2018版高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 蘇教版選修2-1

1、22.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握橢圓的定義，會用橢圓的定義解決實(shí)際問題.2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題知識點(diǎn)一橢圓的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距知識點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1 (ab0)1 (ab0)焦點(diǎn)(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a、b、c的關(guān)系c2a2b2c2a2b2思考(1)橢圓定義中，將“大于F1F2”改為“等于F1F2”或“小于F1F2”的常數(shù)

2、，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？(2)確定橢圓的方程需要知道哪些量？答案(1)當(dāng)距離之和等于F1F2時(shí)，動點(diǎn)的軌跡就是線段F1F2；當(dāng)距離之和小于F1F2時(shí)，動點(diǎn)的軌跡不存在(2)a，b的值及焦點(diǎn)所在的位置題型一用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4,0)，(4,0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和是10；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)解(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因?yàn)?a10，所以a5.又因?yàn)閏4，所以b2a2c252429.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上

3、，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)(0,2)和(1,0)，所以故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.反思與感悟求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要“先定型，再定量”，即要先判斷焦點(diǎn)位置，再用待定系數(shù)法設(shè)出適合題意的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后由條件確定待定系數(shù)即可當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定時(shí)，應(yīng)按焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上進(jìn)行分類討論，但要注意ab0這一條件當(dāng)已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，把橢圓的方程設(shè)成Ax2By21(A0，B0，AB)的形式有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：列出的方程組中分母不含字母；不用討論焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而簡化求解過程跟蹤訓(xùn)練1求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(，2)和B(2，1)兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

4、程解方法一(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，依題意有解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，依題意有解得此時(shí)不符合ab0，所以方程組無解故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二設(shè)所求橢圓的方程為Ax2By21(A0，B0且AB)，依題意有解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.題型二橢圓定義的應(yīng)用例2已知兩定點(diǎn)F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動點(diǎn)P滿足PF1PF22F1F2.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若F1PF2120，求PF1F2的面積解(1)依題意知F1F22，PF1PF22F1F242F1F2，點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，且

5、2a4,2c2，a2，c1，b，故所求點(diǎn)P的軌跡方程為1.(2)設(shè)mPF1，nPF2，則mn2a4.在PF1F2中，由余弦定理，得F1Fm2n22mncosF1PF2，4(mn)22mn(1cos 120)，解得mn12.mnsinF1PF212sin 1203.反思與感悟在橢圓中，由橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成的焦點(diǎn)三角形引出的問題很多要解決這些題目，我們經(jīng)常利用橢圓的定義、正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，這就需要我們在解題時(shí)，要充分理解題意，分析條件，利用橢圓定義、正弦定理、余弦定理及三角形面積公式之間的聯(lián)系建立三角形中的邊角之間的關(guān)系在解題中，經(jīng)常把PF1PF2看作一個(gè)整體來處理跟蹤訓(xùn)練

6、2如圖所示，已知過橢圓1的右焦點(diǎn)F2的直線AB垂直于x軸，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)求AF1B的周長解由題意知，點(diǎn)A，B在橢圓1上，所以a5，故有AF1AF22a10，BF1BF22a10，AF2BF2AB，所以AF1B的周長為AF1BF1ABAF1BF1AF2BF2(AF1AF2)(BF1BF2)2a2a20.題型三與橢圓有關(guān)的軌跡問題例3 已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，BC8，且ABC的周長等于18.求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程解以過B、C兩點(diǎn)的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示 由BC8可知點(diǎn)B(4,0)，C(4,0)由ABACBC18得AB

7、AC108BC，因此，點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，這個(gè)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之和2a10，但點(diǎn)A不在x軸上由a5，c4，得b2a2c225169.所以點(diǎn)A的軌跡方程為1(y0)反思與感悟利用橢圓的定義求軌跡方程，是先由題意找到動點(diǎn)所滿足的條件，看其是否符合橢圓的定義，再確定橢圓的方程跟蹤訓(xùn)練3 已知圓A：(x3)2y2100，圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3,0)，圓P過點(diǎn)B且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程解如圖，設(shè)圓P的半徑為r，又圓P過點(diǎn)B，PBr. 又圓P與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10，兩圓的圓心距PA10r，即PAPB10(大于AB6)圓心P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓2a10,2cAB6.a

8、5，c3，b2a2c225916.圓心P的軌跡方程為1.1設(shè)F1，F(xiàn)2為定點(diǎn)，F(xiàn)1F26，動點(diǎn)M滿足MF1MF26，則動點(diǎn)M的軌跡是_答案線段解析MF1MF26F1F2，動點(diǎn)M的軌跡是線段2已知橢圓4x2ky24的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，則實(shí)數(shù)k的值是_答案2解析由題意得，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，又其一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，故11，解得k2.3設(shè)P是橢圓1上一點(diǎn)，P到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差為2，則PF1F2是_三角形答案直角解析根據(jù)橢圓的定義知PF1PF28.又PF1PF22，所以PF15，PF23.而F1F24，所以F1FPFPF，所以PF1F2是直角三角形4“mn0”是“方程mx2ny21表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的_條件答案充要解析方程可化為1.若mn0，則00，可得mn0.5已知橢圓1上一點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2的連線夾角為直角，則PF1PF2_.答案48解析依題意知，a7，b2，c5，F(xiàn)1F22c10.由于PF1PF2，所以由勾股定理得PFPFF1F，即PFPF100.又由橢圓定義知PF1PF22a14，(PF1PF2)22P