2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.7 柱、錐、臺和球的體積學(xué)案（含解析）新人教B版必修2

1、1.1.7柱、錐、臺和球的體積1.了解柱、錐、臺和球的體積計算公式.(重點)2.能夠運用柱、錐、臺、球的體積公式求簡單幾何體的體積.(重點)3.臺體的體積及簡單幾何體的體積計算.(難點)基礎(chǔ)初探教材整理1祖暅原理閱讀教材P28P29“中間”以上內(nèi)容，完成下列問題.1.“冪勢既同，則積不容異”，即“夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”.2.作用：等底面積、等高的兩個柱體或錐體的體積相等.判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的某個平面所截，如果截得的兩個截

2、面面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.()(2)錐體的體積只與底面積和高度有關(guān)，與其具體形狀無關(guān).()(3)由V錐體Sh，可知三棱錐的任何一個面都可以作為底面.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2柱體、錐體、臺體和球的體積公式閱讀教材P29P31“第2行”以上內(nèi)容，完成下列問題.其中S、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r和r分別表示上、下底面圓的半徑，R表示球的半徑.名稱體積(V)柱體棱柱Sh圓柱r2h錐體棱錐Sh圓錐r2h臺體棱臺h(SS)圓臺h(r2rrr2)球R3圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則其體積為()A.15B.30C.12D.36【解析】圓錐的高h4，故V32412.

3、【答案】C小組合作型求柱體的體積 某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖11100所示，則該幾何體的體積是()圖11100A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3【精彩點撥】【自主解答】該幾何體為一個組合體，左側(cè)為三棱柱，右側(cè)為長方體，如圖所示.VV三棱柱V長方體433436187290(cm3).【答案】B1.解答此類問題的關(guān)鍵是先由三視圖還原作出直觀圖，然后根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)在直觀圖中求出計算體積所需要的數(shù)據(jù).2.若由三視圖還原的幾何體的直觀圖由幾部分組成，求幾何體的體積時，依據(jù)需要先將幾何體分割分別求解，最后求和.再練一題1.一個幾何體的三視圖如圖11101

4、所示，該幾何體的體積是()圖11101A.164 B.124 C.8 D.4【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個平放的直三棱柱，棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2，所以該幾何體的體積為2224，選D.【答案】D求錐體的體積如圖11102三棱臺ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱錐A1ABC，三棱錐BA1B1C，三棱錐CA1B1C1的體積之比.圖11102【精彩點撥】【自主解答】設(shè)棱臺的高為h，SABCS，則S4S.VSABChSh，VShSh.又V臺h(S4S2S)Sh，VV臺VVShSh，體積比為124.三棱柱、三棱臺可以分割成三個三棱錐，分割后可求錐體的體積和柱體或臺體的體

5、積關(guān)系，割補法在立體幾何中是一種重要的方法.再練一題2.在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體，則截去8個三棱錐后，剩下的凸多面體的體積是() 【導(dǎo)學(xué)號：】A. B.C.D.【解析】如圖，去掉的一個棱錐的體積是，剩余幾何體的體積是18.【答案】D求臺體的體積已知正四棱臺兩底面邊長分別為20 cm和10 cm，側(cè)面積是780 cm2.求正四棱臺的體積.【精彩點撥】可以嘗試借助四棱臺內(nèi)的直角梯形.求出棱臺底面積和高，從而求出體積.【自主解答】如圖所示，正四棱臺ABCDA1B1C1D1中，A1B110 cm，AB20 cm.取A1B1的中點E1，AB的中點E，則E1E是側(cè)面

6、ABB1A1的高.設(shè)O1、O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1是直角梯形.由S側(cè)4(1020)E1E780，得EE113，在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15，OEAB10，O1O12，V正四棱臺12(1022021020)2 800 (cm3).故正四棱臺的體積為2 800 cm3.求臺體的體積關(guān)鍵是求出上、下底面的面積和臺體的高.要注意充分運用棱臺內(nèi)的直角梯形或圓臺的軸截面尋求相關(guān)量之間的關(guān)系.再練一題3.本例若改為“正四棱臺的上、下兩底的底面邊長分別為2 cm和4 cm，側(cè)棱長為2 cm，求該棱臺的體積.”【解】如圖，正四棱臺ABCDA1B1C1D1中，上、下底面邊長分

