2018年高考數(shù)學一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 11.3 二項式定理學案 理

1、11.3二項式定理考綱展示1.能利用計數(shù)原理證明二項式定理2會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題考點1二項展開式中特定項或系數(shù)問題二項式定理二項式定理(ab)n_二項式系數(shù)二項展開式中各項系數(shù)C(k0,1，n)二項式通項Tk1_，它表示第_項答案：CanCan1bCankbkCbn(nN*)Cankbkk1(1)教材習題改編(12x)7的展開式的第4項的系數(shù)是_答案：280解析：展開式中，Tr1C(2x)rC(2)rxr，當r3時，T4C(2)3x3280x3，所以第4項的系數(shù)為280.(2)教材習題改編12的展開式的常數(shù)項是_答案：495解析：展開式中，Tr1Cx12rr(1)rCx

2、123r，當r4時，T5C495為常數(shù)項.典題1(1)在二項式5的展開式中，含x4的項的系數(shù)是()A10 B10 C5 D20答案A解析由二項式定理可知，展開式的通項為C(1)rx103r，令103r4，得r2，所以含x4項的系數(shù)為C(1)210，故選A.(2)2017吉林長春模擬5的展開式中的常數(shù)項為()A80 B80 C40 D40答案C解析Tr1C(x2)5rr(2)rCx105r，由105r0，得r2，T3(2)2C40.(3)2015湖南卷已知5的展開式中含x的項的系數(shù)為30，則a()A. B C6 D6答案D解析Tr1C()5rrC(a)rx，由，解得r1.由C(a)30，得a6.

3、故選D.(4)8的展開式中的有理項共有_項答案3解析8的展開式的通項為Tr1C()8rrrCx (r0,1,2，8)，為使Tr1為有理項，r必須是4的倍數(shù)，所以r0,4,8，故共有3個有理項(5)二項式n的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為_答案5解析二項展開式的的通項是Tr1Cx3n3rx2rCx3n5r，令3n5r0，得n(r0,1,2，n)，故當r3時，n有最小值5.點石成金1.求展開式中的特定項，可依據(jù)條件寫出第k1項，再由特定項的特點求出k的值即可2已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)，可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第k1項，由特定項得出k的值，最后求出其參數(shù)考點2二項式

4、系數(shù)及項的系數(shù)問題 二項式系數(shù)的性質(zhì)答案：相等遞增的遞減的一項兩項2n2n1二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別已知(1x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為_答案：29解析：因為展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以CC，解得n10.根據(jù)二項式系數(shù)和的相關公式得，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2n129.1.系數(shù)和：賦值法若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a0a2a4的值為_答案：8解析：令x1，得a0a1a2a3a40；令x1，得a0a1a2a3a416.故a0a2a48.2通項公式：Tr1Canrbr.7的展開式中x5的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫答案)答案

5、：35解析：Tr1C(x3)7rrCx214r，令214r5，得r4，因此x5的系數(shù)為C35.典題22017四川成都一中模擬設(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為()A2 B1 C1 D2答案A解析令等式中x1，可得a0a1a2a11(11)(1)92，故選A.點石成金1.賦值法研究二項式的系數(shù)和問題“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可；對形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令xy1即可2

6、二項式系數(shù)最大項的確定方法(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項第項與第1項的二項式系數(shù)相等并最大.1.在(1x)n(xN*)的二項展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n()A8 B9 C10 D11答案：C解析：二項式中僅x5的系數(shù)最大，其最大值必為，即得5，解得n10.2若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且a1a2a663，則實數(shù)m的值為()A1或3 B3C1 D1或3答案：D解析：令x0，得a0(10)61.令x1，得(1m)6a0a1a2a6.又a1a2a3a663，(1m)66426，m1或m3.考點3多項式展開式中的特定項或系數(shù)問題考情

7、聚焦在高考中，常常涉及一些多項式問題，主要考查學生的化歸能力主要有以下幾個命題角度：角度一幾個多項式和的展開式中的特定項(系數(shù))問題典題32017山東榮成模擬在1(1x)(1x)2(1x)3(1x)4(1x)5的展開式中，含x2項的系數(shù)是()A10 B15 C20 D25答案C解析含x2項的系數(shù)為CCCC20.角度二幾個多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題典題42015新課標全國卷(ax)(1x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a_.答案3解析設(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2

