隱函數(shù)組.ppt

1、隱函數(shù)組的存在性、連續(xù)性與可微性是函數(shù)方程組求解問題的理論基礎(chǔ). 利用隱函數(shù)組的一般思想, 又可進(jìn)而討論反函數(shù)組與坐標(biāo)變換等特殊問題.,返回,2 隱 函 數(shù) 組,三、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換,一、隱函數(shù)組概念,二、隱函數(shù)組定理,一、隱函數(shù)組概念,設(shè)有一組方程,則稱由 (1) 確定了隱函數(shù)組,之對(duì)應(yīng), 能使,其中 定義在 若存在,并有,關(guān)于隱函數(shù)組的一般情形 ( 含有 m + n 個(gè)變量的,m 個(gè)方程所確定的 n 個(gè)隱函數(shù) )，在本章不作詳,細(xì)討論,首先來看看, 若由方程組 (1) 能確定兩個(gè)可微的隱,足何種條件呢?,不妨先設(shè) 都可微, 由復(fù)合求導(dǎo)法, 通過對(duì) (1),分別求關(guān)于 x 與關(guān)于 y 的偏

2、導(dǎo)數(shù), 得到,能由 (2) 與 (3) 惟一解出 的充要,條件是雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零，即,由此可見，只要 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且,其中 是滿足 (1) 的某一,初始點(diǎn), 則由保號(hào)性定理， 使得在此鄰域,內(nèi) (4)式成立,根據(jù)以上分析, 便有下述隱函數(shù)組定理.,雅可比（ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德國(guó) ）,定理 18.4 ( 隱函數(shù)組定理 ) 設(shè)方程組 (1) 中的函數(shù),F 與 G 滿足下列條件：,(i) 在以點(diǎn) 為內(nèi)點(diǎn)的某區(qū)域,上連續(xù)；,(ii) (初始條件);,(iii) 在 V 內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；,(iv),二、隱函數(shù)組定理,即有,

3、則有如下結(jié)論成立：,且滿足,使得,在 上連續(xù).,在 上存在一階連續(xù)偏導(dǎo),數(shù), 且有,本定理的詳細(xì)證明從略 ( 第二十三章有一般隱函,數(shù)定理及其證明 ), 下面只作一粗略的解釋:, 由方程組 (1) 的第一式 確定隱,函數(shù), 將 代入方程組(1) 的第二式, 得, 再由此方程確定隱函數(shù) 并代回至,這樣就得到了一組隱函數(shù),通過詳細(xì)計(jì)算, 又可得出如下一些結(jié)果:,例1 設(shè)有方程組,試討論在點(diǎn) 的近旁能確定怎樣的隱函,數(shù)組？并計(jì)算各隱函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù).,解 易知點(diǎn) 滿足方程組 (5) . 設(shè),它們?cè)?上有連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù). 再考察,在點(diǎn) 關(guān)于所有變量的雅可比矩陣,由于,因此由隱函數(shù)組定理可知, 在點(diǎn)

4、 近旁可以惟一,地確定隱函數(shù)組:,但不能肯定 y , z 可否作為 x 的兩個(gè)隱函數(shù).,運(yùn)用定理 18.4 的結(jié)論 , 可求得隱函數(shù)在點(diǎn) 處,的導(dǎo)數(shù)值:,*注 通過詳細(xì)計(jì)算, 還能求得,這說明 處取極大值, 從而知道,在點(diǎn) 的任意小鄰域內(nèi), 對(duì)每一個(gè) x 的值, 會(huì)有,多個(gè) y 的值與之對(duì)應(yīng). 類似地, 對(duì)每一個(gè) x 的值,也會(huì)有多個(gè) z 的值與之對(duì)應(yīng). 所以方程組 (5) 在點(diǎn),近旁不能惟一確定以 x 作為自變量的隱函數(shù)組.,例 2 設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),是由方程組,所確定的隱函數(shù)組. 試求,解 設(shè) 則有,由此計(jì)算所需之雅可比行列式:,于是求得,注 計(jì)算隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù) ( 或?qū)?shù) )

5、比較繁瑣,要學(xué)懂前兩例所演示的方法 ( 利用雅可比矩陣和,雅可比行列式 ), 掌握其中的規(guī)律. 這里特別需要,“ 精心細(xì)心耐心 ”.,三、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換,設(shè)有一函數(shù)組,它確定了一個(gè)映射 ( 或變換 ) :,寫成點(diǎn)函數(shù)形式, 即為 并記 的,象集為 現(xiàn)在的問題是: 函數(shù)組 (6) 滿足,何種條件時(shí), 存在逆變換 即存在,亦即存在一個(gè)函數(shù)組,使得滿足,這樣的函數(shù)組 (7) 稱為函數(shù)組 (6) 的反函數(shù)組. 它,的存在性問題可化為隱函數(shù)組的相應(yīng)問題來處理.,為此, 首先把方程組 (6) 改寫為,然后將定理 18. 4 應(yīng)用于 (8) , 即得下述定理.,定理 18. 5 (反函數(shù)組定理) 設(shè) (

6、6) 中函數(shù)在某區(qū)域,上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 是,的內(nèi)點(diǎn), 且,則在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi), 存在惟一,此外, 反函數(shù)組 (7) 在 內(nèi)存在連續(xù)的一階,的一組反函數(shù) (7) , 使得,偏導(dǎo)數(shù); 若記,則有,同理又有,由 (9) 式進(jìn)一步看到:,此式表示: 互為反函數(shù)組的 (6) 與 (7) , 它們的雅,可比行列式互為倒數(shù), 這和以前熟知的反函數(shù)求,導(dǎo)公式相類似. 于是可把一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù),組 (6) 的雅可比行列式看作對(duì)應(yīng)物.,例3 平面上點(diǎn)的直角坐標(biāo) 與極坐標(biāo) 之,間的坐標(biāo)變換為,試討論它的逆變換.,解 由于,因此除原點(diǎn) (r = 0) 外, 在其余一切點(diǎn)處, T 存在,逆變換,例4 空間直角坐標(biāo) 與球坐標(biāo) 之間,的坐標(biāo)變換為 ( 見圖185 ),由于,因此在 ( 即除去 Oz 軸上的一切點(diǎn) ) 時(shí),存在逆變換,例5 設(shè)有一微分方程 (弦振動(dòng)方程) :,其中 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 試問此方程在,種形式?,解 據(jù)題意, 是要把方程 (10) 變換成以 u, v 作為自,變量的形式. 現(xiàn)在按此目標(biāo)計(jì)算如下: 首先有,故 T 的逆變換存在, 而且又有,依據(jù)一階微分形式不變性, 得到,并由此推知,繼續(xù)求以 u, v 為自變量