高考真題——理科數(shù)學(xué)(全國卷)解析版

1、20122012 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)（必修理科數(shù)學(xué)（必修+ +選修選修 II II） 本試卷分第 I 卷（選擇題）和第II 卷（非選擇題）兩部分，第I 卷第 1 至 2 頁，第 II 卷第 3 至 第 4 頁.考試結(jié)束，務(wù)必將試卷和答題卡一并上交. 第 I 卷 注意事項(xiàng)： 全卷滿分 150 分，考試時間 120 分鐘. 考生注意事項(xiàng)： 1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫 清楚，并貼好條形碼.請認(rèn)真核準(zhǔn)該條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目. 2.沒小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目

2、的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦 干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效在試題卷上作答無效. 3.第 I 卷共 12 小題，每小題5 分，共60 分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的. 一、選擇題 1、復(fù)數(shù) 13i = 1i A 2+IB2-IC 1+2iD 1- 2i 【解析】 13i(13i)(1i)2 4i 1 2i，選 C. 1i(1i)(1i)2 【答案】C 2、已知集合 A1.3. m，B1，m ,AUBA, 則 m= A0 或 3 B0 或 3C1 或 3 D1 或 3 【 解 析 】 因 為 A B A , 所 以 B A , 所 以m 3或 m

3、m . 若m 3， 則 A 1,3, 3,B 1,3,滿足A B A.若m m，解得m 0或m 1.若m 0，則 A 1,3,0,B 1,3,0，滿足AB A.若m 1，A 1,3,1,B 1,1顯然不成立，綜上 m 0或m 3，選 B. 【答案】B 3橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為4 一條準(zhǔn)線為 x=-4 ，則該橢圓的方程為 x2y2x2y2x2y2x2y2 A+=1B+=1C+=1D+=1 161212884124 【解析】橢圓的焦距為4，所以2c 4,c 2因?yàn)闇?zhǔn)線為x 4，所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上， a2 4， 所 以a2 4c 8 ，b2 a2c2 8 4 4， 所 以 橢 圓 的 方 程

4、為且 c x2y2 1，選 C. 84 【答案】C 4已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=2 2E 為 CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面 BED 的距離為 A2B 3 C 2 D1 【解析】連結(jié)AC,BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，因?yàn)镺,E是中點(diǎn)，所以O(shè)E/ AC1,且 OE 1 AC1，所以AC 1 / BDE，即直線AC 1 與平面 BED 的距離等于點(diǎn) C 到平面 BED 的距 2 離，過 C 做CF OE于F,則CF即為所求距離 .因?yàn)榈酌孢呴L為2，高為2 2，所以 AC 2 2 ,OC 2,CE 2 ,OE 2, 所 以 利 用 等 積 法 得CF 1， 選D

5、. 【答案】D （5）已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列 (A) 的前 100 項(xiàng)和為 1009999101 (B)(C)(D) 101101100100 【 解 析 】 由 a 5 5,S 5 15 , 得 a11,d 1 ， 所 以 a n 1 (n 1) n ， 所 以 1111 a n a n1 n(n 1)nn 1 ，又 111111111100 1 ，選 A. a 1a2 a 100 a 101 1223100101101101 【答案】A （6）ABC 中，AB 邊的高為 CD，若ab=0，|a|=1，|b|=2，則 (A)（B）(C)(D) ，

6、CA 2，AB 【 解 析 】 在 直 角 三 角 形 中 ， CB 15 , 則CD 2 5 , , 所 以 AD CA2CD24 AD 44 5 5 ,所以 AD4 AB5 即 4444 AB (a b) a b，選 D. 5555 3 ，則 cos2= 3 【答案】D （7）已知為第二象限角，sin cos (A) - 5555 （B）-(C)(D) 9339 31 所 以 兩 邊 平 方 得1 2sincos， 所 以 33 【 解 析 】 因 為sin cos 2sincos 2 0， 因 為 已 知 為 第 二 象 限 角 ， 所 以sin 0,cos 0， 3 2 3 515 3

7、3 ，所以 sincos1 2sincos1 cos2 cos2sin2 (cossin)(cossin)= 1535 ，選 A. 333 【答案】A （8） 已知 F1、 F2為雙曲線 C： x-y=2 的左、 右焦點(diǎn)， 點(diǎn) P 在 C 上， |PF1|=|2PF2|， 則 cosF1PF2= (A) 1334 （B）(C)(D) 4545 x2y2 1，所以a b 2,c 2，因?yàn)閨PF1|=|2PF2|，所以點(diǎn) 【解析】雙曲線的方程為 22 P 在雙曲線的右支上，則有|PF1|-|PF2|=2a=2 2,所以解得|PF2|=2 2，|PF1|=4 2，所以根 據(jù)余弦定理得cosF 1PF

8、2 【答案】C (2 2)2(4 2)214 22 2 4 2 1 2 3 ,選 C. 4 （9）已知 x=ln，y=log52，z e ，則 (A)xyz（B）zxy(C)zyx(D)yzx 11111 2y log 2 1，所以【解析】x ln1，z e 5 log 2 522 ee 1 y z x，選 D. 【答案】D (10) 已知函數(shù) yx-3x+c 的圖像與 x 恰有兩個公共點(diǎn)，則 c （A）-2 或 2 （B）-9 或 3 （C）-1 或 1 （D）-3 或 1 【解析】若函數(shù)y x 3x c的圖象與x軸恰有兩個公共點(diǎn)，則說明函數(shù)的兩個極值中有 一個為 0，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y 3x