8、a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.角度三三項展開式中的特定項(系數(shù))問題典題52015新課標全國卷(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A10 B20 C30 D60答案C解析解法一：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的項為T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的項為Cx4xCx5.所以x5y2的系數(shù)為CC30.故選C.解法二：(x2xy)5為5個x2xy之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC30.故選C.點石成金1.對于幾個多項式和的展開式中的特定項(系數(shù))問題，只需依據(jù)二項展開式的通項，從每一項中分別得到特

9、定的項，再求和即可2對于幾個多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復或遺漏3對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決考點4二項式定理的應用典題6(1)設aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，則a()A0 B1 C11 D12答案D解析512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52Ca，C522 012C522 011C52能被13整除，且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除，又0a2n1(n3，nN*)證明當n3，nN*時，2n(11)n

10、CCCCCCCC2n22n1，不等式成立點石成金1.整除問題和求近似值是二項式定理的兩類常見的應用問題，整除問題中要關注展開式的最后幾項，而求近似值則應關注展開式的前幾項2二項式定理的應用基本思路是正用或逆用二項式定理，注意選擇合適的形式3由于(ab)n的展開式共有n1項，故可通過對某些項的取舍來放縮，從而達到證明不等式的目的190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余數(shù)是()A1 B1 C87 D87答案：B解析：190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10項均能被88整除，余數(shù)是1.方法技巧二項展開

11、式的通項Tk1Cankbk中含有a，b，n，k，Tk1五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求第五個元素，這類問題一般是利用二項式定理把問題歸納為解方程(或方程組)的問題，這里必須注意n是正整數(shù)，k是非負整數(shù)，且kn.(1)第m項：此時k1m，直接代入通項(2)常數(shù)項：即項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程(3)有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程 真題演練集訓 12016新課標全國卷(2x)5的展開式中，x3的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫答案)答案：10解析：由(2x)5，得Tr1C(2x)5r()r25 rCx，令53，得r4，此時系數(shù)為10.22016北京卷在(12

12、x)6的展開式中，x2的系數(shù)為_(用數(shù)字作答)答案：60解析：(1 2x)6的展開式的通項Tr1C(2)rxr，當r2時，T3C(2)2x260x2，所以x2的系數(shù)為60.32016天津卷8的展開式中x7的系數(shù)為_(用數(shù)字作答)答案：56解析：二項展開式的通項Tr1C(x2)8rr(1)rCx163r，令163r7，得r3，故x7的系數(shù)為C56.42016山東卷若5的展開式中x5的系數(shù)是80，則實數(shù)a_.答案：2解析：5的展開式的通項Tr1C(ax2)5rxCa5rx，令10r 5，得r2，所以Ca380，解得a2.52014新課標全國卷(xy)(xy)8的展開式中x2y7的系數(shù)為_(用數(shù)字填

13、寫答案)答案：20解析：x2y7x(xy7)，其系數(shù)為C，x2y7y(x2y6)，其系數(shù)為C，x2y7的系數(shù)為CC82820. 課外拓展閱讀 二項展開式中賦值法的應用典例在(2x3y)10的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)的和；(2)各項系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；(5)x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和審題視角求二項式系數(shù)的和或各項系數(shù)的和的問題，常用賦值法求解解設(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各項系數(shù)的和即為a0a1a10，奇數(shù)項系數(shù)的和為a0a2a10，偶數(shù)項的系數(shù)和為a1a3a5a9，

14、x的奇次項系數(shù)和為a1a3a5a9，x的偶次項系數(shù)和為a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求出相關的系數(shù)和(1)二項式系數(shù)的和為CCC210.(2)令xy1，各項系數(shù)和為(23)10(1)101.(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為CCC29.偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為CCC29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101.令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇數(shù)項系數(shù)的和為；，得2(a1a3a9)1510，偶數(shù)項系數(shù)的和為.(5)x的奇次項系數(shù)和為a1a3a5a9；x的偶次項系數(shù)和為a0a2a4a10.方法點睛(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求