2018年秋九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第4章 銳角三角函數(shù) 4.4 解直角三角形的應(yīng)用教案 （新版）湘教版

1、44解直角三角形的應(yīng)用第1課時(shí)俯角和仰角問題教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】比較熟練地應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)解決與仰角、俯角有關(guān)的實(shí)際問題【過程與方法】通過學(xué)習(xí)進(jìn)一步掌握解直角三角形的方法【情感態(tài)度】培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)解決與仰角、俯角有關(guān)的實(shí)際問題【教學(xué)難點(diǎn)】選用恰當(dāng)?shù)闹苯侨切危治鼋忸}思路教學(xué)過程一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知海中有一個(gè)小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？你是如何想的？與同伴進(jìn)行

2、交流【教學(xué)說明】經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用二、思考探究，獲取新知1某探險(xiǎn)者某天到達(dá)如圖所示的點(diǎn)A處，他準(zhǔn)備估算出離他的目的地海拔為3500m的山峰頂點(diǎn)B處的水平距離你能幫他想出一個(gè)可行的辦法嗎？分析：如圖，BD表示點(diǎn)B的海拔，AE表示點(diǎn)A的海拔，ACBD，垂足為點(diǎn)C.先測(cè)量出海拔AE，再測(cè)出仰角BAC，然后用銳角三角函數(shù)的知識(shí)就可以求出A、B之間的水平距離AC.【歸納結(jié)論】當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫作仰角，在水平線下方的角叫作俯角2如圖，在離上海東方明珠塔底部1000m的A處，用儀器測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5，儀器

3、距地面高為1.7m.求上海東方明珠塔的高度(結(jié)果精確到1m)解：在RtABC中，BAC25，AC1000m，因此tan25BC1000tan25466.3(m)，上海東方明珠塔的高度(約)為466.31.7468米【教學(xué)說明】利用實(shí)際問題承載數(shù)學(xué)問題，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣教師要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從而解決問題三、運(yùn)用新知，深化理解1如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)C，此時(shí)飛行高度AC1200米，從飛機(jī)上看地平面控制點(diǎn)B的俯角1631，求飛機(jī)A到控制點(diǎn)B的距離(精確到1米)分析：利用正弦可求解：在RtABC中sinBAB4221(米)答：飛機(jī)A到控制點(diǎn)B的距離約為422

4、1米2熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30，看這棟高樓底部的俯角為60，熱氣球與高樓的水平距離為120m.這棟高樓有多高(結(jié)果精確到0.1m)?分析：在RtABD中，30，AD120.所以可以利用解直角三角形的知識(shí)求出BD；類似地可以求出CD，進(jìn)而求出BC.解：如圖，30，60，AD120.tan，tan，BDADtan120tan3012040，CDADtan120tan60120120.BDBDCD40120160227.1答：這棟高樓約高277.1m.3如圖，在離樹BC 12米的A處，用測(cè)角儀測(cè)得樹頂?shù)难鼋鞘?0，測(cè)角儀AD高為1.5米，求樹高BC.(計(jì)算結(jié)果可保留根號(hào)

5、)分析：本題是一個(gè)直角梯形的問題，可以通過過點(diǎn)D作DEBC于E，把求CB的問題轉(zhuǎn)化求BE的長(zhǎng)，從而可以在BDE中利用三角函數(shù)解：過點(diǎn)D作DEBC于E，則四邊形DECA是矩形，DEAC12米CEAD1.5米在直角BED中，BDE30，tan30，BEDEtan304米BCBECE(4)米4廣場(chǎng)上有一個(gè)充滿氫氣的氣球P，被廣告條拽著懸在空中，甲乙二人分別站在E、F處，他們看氣球的仰角分別是30、45，E點(diǎn)與F點(diǎn)的高度差A(yù)B為1米，水平距離CD為5米，F(xiàn)D的高度為0.5米，請(qǐng)問此氣球有多高？(結(jié)果保留到0.1米)分析：由于氣球的高度為PAABFD，而AB1米，F(xiàn)D0.5米，故可設(shè)PAh米，根據(jù)題意，

6、列出關(guān)于h的方程可求解解：設(shè)APh米，PFB45，BFPB(h1)米，EABFCDh15(h6)米，在RtPEA中，PAAEtan30，h(h6)tan30，氣球的高度約為PAABFD8.210.59.7米【教學(xué)說明】鞏固所學(xué)知識(shí)要求學(xué)生學(xué)會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；根據(jù)題意思考題目中的每句話對(duì)應(yīng)圖中的哪個(gè)角或邊，本題已知什么，求什么四、師生互動(dòng)、課堂小結(jié)先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié)教師作以補(bǔ)充課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習(xí)題4.4”中第2、4、5題教學(xué)反思本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有關(guān)仰角、俯角的解直角三角形的應(yīng)用題，對(duì)于這些問題，一方面要把它們轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題，另一

