2017-2018版高中數(shù)學第三章圓錐曲線與方程3.1雙曲線及其標準方程學案北師大版選修2

1、3.1雙曲線及其標準方程學習目標1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題.知識點一雙曲線的定義思考如圖，若取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點M處，拉開或閉攏拉鏈，筆尖經(jīng)過的點可畫出一條曲線，那么曲線上的點應滿足怎樣的幾何條件？梳理(1)平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的_等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的軌跡叫作雙曲線._叫作雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫作雙曲線的_.(2)關于“小于|F1F2|”：若將“小于|F1F2|”改為“等于

2、|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的_(包括端點)；若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡不存在.(3)若將“絕對值”去掉，其余條件不變，則動點的軌跡只有雙曲線的_.(4)若常數(shù)為零，其余條件不變，則點的軌跡是_.知識點二雙曲線的標準方程思考1雙曲線的標準方程的推導過程是什么？思考2雙曲線中a，b，c的關系如何？與橢圓中a，b，c的關系有何不同？梳理(1)兩種形式的標準方程焦點所在的坐標軸x軸y軸標準方程圖形焦點坐標a，b，c的關系式(2)焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型.“焦點跟著正項走”，若x

3、2項的系數(shù)為正，則焦點在_上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在_上.(3)雙曲線的焦點位置不確定時可設其標準方程為Ax2By21(AB0).判斷：若2a2c|F1F2|，滿足定義，則動點M 的軌跡就是雙曲線，且2c|F1F2|，b2c2a2，進而求出相應a，b，c.根據(jù)F1，F(xiàn)2所在的坐標軸寫出雙曲線的標準方程.跟蹤訓練2下列命題是真命題的是_.(將所有真命題的序號都填上)已知定點F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿足|PF1|PF2|的點P的軌跡為雙曲線；已知定點F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則滿足|PF1|PF2|4的點P的軌跡為兩條射線；到定點F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)距離之差的絕對

4、值等于7的點P的軌跡為雙曲線；若點P到定點F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離的差的絕對值等于點M(1,2)到點N(3，1)的距離，則點P的軌跡為雙曲線.類型二待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程例3(1)已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線過點(3，4)和，求雙曲線的標準方程；(2)求與雙曲線1有公共焦點，且過點(3，2)的雙曲線方程.反思與感悟待定系數(shù)法求方程的步驟(1)定型：即確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸.(2)設方程：根據(jù)焦點位置設出相應的標準方程的形式，若不知道焦點的位置，則進行討論，或設雙曲線的方程為Ax2By21(AB0，b0)共焦點的雙曲線的標準方程可設為1(b2k2c)

5、|PF1|PF2|2a(|F1F2|2c,2ab0)1或1(a0，b0)圖形特征封閉的連續(xù)曲線分兩支，不封閉，不連續(xù)根據(jù)標準方程確定a，b的方法以大小分a，b(如1中，94，則a29，b24)以正負分a，b(如1中，40，9b0)具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓C上任意一點，設直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值.試對雙曲線C：1寫出具有類似特殊的性質(zhì)，并加以證明.1.若雙曲線E：1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于()A.11 B.9 C.5 D.32.設F1，F(xiàn)

6、2分別是雙曲線x21的左，右焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積等于()A.4 B.8 C.24 D.483.已知圓C：x2y26x4y80，以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則所得雙曲線的標準方程為_.4.已知雙曲線2x2y2k(k0)的焦距為6，則k的值為_.5.已知雙曲線1上一點M的橫坐標為5，則點M到左焦點的距離是_.1.雙曲線定義的理解(1)定義中距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支.設F1，F(xiàn)2表示雙曲線的左，右焦點，若|MF1|MF2|2a，則點M在右支上；若|MF2|MF1|2a，則點M在左支上.(2)雙曲線定義的雙向運

7、用：若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，則動點M的軌跡為雙曲線.若動點M在雙曲線上，則|MF1|MF2|2a.2.求雙曲線標準方程的步驟(1)定位：是指確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定方程的形式.(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解.特別提醒：若焦點的位置不明確，應注意分類討論，也可以設雙曲線方程為mx2ny21的形式，為簡單起見，常標明條件mn0，b0).(5)檢驗：從上述過程可以看到，雙曲線上任意一點的坐標都滿足方程；以方程的解(x，y)為坐標的點到雙曲線兩個焦點(c,0)，(c,0)的距離之差的絕對值為2a，即

8、以方程的解為坐標的點都在雙曲線上，這樣，就把方程叫作雙曲線的標準方程.(此步驟可省略)思考2雙曲線標準方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a與b的大小關系不確定；而在橢圓中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c與b的大小關系不確定.梳理(1)1(a0，b0)1(a0，b0)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a2b2c2(2)x軸y軸(4)c2a2a2c2題型探究例1解由1，得a3，b4，c5.由定義和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|

9、PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|sinF1PF26416.引申探究解由雙曲線方程知a3，b4，c5，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100，將代入得|PF1|PF2|32，所以|PF1|PF2|16.跟蹤訓練1解在MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos .|F1F2|24c2，|MF1|2|MF2|

10、2(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|4a22|MF1|MF2|，式化為4c24a22|MF1|MF2|(1cos )，|MF1|MF2|，SMF1F2|MF1|MF2|sin .例2(1)A(2)x21(x1)跟蹤訓練2例3解(1)設所求雙曲線方程為1(a0，b0)，則解得雙曲線的標準方程為1.(2)方法一設所求雙曲線方程為1(a0，b0)，由題意易求得c2.又雙曲線過點(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求雙曲線方程為1.方法二設雙曲線方程為1(4k0，b0)，c，b2c2a26a2.由題意知1，1，解得a25或a230(舍).b21.雙曲線的標準方程為y21

11、.(2)設雙曲線方程為mx2ny21(mn0，b0)，則a2b220.又雙曲線過點(3，)，1.a2202，b22.所求雙曲線的標準方程為1.例4證明如圖所示，設|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，則在PF1F2中，對于雙曲線有|r2r1|2m，cos 21，1cos 2.sin .則在PF1F2中，對于橢圓有r1r22a，cos 21，1cos 2，cos ，tan .跟蹤訓練4(1)解橢圓1的焦點坐標為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，故可設雙曲線的標準方程為1.由題意，知解得故雙曲線的方程為1.(2)解類似的性質(zhì)如下：若M，N為雙曲線1上關于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上任意一點，設直