2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 8.7 拋物線學(xué)案 文

1、8.7拋物線梳理知識(shí)1.拋物線的定義平面內(nèi)固定點(diǎn)F和固定線L (FL)距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線。點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，直線L稱為拋物線的準(zhǔn)則。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)3.必須記住結(jié)論(1)拋物線y2=2px (p 0)從上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)f的距離| pf |=x0，也稱為拋物線的焦點(diǎn)半徑。(2) y2=ax焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)則方程式為x=-。(3)直線AB經(jīng)過拋物線y2=2PX (P0)的焦點(diǎn)，與兩個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)相交。 y1 y2=-p2，x1x2=。 | ab |=x1 x2 p，x1 x2 2=p，即x1=x2時(shí)弦長至少為2 p。定值。弦長AB=(是AB的

2、傾斜角)。直徑AB的圓與指針相切。焦點(diǎn)f在a，b在準(zhǔn)則上投影的長角為90。診斷自檢1.概念推測(1)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡(例如點(diǎn)f和線性l的距離)必須是拋物線。（）(2)方程式y(tǒng)=ax2 (a 0)表示的曲線是專注于x軸的拋物線，焦點(diǎn)座標(biāo)為x=-()(3)拋物線是中心對(duì)稱圖和軸對(duì)稱圖。（）(4)通過拋物線的焦點(diǎn)垂直于拋物線對(duì)稱軸的直線被拋物線修剪的線段稱為拋物線路徑，拋物線x2=-2ay (a 0)的路徑長度為2a()答案(1)(2)(3)(4)2.教材進(jìn)化(1)(選擇A1-1P64A組T2)拋物線Y=X2 (A 0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.或b .C.d .答案c解釋將方程式寫為X2=AY，如果A0，

3、則P=，焦點(diǎn)為F；如果A0，則p=-，洞口聚焦于f .然后選擇c .(2)(選擇A1-1P61示例4)如果拋物線Y2=8X的焦點(diǎn)通過傾斜角度為45的直線，則拋物線修剪的弦長為()A.8b.16C.32d.64答案b拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2，0)，求直線的方程式為y=x-2，如果y2=8x被替代(x-2)，則2=8x，即x2-12x 4=；3.解小問題，解身(1)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2-=1的漸近線的距離為()A.b .C.1 D答案b解決方案包括拋物線y2=4x、2p=4p=2、焦點(diǎn)坐標(biāo)(1，0)、雙曲線的漸近方程為y=x。x-y=取0之一，點(diǎn)到點(diǎn)大選的距離公式為d=.(2)(

4、2018更正)如圖所示，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長度分別為A，b(a0)通過C，F(xiàn) 2點(diǎn)=_ _ _ _ _ _ _ _。回答1分析| od |=，| de |=b，| DC |=a，| ef |=b，所以c，f，拋物線y2=2px (P0)通過c，f 2點(diǎn)。那樣的話就有了。B2=a2 2ab，2-2-1=0，1，=1。問題1拋物線的定義和應(yīng)用(2016浙江高考)如果拋物線y2=4x的點(diǎn)m到焦點(diǎn)的距離為10，則m到y(tǒng)軸的距離為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。拋物線定義法?；卮?分析設(shè)置M(x0，y0)，焦點(diǎn)f (1，0)作為拋物線方程式。根據(jù)拋物線的定義，| MF |=x0

5、1=10，x0=9，即從點(diǎn)m到y(tǒng)軸的距離為9。條件探索1將先例條件更改為“通過牙齒拋物線焦點(diǎn)F的直線相交拋物線A，B兩點(diǎn)，如果| AF |=3”，得到AOB的面積。解開焦點(diǎn)F(1，0)，將A，B分別置于象限1，4，從點(diǎn)A到準(zhǔn)則L: X=-1的距離為3，A的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為2，AB的方程式為Y=2 (X-1)條件探索2尋找典型條件拋物線上的點(diǎn)m，然后將其變更為| ma | | MF |最小值，其中a (3，2)。取得m點(diǎn)座標(biāo)和目前最小值。如圖所示，點(diǎn)a位于拋物線y2=4x內(nèi)，可以通過拋物線的定義來識(shí)別。| ma | | MF |=| ma | | MH |其中|MH|是m到拋物線準(zhǔn)線的距離。