7、方面，針對(duì)轉(zhuǎn)化而來的數(shù)學(xué)問題應(yīng)選用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)加以解決第2課時(shí)坡度和方位角問題教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1了解測(cè)量中坡度、坡角的概念；2掌握坡度與坡角的關(guān)系，能利用解直角三角形的知識(shí)，解決與坡度、與弧長(zhǎng)的有關(guān)實(shí)際問題【過程與方法】通過對(duì)例題的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題【情感態(tài)度】進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力【教學(xué)重點(diǎn)】能利用解直角三角形的知識(shí)，解決與坡度、與弧長(zhǎng)有關(guān)的實(shí)際問題【教學(xué)難點(diǎn)】能利用解直角三角形的知識(shí)，解決與坡度、與弧長(zhǎng)的有關(guān)實(shí)際問題教學(xué)過程一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知如圖所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一個(gè)傾斜程度比較大？顯然，斜坡A1B1的傾斜程度比較大，說

8、明A1A.從圖形可以看出，即tanA1tanA.【教學(xué)說明】通過實(shí)際問題的引入，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣二、思考探究，獲取新知1坡度的概念，坡度與坡角的關(guān)系如上圖，這是一張水庫攔水壩的橫斷面的設(shè)計(jì)圖，坡面的鉛垂高度與水平前進(jìn)的距離的比叫作坡度(或坡比)，記作i，即i，坡度通常用lm的形式，例如上圖中的12的形式坡面與水平面的夾角叫作坡角，記作.從三角函數(shù)的概念可以知道，坡度與坡角的關(guān)系是itanB，顯然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡2如圖，一山坡的坡度為i12，小剛從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了240米到達(dá)點(diǎn)C，這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米？(角度精確到0.01，長(zhǎng)度精確到0.1米)3如

9、圖，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東30方向上，已知在燈塔C的四周30km內(nèi)有暗礁問這艘船繼續(xù)向東航行是否安全？【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的已知條件分別代表的是什么，將圖形中的信息轉(zhuǎn)化為圖形中的已知條件，再分析圖形求出問題學(xué)生獨(dú)立完成三、運(yùn)用新知，深化理解1如圖，在山坡上種樹，要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)是5.5m，測(cè)得斜坡的傾斜角是24，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是多少(精確到0.1m)分析：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題畫出圖形解：已知：在RtABC中，C90，AC5.5，A24，求AB.在

10、RtABC中，cosA，AB6.0(米)答：斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離約是6.0米2同學(xué)們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個(gè)問題請(qǐng)你解決：如圖水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i13，斜坡CD的坡度i12.5，求斜坡AB的坡面角，壩底寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)(精確到0.1m)解：作BEAD，CFAD，在RtABE和RtCDF中，AE3BE32369(m)FD2.5CF2.52357.5(m)ADAEEFFD69657.5132.5(m)因?yàn)樾逼翧B的坡度itan0.3333，所以1826.sin，AB72.7(m)答：斜坡AB的坡角約為1826，壩底寬AD為

11、132.5米，斜坡AB的長(zhǎng)約為72.7米3龐亮和李強(qiáng)相約周六去登山，龐亮從北坡山腳C處出發(fā)，以24米/分鐘的速度攀登，同時(shí)，李強(qiáng)從南坡山腳B處出發(fā)如圖，已知小山北坡的坡度i1，山坡長(zhǎng)為240米，南坡的坡角是45.問李強(qiáng)以什么速度攀登才能和龐亮同時(shí)到達(dá)山頂A？(將山路AB、AC看成線段，結(jié)果保留根號(hào))解：過點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，在RtADC中，由i1得tanC，C30.ADAC240120(米)在RtABD中，B45，ABAD120(米)120(24024)1201012(米/分鐘)答：李強(qiáng)以12米/分鐘的速度攀登才能和龐亮同時(shí)到達(dá)山頂A.4某公園有一滑梯，橫截面如圖所示，AB表示樓梯，BC表示

12、平臺(tái)，CD表示滑道若點(diǎn)E，F(xiàn)均在線段AD上，四邊形BCEF是矩形，且sinBAF，BF3米，BC1米，CD6米求：(1)D的度數(shù)；(2)線段AE的長(zhǎng)解：(1)四邊形BCEF是矩形，BFECEF90，CEBF，BCFE，BFACED90，CEBF，BF3米，CE3米，CD6米，CED90，D30.(2)sinBAF，BF3米，AB米，AF米，AE米5日本福島發(fā)生核電站事故后，我國國家海洋局高度關(guān)注事態(tài)發(fā)展，緊急調(diào)集海上巡邏的海檢船，在相關(guān)海域進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)與海水采樣，針對(duì)核泄漏在極端情況下對(duì)海洋環(huán)境的影響及時(shí)開展分析評(píng)估如圖，上午9時(shí)，海檢船位于A處，觀測(cè)到某港口城市P位于海檢船的北偏西67.5方

