[課件]概率與統(tǒng)計(jì)-4.3-協(xié)方差.相關(guān)系數(shù)與矩.ppt

1、20.7.30,4.3 協(xié)方差.相關(guān)系數(shù)與矩,D(XY)=D(X) D(Y)+2EXE(X)YE(Y),D(XY)=D(X) D(Y) 2EXE(X)YE(Y),當(dāng)研究的問題涉及多個(gè)隨機(jī)變量的時(shí)候, 變量與變量之間的關(guān)系, 是必須關(guān)注的一個(gè)方面.,本節(jié)介紹的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)就是描述隨機(jī)變量之間相互關(guān)系的數(shù)字特征.,20.7.30,定義4.3.1 若EXE(X)YE(Y)存在，稱 Cov( X,Y )=EXE(X)YE(Y) 為隨機(jī)變量(X,Y)的協(xié)方差.,有 D(X)= Cov(X, X )；,一.協(xié)方差,D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y ),協(xié)方差的性質(zhì)：,1.Cov( X,

2、 Y ) Cov( Y, X ) ；,20.7.30,3.Cov( X1+X2 , Y ) Cov( X1,Y )+Cov( X2 ,Y ).,常用計(jì)算公式：,cov( X,Y )E(XY) E(X)E(Y),例4.3.1,例4.3.2,2.Cov( aX, bY ) ab Cov( X,Y ), a, b是常數(shù)；,20.7.30,二、相關(guān)系數(shù),定義4.3.2 設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y 的D(X)0, D(Y)0 , 稱,為隨機(jī)變量X與Y 的相關(guān)系數(shù).,注 1）XY是一無(wú)量綱的量.,2）,標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的協(xié)方差,20.7.30,性質(zhì) 設(shè)隨機(jī)變量X,Y 的相關(guān)系數(shù)存在，則,1） |1;,證 明,相關(guān)

3、系數(shù)是衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間線性相關(guān)程度的數(shù)字特征.,練習(xí) 將一枚硬幣重復(fù)拋擲n次, X, Y 分別表示正面朝上和反面朝上的次數(shù)，則XY,1,20.7.30,注1 若隨機(jī)變量X, Y 的相關(guān)系數(shù)XY存在,2）XY-1，則0 稱 X, Y 負(fù)相關(guān)；,1）若XY1，,3）XY0，稱 X, Y 不相關(guān).,注2 XY0 僅說明X, Y 之間沒有線性關(guān)系，但可以有其他非線性關(guān)系.,參見講義P114 例4.4.4,中的0, 稱 X, Y 正相關(guān)；,20.7.30,定理4.3.1 若隨機(jī)變量X 與Y 相互獨(dú)立，則X 與Y 不相關(guān)，即有 XY0 .,注2 若(X,Y)N(1,21; 2 , 22; ) ,則 X

4、, Y 相互獨(dú)立 XY0 .,注1 此定理的逆定理不成立, 即由XY0 不能得到X 與Y 相互獨(dú)立.,例4.3.3,參見P116 例4.4.6,例4.3.5,例4.3.4,20.7.30,定義4.3.3 設(shè)n 維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn) 的協(xié)方差,均存在, 稱矩陣 為(X1, X2 , Xn) 的協(xié)方差矩陣.,Cij = Cov( Xi , Xj ),20.7.30,其中有 Cov( X,Y )=EXE(X)YE(Y),D(X)= cov(X,X ),三、協(xié)方差矩陣的性質(zhì),例4.3.6,3）C是非負(fù)定矩陣；,對(duì)稱陣,20.7.30,四.矩,定義4.3.4 設(shè)X為隨機(jī)變量, 若E(|X|k)

5、 +, 稱 gk= E(Xk) k=1,2,3. 為X的 k 階原點(diǎn)矩.,稱ak =E(|X|k), k=1,2,3.為X的 k 階絕對(duì)原點(diǎn)矩.,定義4.3.5 設(shè) X 為隨機(jī)變量,若E|XE(X)|k +, 稱 mk= EXE(X)k k=1,2,3. 為X的k 階中心矩.,20.7.30,稱 bk =E|XE(X)|k k=1,2,3.為X 的k 階絕對(duì)中心矩.,其中 D(X)=EXE(X)2=E(X2) E(X)2,注意到 2=D(X), 1=E(X), 2=E(X2),更一般的, 因1=0, 可得,20.7.30,數(shù)學(xué)期望線性性質(zhì),隨機(jī)變量的矩是數(shù)！,20.7.30,例4.3.1 (X

6、,Y)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)服從均勻分布,求Cov(X, Y) .,解 因,同理有,20.7.30,故 Cov(X, Y)=E (XY)E (X) E(Y) = E (XY）,20.7.30,例4.3.2 設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立同 分布，且其方差為 ，令,計(jì)算協(xié)方差,解,20.7.30,20.7.30,1） |1,定理證明,20.7.30,或者,20.7.30,20.7.30,例4.3.3 (X,Y)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)服從均勻分布,20.7.30,已計(jì)算得 Cov(X, Y)=0.,隨機(jī)變量不相關(guān)不一定相互獨(dú)立!,當(dāng)x2+y21,20.7.30,例4.3.4 設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）在

7、矩形 G=(x, y)|0 x2，0y1上服從均勻 分布記,求UV .,20.7.30,關(guān)鍵是求E(UV),可先求出UV分布律.,解 由已知可得,20.7.30,20.7.30,例4.3.5 某集裝箱中放有100件產(chǎn)品, 其中一、二、三等品分別為80、10、10件. 現(xiàn)從中任取一件，記,關(guān)鍵是求E(X1X2),求出X1X2分布律,需求,20.7.30,解 由已知可得,E(X1X2)=1PX1X2=10PX1X2=0 =10 01=0,20.7.30,20.7.30,例4.3.6 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y ) 的聯(lián)合概率密度為,求: (X, Y )的協(xié)方差矩陣。,分析 計(jì)算(X, Y )的協(xié)方

8、差矩陣, 本質(zhì)上就是計(jì)算X、Y 的方差和協(xié)方差.,20.7.30,解 先計(jì)算 E(X), E(Y),20.7.30,為計(jì)算方差, 再計(jì)算 E(X 2), E(Y 2),20.7.30,得到,為計(jì)算協(xié)方差, 計(jì)算 E(XY ),20.7.30,得到,Cov( X, Y ),于是, (X, Y ) 的協(xié)方差矩陣為,20.7.30,例4.3.7 設(shè)隨機(jī)變量 X、Y 相互獨(dú)立,X N(1, 2), Y N(0, 1), 求 Z = 2XY + 3 的概率密度。,解 Z是相互獨(dú)立的正態(tài)分布隨機(jī)變量X、Y 的線性組合, 故 Z也服從正態(tài)分布; 計(jì)算 Z的均值和方差, 有,E(Z) = 2 E(X)E(Y) + 3 = 20 + 3 = 5,D(Z) = 4 D(X) + D(Y) = 42 + 1 = 9,20.7.30,因此, Z N( 5, 32 ), 其概率密度為,20.7.30,例4.3.7 (習(xí)題四第21題, P122 ) 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) N( 1, 32; 0, 42; 0.5 ), 并且,試求:,(1) Z 的數(shù)學(xué)期望和方差; (2) X與Z 的相關(guān)系數(shù) XZ ; (3) X與Z 是否相互獨(dú)立?,20.7.30,解,協(xié)方差,(2)