7、別為2 cm和4 cm，則O1B1 cm，OB2 cm，過點B1作B1MOB于點M，那么B1M為正四棱臺的高，在RtBMB1中，BB12 cm，MB(2) (cm).根據(jù)勾股定理MB1(cm).S上224 (cm2)，S下4216(cm2)，V正四棱臺(416)28 (cm3).求球的體積過球面上三點A，B，C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半，且ABBCCA3 cm，求球的體積和表面積.【精彩點撥】解決本題要充分利用已知條件，尤其是球半徑，截面圓半徑和球心距構(gòu)成的直角三角形.【自主解答】如圖，設(shè)過A，B，C三點的截面為圓O，連接OO、AO、AO.ABBCCA3 cm，O為正三角形ABC的

8、中心，AOAB (cm).設(shè)OAR，則OOR，OO截面ABC，OOAO，AOR (cm)，R2 cm，V球R3(cm3)，S球4R216(cm2).即球的體積為 cm3，表面積為16 cm2.球的基本性質(zhì)是解決與球有關(guān)的問題的依據(jù)，球半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要方法.再練一題4.如果三個球的半徑之比是123，那么最大球的體積是其余兩個球的體積之和的()A.1倍 B.2倍C.3倍D.4倍【解析】半徑大的球的體積也大，設(shè)三個球的半徑分別為x,2x,3x，則最大球的半徑為3x，其體積為(3x)3，其余兩個球的體積之和為x3(2x)3，(3x)3

9、3.【答案】C探究共研型空間幾何體的體積探究1設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且，求的值.【提示】設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由，得，則.由圓柱的側(cè)面積相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，則，所以.探究2把長和寬分別為6和3的矩形卷成一個圓柱的側(cè)面，求這個圓柱的體積.【提示】設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為l，當(dāng)2r6時，r，l3，所以V圓柱r2l3.當(dāng)2r3時，r，l6，所以V圓柱r2l6.所以這個圓柱的體積為或.如圖11103所示，在長方體ABCDABCD中，用截面截下一個棱錐CADD，求棱錐CADD

10、的體積與剩余部分的體積之比. 【導(dǎo)學(xué)號：】圖11103【精彩點撥】先求出棱錐的體積，再求得剩余部分的體積，最后求得體積之比.【自主解答】法一設(shè)ABa，ADb，DDc，則長方體ABCDABCD的體積Vabc，又SADDbc，且三棱錐CADD的高為CDa.V三棱錐CADDSADDCDabc.則剩余部分的幾何體體積V剩abcabcabc.故V棱錐CADDV剩abcabc15.法二已知長方體可以看成側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ADDABCCB，設(shè)它的底面ADDA面積為S，高為h，則它的體積為VSh.而棱錐CADD的底面面積為S，高為h，因此棱錐CADD的體積VCADDShSh.剩余部分的體積是ShShSh.

11、所以棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比為ShSh15.1.常見的求幾何體體積的方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可.(3)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.2.求幾何體體積時需注意的問題柱、錐、臺體的體積的計算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計算.再練一題5.如圖11104所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，過頂點B，D，A1截下一個三棱錐.圖11104(1)求剩余部分的體積；(2)求三棱錐AA1BD的高.【解】(1)VSABDA1

12、AABADA1Aa3.故剩余部分的體積VV正方體Va3a3a3.(2)由(1)知VVa3，設(shè)三棱錐AA1BD的高為h，則VSh(a)2ha2h，故a2ha3，解得ha.1.如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4，那么圓柱的體積等于()A.B.2C.4D.8【解析】設(shè)軸截面正方形的邊長為a，由題意知S側(cè)aaa2.又S側(cè)4，a2.V圓柱22.【答案】B2.如圖11105，某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是()圖11105【解析】由三視圖的概念可知，此幾何體高為1，其體積VShS，即底面積S，結(jié)合選項可知，俯視圖為三角形.【答案】C3.已知圓錐SO的高為4，體積為4，則底面半徑r_.【解析】由已知得4r24，解得r.【答案】4.一個幾何體的三視圖如圖11106所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.圖11106【解析】此幾何體是由一個長為3，寬為2，高為1的長方體與底面直徑為2，高為3的圓錐組合而成的，故VV長方體V圓錐32112