6、穿過a的拋物線形準(zhǔn)線的垂直線位于M1，垂直于B。然后| ma | | MF |=| ma | | MH | | ab |=4，只有在點(diǎn)m牙齒M1位置時(shí)等號(hào)才成立。此時(shí)，M1點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)。方法技巧使用拋物線定義可以解決的常見問題1.軌跡問題：使用拋物線的定義，可以確定移動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)、線性距離的軌跡是否為拋物線。請(qǐng)參閱先例。2.距離問題：處理拋物線點(diǎn)到指針的距離問題時(shí)，注意在故障診斷中利用兩者之間的關(guān)系進(jìn)行徐璐轉(zhuǎn)換。請(qǐng)參閱條件探索2。3.看準(zhǔn)則，聚焦，看焦點(diǎn)，思考準(zhǔn)則是解決拋物線焦點(diǎn)弦相關(guān)問題的重要方法。沖破關(guān)卡，瞄準(zhǔn)訓(xùn)練(2017湖北2模式)將拋物線y2=4x設(shè)定為焦點(diǎn)，a、b、c設(shè)定為

7、拋物線的3點(diǎn)，=0時(shí)，| fa | | FB | | fc |的值為()A.3 B.6C.9 D.12答案b拋物線分析y2=4x焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1，0)，準(zhǔn)則方程式x=-1，設(shè)定A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)=0，點(diǎn)f表示ABC重心，即=1，x1 x2 x3=3。拋物線的定義為| fa | | FB | | fc |=(x1 1) (x2 1) (x3 1)=6。| fa | | FB | | fc |=6，所以選擇b。問題2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)拋物線c: y2=2px (P0)的焦點(diǎn)為f，點(diǎn)m為c，| MF |=5，如果以MF為直徑的圓點(diǎn)(0，2)，則c的方程式為()A

8、.y2=4x或y2=8x b.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x d.y2=2x或y2=16x牙齒問題采用待定系數(shù)法，熱方程。答案c以MF為直徑的圓寡頭壟斷(0，2)，| MF |=XM=5時(shí)，M，MF為直徑的圓，中心點(diǎn)N為，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)與圓的半徑完全相同。(2016天津高考)拋物線(T是參數(shù)，P0)的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)則是L。拋物線上經(jīng)過點(diǎn)A與L的垂直線，互垂于B. C，AF與BC相交。如果| CF |=2 | AF |答案解決方案根據(jù)問題的意義圖繪制圖形，已知拋物線的方程式為Y2=2PX (P0)，| FC |=3P，| Af |=| AB |=P，A可以設(shè)定在第一象限。a(方法

9、技巧確定和應(yīng)用拋物線特性的關(guān)鍵和技術(shù)1.關(guān)鍵：利用拋物線方程確定和應(yīng)用焦點(diǎn)、指針等特性時(shí)，關(guān)鍵是使拋物線方程成為標(biāo)準(zhǔn)方程。見前例1。2.技巧：為了結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何圖形的性質(zhì)，以幫助理解。見前例2。沖破關(guān)卡，瞄準(zhǔn)訓(xùn)練1.通過拋物線y2=2px (P0)的焦點(diǎn)f的直線與點(diǎn)a、b、點(diǎn)c相交準(zhǔn)則l。| BC |=2 | BF |和| af |=3時(shí)為拋物線A.y2=9x b.y2=6xC.y2=3x d.y2=X答案ca，B的準(zhǔn)則的投影分別是A1，B1。| BC |=2 | BF |=2 | bb1 |導(dǎo)致直線l的坡率為：因此，| AC |=2 | aa1 |=6，因此，| BF |=1

10、，| ab |=4，因此=，即p=，拋物線方程式為y2=3x，因此c2.(2018河南洛陽統(tǒng)考)已知的F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2-Y2=3A2 (A 0)的左右焦點(diǎn)，P是拋物線Y2=8ax和雙曲線的交點(diǎn)。| PF1 | |答案x=-2雙曲方程解為標(biāo)準(zhǔn)方程，可以得到F2(2a，0)，也可以很容易地知道它是拋物線的焦點(diǎn)。聯(lián)排X=3a，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3a。而且|在PF2 |=6-A中| pf2 |=3a 2a=6-a，a=1，拋物線的指導(dǎo)方程式為x=-2。問題3直線和拋物線的綜合問題角度1直線和拋物線的交點(diǎn)問題(2016全局體積I)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線L: Y=T (T 0)在點(diǎn)M處為Y軸

