :,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫
15、振動,例:偏心質(zhì)量系統(tǒng),共振時測得最大振幅為0.1 m,由自由衰減振動測得阻尼系數(shù)為,假定,求: (1)偏心距 e,,(2)若要使系統(tǒng)共振時振幅為0.01 m,系統(tǒng)的總質(zhì)量需要增加多少?,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,解:(1),共振時測得最大振幅為0.1 m,由自由衰減振動測得阻尼系數(shù)為,共振時最大振幅,(2)若要使系統(tǒng)共振時振幅為0.01 m,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 簡諧慣性力激勵的受迫振動,偏心質(zhì)量小結(jié),解1:,解2:,線性系統(tǒng)的受迫振動,簡諧力激勵的強(qiáng)迫振動 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性 受迫振動的過渡階段 簡諧慣性力激勵的
16、受迫振動 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動,機(jī)械阻抗與導(dǎo)納,工程中常用機(jī)械阻抗來分析結(jié)構(gòu)的動力特性,機(jī)械阻抗定義為簡諧激振時復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比,動力學(xué)方程:,:輸入,:輸出,代入,得:,復(fù)頻響應(yīng)函數(shù),根據(jù)定義,位移阻抗:,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納,位移阻抗與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)互為倒數(shù), 也稱為導(dǎo)納,輸出也可以定義為速度或加速度,相應(yīng)的機(jī)械阻抗稱為速度阻抗和加速度阻抗,速度阻抗,加速度阻抗,機(jī)械阻抗的倒數(shù)稱為機(jī)械導(dǎo)納,相應(yīng) 、 、 分別有位移導(dǎo)納、速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納,位移阻抗,速度阻抗,加速度阻抗,機(jī)械阻抗和機(jī)械導(dǎo)納都僅僅取決于系統(tǒng)本身的動力特性(m,k,c),它們都是復(fù)數(shù),現(xiàn)已有多種專門測試機(jī)械阻抗的分析儀器,根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械阻抗可以確定和分析系統(tǒng)的固有頻率,相對阻尼系數(shù)等參數(shù)及其它動力特征,單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納,復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)又可寫為:,模及
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