13、向，海檢船以21海里/時(shí)的速度向正北方向行駛，下午2時(shí)海檢船到達(dá)B處，這時(shí)觀察到城市P位于海檢船的南偏西36.9方向，求此時(shí)海檢船所在B處與城市P的距離(參考數(shù)據(jù)：sin36.9，tan36.9，sin67.5，tan67.5)分析：過點(diǎn)P作PCAB，構(gòu)造直角三角形，設(shè)PCx海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，從而求出x的值，再根據(jù)三角函數(shù)值求出BP的值即可解答解：過點(diǎn)P作PCAB，垂足為C，設(shè)PCx海里在RtAPC中，tanA，AC在RtPCB中，tanB，BC從上午9時(shí)到下午2時(shí)要經(jīng)過五個(gè)小時(shí)，ACBCAB215，215，解得x60.sinB，PB60100(海里)海檢船所在B處與城市

14、P的距離為100海里【教學(xué)說明】通過練習(xí)，鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容四、師生互動(dòng)、課堂小結(jié)先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié)教師作以補(bǔ)充課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習(xí)題4.1”中第1、6、7題教學(xué)反思通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知識(shí)解決與坡度、坡角有關(guān)的實(shí)際問題，特別是與梯形有關(guān)的實(shí)際問題，懂得通過添加輔助線把梯形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決復(fù)習(xí)與提升教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1了解銳角三角函數(shù)的概念，熟記30、45、60的正弦、余弦和正切的函數(shù)值2能夠正確地使用計(jì)算器，由已知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角的度數(shù)3會(huì)用解直角三

15、角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題【過程與方法】通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)，體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想【情感態(tài)度】通過解直角三角形的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用【教學(xué)重點(diǎn)】會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題【教學(xué)難點(diǎn)】會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題教學(xué)過程一、知識(shí)結(jié)構(gòu)【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生回顧本章知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生系統(tǒng)地了解本章知識(shí)及它們之間的關(guān)系二、釋疑解惑，加深理解1正弦的概念：在直角三角形中，我們把銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫作角的正弦記作sin，即：sin.2余弦的概念：在直角三角形中，我們把銳角的鄰邊與斜邊的比叫作角的余弦記作cos.即cos.3正切的概

16、念：在直角三角形中，我們把銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫作角的正切記作tan，即：tan4特殊角的三角函數(shù)值：三角函數(shù)sincostan30451605.三角函數(shù)的概念：我們把銳角的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱為角的銳角三角函數(shù)6解直角三角形的概念：在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的過程，叫作解直角三角形7仰角、俯角的概念：當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫作仰角，在水平線下方的角叫作俯角8坡度的概念：坡面的鉛垂線高度與水平前進(jìn)的距離的比叫作坡度(或坡比)；記作i，坡度通常用lm的形式；坡面與水平面的夾角叫作坡角，記作.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)

17、生回憶本章所學(xué)的有關(guān)概念，知識(shí)點(diǎn)加深學(xué)生的印象三、運(yùn)用新知，深化理解1已知，如圖，D是ABC中BC邊的中點(diǎn)，BAD90，tanB，求sinDAC.解：過D作DEAB交AC于E，則ADEBAD90，由tanB，得，設(shè)AD2k，AB3k，D是ABC中BC邊的中點(diǎn)，DEk在RtADE中，AEk，sinDAC.2計(jì)算：tan230cos230sin245tan45解：原式()2()2()213如圖所示，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，DEAB，垂足為E，sinA，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()DE3cm；BE1cm；菱形的面積為15cm2；BD2 cm.A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)分析：由菱形的周長(zhǎng)為20cm知

18、菱形邊長(zhǎng)是5cm.在RtADE中，AD5cm，sinA，DEADsinA53(cm)AE4(cm)BEABAE541(cm)菱形的面積為ABDE5315(cm2)在RtDEB中，BD(cm)綜上所述正確【答案】C4如圖所示，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60方向，與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45方向上的B處，求此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離(結(jié)果保留根號(hào))分析：由題意知，在ABP中A60，B45，APB75聯(lián)想到兩個(gè)三角板拼成的三角形因此很自然作PCAB交AB于C.解：過點(diǎn)P作PCAB，垂足為C，則APC30，BPC45，AP80，在RtAPC中，cosAPC.PCPAcosAPC40，在RtPCB中，cosBPC，PB40當(dāng)輪船位于燈塔P南偏東45方向時(shí)，輪船與燈塔P的距離是40海里【教學(xué)說明】通過上面的解題分析，再對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行總結(jié)，能夠促進(jìn)理解，提高認(rèn)知水平，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的形成和發(fā)展四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，鞏固提高1如圖，ABC是等邊三角形，P是ABC的平分線BD上一點(diǎn)，PEAB于點(diǎn)E，線段BP的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)Q.若BF2，則PE的長(zhǎng)為()A2B2C3D3分析：ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是ABC的平分線上一點(diǎn)，EBPQBF30，BF2，F(xiàn)QBP，BQBFcos30.FQ是BP的垂直平分線，B