自動(dòng)控制原理考試試題第七章習(xí)題與答案.doc

1、WORD格式可編輯第七章非線性控制系統(tǒng)分析練習(xí)題及答案7-1設(shè)一階非線性系統(tǒng)的微分方程為xx3x試確定系統(tǒng)有幾個(gè)平衡狀態(tài)，分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，并畫出系統(tǒng)的相軌跡。解令x0得3(21)(1)(1)0xxxxxxx系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe0,1,1其中：x0：穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；ex1,1：不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。e計(jì)算列表，畫出相軌跡如圖解7-1所示。x-2-11301312x-600.3850-0.38506x112010211圖解7-1系統(tǒng)相軌跡可見(jiàn)：當(dāng)x(0)1時(shí)，系統(tǒng)最終收斂到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；當(dāng)x(0)1時(shí)，系統(tǒng)發(fā)散；x(0)1時(shí)，x(t);x(0)1時(shí)，x(t)。注：系統(tǒng)為一階，故其相軌跡只有一條，不可

2、能在整個(gè)xx平面上任意分布。7-2試確定下列方程的奇點(diǎn)及其類型，并用等傾斜線法繪制相平面圖。(1)xxx0(2)x1x2xx122xx12解（1）系統(tǒng)方程為1專業(yè)知識(shí) 整理分享:xxx0(x0):xxx0(x0)令xx0，得平衡點(diǎn)：xe0。系統(tǒng)特征方程及特征根：132:ss10,sj(穩(wěn)定的焦點(diǎn))1,2222:ss10,s1.618,0.618(鞍點(diǎn))1,2xf(x,x)xx,dxdxxxxdxdx1xx,1xxx11I:1(x0)1II:1(x0)計(jì)算列表-3-1-1/301/313x0:11-1-2/302-4-2-4/3-1x0:11-1-4/3-2-420-2/3-1用等傾斜線法繪制系

3、統(tǒng)相平面圖如圖解7-2（a）所示。2圖解7-2（a）系統(tǒng)相平面圖（2）xxx112x22xx12由式：x2x1x1式代入：(x1x1)2x1(x1x1)即x12x1x10令x1x10得平衡點(diǎn)：xe0由式得特征方程及特征根為2.4 142ss2101,2（鞍點(diǎn)）0.4 14畫相軌跡，由式xx11dx1dxx12x1x1x1x12計(jì)算列表322.5311.52=1/(-2)210-1-2用等傾斜線法繪制系統(tǒng)相平面圖如圖解7-2（b）所示。7-3已知系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為xsinx0，試確定奇點(diǎn)及其類型，并用等傾斜線法繪制相平面圖。解求平衡點(diǎn)，令xx0得sinx0平衡點(diǎn)xek(k0,1,2,)。將原方程在平

4、衡點(diǎn)附近展開(kāi)為臺(tái)勞級(jí)數(shù)，取線性項(xiàng)。設(shè)F(x)xsinx0FxFxxxexex0xxex0cosxx0xk(k0,2,4,e)xx0xk(k1,3,5,e)特征方程及特征根：2k為偶數(shù)時(shí)s10,j（中心點(diǎn)）122k為奇數(shù)時(shí)s10,1（鞍點(diǎn)）12用等傾斜線法作相平面xdxdxsinxxsinx01xsinx-2-1-1/2-1/401/41/212-1/1/2124-4-2-1-1/2作出系統(tǒng)相平面圖如圖解7-3所示。47-4若非線性系統(tǒng)的微分方程為2(1)x(3x0.5)xxx0(2)xxxx0試求系統(tǒng)的奇點(diǎn)，并概略繪制奇點(diǎn)附近的相軌跡圖。解（1）由原方程得222xf(x,x)(3x0.5)xx