9、3，令y 3x 3 0，解得x 1，可知當(dāng)極大值為 22 3 f (1) 2 c ， 極 小 值 為f (1) c 2. 由f (1) 2 c 0， 解 得c 2， 由 f (1) c 2 0，解得c 2，所以c 2或c 2，選 A. 【答案】A （11）將字母 a,a,b,b,c,c,排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同， 則不同的排列方法共有 （A）12 種（B）18 種（C）24 種（D）36 種 3 【解析】第一步先排第一列有A3 6，在排第二列，當(dāng)?shù)谝涣写_定時，第二列有兩種方法， 如圖 【答案】A ，所以共有62 12種，選 A. （12）正方形 ABCD 的邊

10、長為 1，點(diǎn) E 在邊 AB 上，點(diǎn) F 在邊 BC 上，AEBF 7 .動點(diǎn) P 從 E 3 出發(fā)沿直線喜愛那個 F 運(yùn)動，每當(dāng)碰到正方形的方向的邊時反彈， 反彈時反射等于入射角， 當(dāng) 點(diǎn) P 第一次碰到 E 時，P 與正方形的邊碰撞的次數(shù)為 （A）16（B）14（C）12(D)10 【解析】結(jié)合已知中的點(diǎn) E,F 的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是 平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA 點(diǎn)時，需要碰撞 14 次即可. 【答案】B 20122012 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)（必修理科數(shù)學(xué)（必修+ +選修）選修） 第卷第

11、卷 注意事項(xiàng)： 1.答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填 寫清楚，然后貼好條形碼.請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上得準(zhǔn)考證號、姓名和科目. 2.第卷共 2 頁，請用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答， 在試題卷上作試題卷上作答無效答無效. 3.第卷共 10 小題，共 90 分. 二.填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填在題中橫線上. （注意：在試題卷上作答無效在試題卷上作答無效） （13）若 x，y 滿足約束條件則 z=3x-y 的最小值為_. 【解析】 做出做出不等式所表示的區(qū)域如圖， 由z 3x y得

12、y 3x z，平移直線y 3x，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C(0,1)時，直線y 3x z的截距 最 大，此時z最小,最小值為z 3x y -1. 【答案】1 （14）當(dāng)函數(shù)取得最大值時，x=_. 【 解 析 】 函 數(shù) 為 y sin x 3cosx 2sin(x 3 ) ， 當(dāng)0 x 2時 ， 3 x 5 . 6 3 55 ，由三角函數(shù)圖象可知，當(dāng)x ，即x 時取得最大值，所以 3326 x 【答案】x 5 6 的展開式中第 3 項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)（15）若 為_. 26 【解析】因?yàn)檎归_式中的第3 項(xiàng)和第 7 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同，即C n C n ，所以n 8

13、， 所以展開式的通項(xiàng)為Tk1 C8x k8k 1 ( )k C 8 kx82k ，令82k 2，解得k 5，所以 x 11 T 6 C 8 5( )2，所以 2 的系數(shù)為C8 5 56. xx 【答案】56 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，BAA1=CAA1=60 則異面直線 AB1與 BC1所成角的余弦值為_. 【解析】 如圖設(shè)AA則 1 a,AB b,AC c,設(shè)棱長為 1， AB 1 a b, BC 1 a BC a c-b ， 因 為 底 面 邊 長 和 側(cè) 棱 長 都 相 等 ， 且 BAA 1 CAA 1 600所 以ab ac bc 1 ， 所 以

14、AB 1 (a b)23， 2 BC 1 (a c-b)22 ，AB 1 BC 1 (a b)(a c-b) 2，設(shè)異面直線的夾角為 ，所以cos 6 3 AB 1 BC 1 AB 1 BC 1 2 2 3 6 . 3 【答案】 三.解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. （17） （本小題滿分 10 分） （注意：在試卷上作答無效（注意：在試卷上作答無效） ABC 的內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，已知 cos（A-C）cosB=1，a=2c，求 c. （18） （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效） 如圖，四棱錐 P-

15、ABCD 中，底面 ABCD 為菱形，PA底面 ABCD，AC=2 2，PA=2，E 是 PC 上 的一點(diǎn)，PE=2EC. （）證明：PC平面 BED； （）設(shè)二面角 A-PB-C 為 90，求 PD 與平面 PBC 所成角的大小. 19. （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效） 乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10 平前，一方連續(xù)發(fā)球2 次后，對方再連續(xù)發(fā) 球 2 次，依次輪換.每次發(fā)球，勝方得1 分，負(fù)方得 0 分.設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā) 球方得 1 分的概率為 0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球. （）求開始第 4 次發(fā)球時，甲、乙的比分為1 比 2 的概率； （）表示開始第 4 次發(fā)球時乙的得分，求的期望. （20） （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效 ） 設(shè)函數(shù) f（x）=ax+cosx，x0，. （）討論 f（x）的單調(diào)性； （）設(shè) f（x）1+sinx，求 a 的取值范圍. 21.（本小題滿分 12 分） （注意：在試卷上作答無效） 已知拋物線 C：y=(x+1)2與圓 M： （x-1