5、x3x0.5xxx令x1x102(1)0得xxxx解出奇點(diǎn)xe0,1在奇點(diǎn)處線性化處理。在xe0處：xf(x,x)f(x,x)xxx0xx0xx00x(12x)x(6x0.5)xx0.5xxx0xx0即x0.5xx0特征方程及特征根22.5 0.54s120.25j0.984（不穩(wěn)定的焦點(diǎn)）,2在xe1處5x(12x)xx10x(6x2.6 5)xx10xx0.5 x即x0.5xx0特征根20.5 0.541.218s（鞍點(diǎn)）1,220.718概略畫出奇點(diǎn)附近的相軌跡如圖解7-4（1）所示：（2）由原方程xf(x,x)xxx令xx0得奇點(diǎn)xe0,在奇點(diǎn)處線性化xfxfxxxx0xx0x(x1)

6、xxxxx0xx0得xx即xx0特征根sj1,2。奇點(diǎn)xe0（中心點(diǎn)）處的相軌跡如圖解7-4(2)所示。7-5非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-36所示。系統(tǒng)開(kāi)始是靜止的，輸入信號(hào)r(t)41(t)，試寫出開(kāi)關(guān)線方程，確定奇點(diǎn)的位置和類型，畫出該系統(tǒng)的相平面圖，并分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。解由結(jié)構(gòu)圖，線性部分傳遞函數(shù)為C(s)12M(s)s得c(t)m(t)6由非線性環(huán)節(jié)有0e2m(t)e(t)2e2e(t)2e2由綜合點(diǎn)得c(t)r(t)e(t)4e(t)將、代入得0e2Ie(t)2e(t)e2II2e(t)e2III開(kāi)關(guān)線方程為e(t)2:e(t)0ec(常數(shù)):ee20II令ee0得奇點(diǎn)e02特征方程

7、及特征根2s10,s,j（中心點(diǎn)）12III：ee20III令ee0得奇點(diǎn)e02特征方程及特征根2s10,s,j（中心點(diǎn)）12繪出系統(tǒng)相軌跡如圖解7-5所示，可看出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)周期振蕩狀態(tài)。7-6圖7-37所示為一帶有庫(kù)侖摩擦的二階系統(tǒng)，試用相平面法討論庫(kù)侖摩擦對(duì)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響。7解由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖有:c0C(s)51E(s)s0.5s12:c0s(0.5s12)C(s)5E(s)2.7 5c0.6 c3cc5e5ecc00III因?yàn)閏re1e代入式有e6e10e0e0Ie2e10e0e0II特征方程與特征根I:2s6s100s3j(穩(wěn)定的焦點(diǎn)1,2)II:2s2s100s11,2j3(不

8、穩(wěn)定的焦點(diǎn))依題意c(0)0,c(0)0可得e(0)1c(0)1e(0)c(0)0以(1,0)為起點(diǎn)概略作出系統(tǒng)相軌跡?？梢?jiàn)系統(tǒng)階躍響應(yīng)過(guò)程是振蕩收斂的。7-7已知具有理想繼電器的非線性系統(tǒng)如圖7-38所示。圖7-38具有理想繼電器的非線性系統(tǒng)試用相平面法分析：8（1）Td0時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)；（2）Td0.5時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，并說(shuō)明比例微分控制對(duì)改善系統(tǒng)性能的作用；（3）Td2時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。解依結(jié)構(gòu)圖，線性部分微分方程為cu非線性部分方程為u11eeTedTde00開(kāi)關(guān)線方程：e1eTd由綜合口：cre1e、代入并整理得e11eeTedTed00在I區(qū)：eedede1220（拋物線）解出：ee(e

9、)同理在II區(qū)可得：220（拋物線）ee(e)開(kāi)關(guān)線方程分別為Td0時(shí)，e0;Td0.5時(shí)，e2e;Td2時(shí)，e0.5e.概略作出相平面圖如圖解7-7所示。圖習(xí)題集P178T8-109由相平面圖可見(jiàn)：加入比例微分控制可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當(dāng)微分作用增強(qiáng)時(shí)，系統(tǒng)振蕩性減小，響應(yīng)加快。7-8具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)如圖7-39所示，試用相平面法分析系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。解非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為e|e|ayMeaMea線性部分的微分方程式為圖7-39非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖TccKy考慮到rce，上式又可以寫成TeeKyTrr輸入信號(hào)為階躍函數(shù)，在t0時(shí)有，rr0，因此有TeeKy0根據(jù)已知的非線性特性，系

10、統(tǒng)可分為三個(gè)線性區(qū)域。區(qū)：系統(tǒng)的微分方程為TeeKe0(ea)按前面確定奇點(diǎn)的方法，可知系統(tǒng)在該區(qū)有一個(gè)奇點(diǎn)（0，0），奇點(diǎn)的類型為穩(wěn)定焦點(diǎn)。圖解7-8（a）為區(qū)的相軌跡，它們是一簇趨向于原點(diǎn)的螺旋線。區(qū)：系統(tǒng)的微分方程為TeeKM0(ea)設(shè)一般情況下，初始條件為e(0)e0,e(0)e。則上式的解為0tTe(t)e0(e0KM)T(e0KM)TeKMt對(duì)上式求一次導(dǎo)數(shù)，得tTe(t)(e0KM)eKM故當(dāng)初始條件eKM時(shí)，相軌跡方程為eKM。0當(dāng)eKM時(shí)，相軌跡方程為0ee0(ee)TKMTln0ee0KMKM10由此可作出該區(qū)的相軌跡，如圖解7-8(b)所示，相軌跡漸進(jìn)于直線eKM。區(qū)：

11、此時(shí)系統(tǒng)的微分方程為TeeKM0(ea)將區(qū)相軌跡方程中的KM改變符號(hào)，即得區(qū)的相軌跡方程eKM(eKM0)ee0(ee)TKMT0lnee0KMKM(e0KM)該區(qū)的相軌跡如圖解7-8（b）所示。將以上各區(qū)的相軌跡連接起來(lái)，便是系統(tǒng)的整個(gè)相平面圖，如圖解7-8（c）所示。假使系統(tǒng)原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則在階躍輸入作用時(shí)，相軌跡的起始點(diǎn)應(yīng)為e(0)R,e(0)0。此時(shí)的系統(tǒng)的相平面圖如圖解7-8（d）所示。由圖可知，系統(tǒng)在階躍輸入作用時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。動(dòng)態(tài)過(guò)程具有衰減振蕩性質(zhì)，最大超調(diào)量可從圖中量得。圖解7-8非線性系統(tǒng)的相平面圖117-9試推導(dǎo)非線性特性yx3的描述函數(shù)。解y(t

12、)A3sin3t314A234B21Asintdt00142(1co2st)dt333AAA2222cos(12tcos2t)dtsin2t0023Aco4st12dt023A333AAA30cos4dt22tdt222400N(A)BA11jAA32A47-10三個(gè)非線性系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)一樣，線性部分分別為(1)G(s)1s(0.1s1)(2)G(s)2s(s1)(3)G(s)2(1.5s1)s(s1)(0.1s1)試問(wèn)用描述函數(shù)法分析時(shí)，哪個(gè)系統(tǒng)分析的準(zhǔn)確度高？解線性部分低通濾波特性越好，描述函數(shù)法分析結(jié)果的準(zhǔn)確程度越高。分別作出三個(gè)系統(tǒng)線性部分的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖解7-10所示。12由

13、對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可見(jiàn)，L2的高頻段衰減較快，低通濾波特性較好，所以系統(tǒng)（2）的描述函數(shù)法分析結(jié)果的準(zhǔn)確程度較高。7-11將圖7-40所示非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化成環(huán)節(jié)串聯(lián)的典型結(jié)構(gòu)圖形式，并寫出線性部分的傳遞函數(shù)。圖7-40非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解(a)將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖解7-11（a）的形式。G(s)G1(s)1H1(s)(b)將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖解7-11(b)的形式。G(s)H(s)11G(s)1G(s)17-12判斷題7-41圖中各系統(tǒng)是否穩(wěn)定；1N(A)與G(j)兩曲線交點(diǎn)是否為自振點(diǎn)。13題7-41圖自振分析解（a）不是（b）是（c）是（d）a、c點(diǎn)是，b點(diǎn)不是（e）是（f）a點(diǎn)不是，b

14、點(diǎn)是（g）a點(diǎn)不是，b點(diǎn)是（h）系統(tǒng)不穩(wěn)定（i）系統(tǒng)不穩(wěn)定（j）系統(tǒng)穩(wěn)定7-13已知非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖742所示圖7-427-13題圖圖中非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為A6N(A)(A0)A214試用描述函數(shù)法確定：（1）使該非線性系統(tǒng)穩(wěn)定、不穩(wěn)定以及產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，線性部分的值范圍；（2）判斷周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的振幅和頻率。解（1）1(A2)N(A)A611,N(0)3N1()1dN(A)42dA(A2)0N(A)單調(diào)降，1N(A)也為單調(diào)降函數(shù)。畫出負(fù)倒描述函數(shù)曲線1N(A)和G(j)曲線如圖解7-13所示，可看出，當(dāng)K從小到大變化時(shí)，系統(tǒng)會(huì)由穩(wěn)定變?yōu)樽哉瘢罱K不穩(wěn)定。求使I

15、mG(j)0的值：令G(j)902arctg180得arctg45,1令Gj()1K2211K2131KK13232可得出K值與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系：15（2）由圖解7-13可見(jiàn)，當(dāng)1N(A)和G(j)相交時(shí)，系統(tǒng)一定會(huì)自振。由自振條件N(A)G(j)1AA6221(A6)K2A46K42A解出(K2)2K317-14具有滯環(huán)繼電特性的非線性控制系統(tǒng)如圖7-43（a）所示，其中M1,h1。（1）當(dāng)T0.5時(shí)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若存在自振，確定自振參數(shù)；（2）討論T對(duì)自振的影響。圖7-43非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及自振分析解具有滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為4Mh4hM2N(A)1()j,2AAAAh代入M1,

16、h1，有N(A)4A1(1)A24j2AN112A(1()j)12AAA(A)41111224(1()j)(1()j)AAAA1j416其負(fù)倒描述函數(shù)1N(A)曲線如題7-43（b）所示，G(j)曲線位于第三象限，兩曲線必然有交點(diǎn)，且該點(diǎn)為自振點(diǎn)。G(s)5(Ts2s1)G(j)52j5TG(j)N1(A)根據(jù)虛部相等，有5Tjj420T自振角頻率隨T增大而增大，當(dāng)T0.5時(shí)，3.18。根據(jù)實(shí)部相等，有(52A20T42)1解出非線性輸入端振幅為2A14400T當(dāng)T0.5時(shí)，A1.18。自振振幅隨T增大而減小。7-15非線性系統(tǒng)如圖7-44所示，試用描述函數(shù)法分析周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，并確定系統(tǒng)輸

17、出信號(hào)振蕩的振幅和頻率。17解將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖解7-15。G(j)101010j22j(j1)1(1)N(A)4A12.8A2j40.72A4A10.6A2j0.2A1A1N(A)40.20.221jAA4A120.2 0.2jAA令G(j)與1N(A)的實(shí)部、虛部分別相等得1021A410.2A2102(1)0.240.157兩式聯(lián)立求解得3.91,A0.806。10.806由圖7-44，r(t)0時(shí)，有c()，所以c(t)的振幅為0.161(t)e(t)xt55。7-16用描述函數(shù)法分析圖7-45所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并判斷系統(tǒng)是否存在自振。若存在自振，求出自振振幅和自振頻率（Mh）。圖7-45非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖18解因?yàn)镸h，所以當(dāng)xc0時(shí)N1(A)環(huán)節(jié)輸出為Mh，N2(A)環(huán)節(jié)輸出也為Mh。同樣N3(A)輸出也是M；當(dāng)x0時(shí)情況類似。所以實(shí)際上N2(A)和N3(A)不起作用，系統(tǒng)可等效為如圖解7-16（a）的形式。畫出1N(A)和G(j)曲線如圖解7-16（b）所示?？梢?jiàn)系統(tǒng)一定自振。由自振條件N1(A)G(j)14M10即1Aj(1j)(2j)40M22j(1j)(2j)3j(2A)比較實(shí)