11、，相交拋物線C: Y2=2PX (P0)在點(diǎn)P處，M關(guān)于點(diǎn)P的鏡像點(diǎn)為N，連接(1)求(2)除h外，直線MH和c是否有其他共同點(diǎn)？說明原因。牙齒問題使用方程式方法。解決方案(1)是已知的M(0，t)，p另外，N是關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，因此，ON的方程是Y=X，用Y2=2PX替換它，用PX2-2T2X=0整理它，X1=0，X2=，所以h . N是OH的中點(diǎn)。(2)直線MH和c除h外沒有其他共同點(diǎn)。原因如下：直線MH的方程式為y-t=x。X=(y-t)。指定Y2=2px，得到y(tǒng)2-4ty 4 T2=0，得到y(tǒng)1=y2=2t。也就是說，直線MH和c只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此除了h之外，直線MH和c沒有其他公共

12、點(diǎn)。角度2拋物線弦中點(diǎn)的相關(guān)問題(2018鄭州模擬)已知拋物線c: y=mx2 (m 0)，焦點(diǎn)為f，直線2x-y 2=0相交拋物線c為a，b兩點(diǎn)，p是直線段AB的中點(diǎn)，p是通過x軸的垂直線相交拋物線c是點(diǎn)q(1)求出拋物線c的焦點(diǎn)坐標(biāo)。(2)拋物線C的R(xR，2)到焦點(diǎn)F的距離為3時(shí)，得出M的值。(3)是否有實(shí)數(shù)M牙齒，使ABQ成為直角頂點(diǎn)的直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出m的值。如果不存在，請(qǐng)說明原因。解決方案(1)拋物線c: x2=y，其焦點(diǎn)f(2)-RF |=yr，-2=3，m=。(3)存在，方程組y刪除mx2-2x-2=0，根據(jù)問題的意思，=(-2) 2-4m (-2) 0m -。A(

13、x1，MX)、B(x2，MX)、然后(*)P是線AB的中點(diǎn)。p，即p，q .獲得=，=，如果有實(shí)數(shù)m牙齒，ABQ是以q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則=0，也就是說=0。合并(*)簡化- 4=0，也就是說，m=2-3m-2=0，m=2或m=-、和2，-。有實(shí)數(shù)m=2，因此ABQ是以q為直角頂點(diǎn)的直角三角形。方法技巧解決拋物線弦和弦中點(diǎn)問題的一般方法1.直線和拋物線的弦長問題需要注意直線是否通過拋物線的焦點(diǎn)。拋物線的焦點(diǎn)過重后，可以直接使用公式| ab |=x1 x2 p。如果焦點(diǎn)不一致，則應(yīng)使用一般弦長公式。2.當(dāng)提到拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般使用根和系數(shù)的關(guān)系，采用“設(shè)定”、“全部

14、賦值”等解法。請(qǐng)參閱角度2的先例。沖破關(guān)卡，瞄準(zhǔn)訓(xùn)練已知點(diǎn)f是拋物線e: y2=2px (P0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2，m)位于拋物線e上| af |=3。(1)求拋物線e的方程；(2)已知點(diǎn)G (-1，0)，在點(diǎn)B處AF相交拋物線E延伸，以點(diǎn)F為中心與直線GA相切的圓證明必須與直線GB相切。解決方案(1)定義為拋物線| af |=2。理解p=2，因?yàn)閨 af |=3，即2=3。因此，拋物線e的方程式為y2=4x。(2)證明：因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)位于拋物線e: y2=4x中所以m=2?？梢詫 (2，2)設(shè)定為拋物線的對(duì)稱?？捎糜贏(2，2)，F(xiàn)(1，0)的線AF的方程式如下Y=2 (x-1)。2x2

15、-5x 2=0，通過理解X=2或x=bg (-1，0)、因此，kga=，KGB=-，因此，KGA KGB=0是AGF=BGF。也就是說，點(diǎn)F到直線GA、GB的距離相同，因此以F為中心與直線GA相切的圓必須與直線GB相切。問題4拋物線的最大問題(2017成都薩莫德)顯示的點(diǎn)f是拋物線y2=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)a、b分別從拋物線y2=8x和圓x2 y2-4x-12=0的實(shí)線部分移動(dòng)，并且AB始終與x軸平行時(shí)FAB的周長值A(chǔ).(6，10) B. (8，12)C.6，8 D. 8，12通過拋物線定義，圓的半徑和AB長度表示FAB的周長為xB 6，確定xB的范圍即可。答案b解決拋物線的準(zhǔn)則：l: x=-2，焦

16、點(diǎn)F(2，0)，可由拋物線定義使用| af |=xa 2，圓(x-2) 2 y2=16的中心為(2，0)，半徑為4。fab的周長=| af | | ab | | BF |=xa 2 (XB-xa) 4=6 XB。拋物線y2=8x和圓(x-2) 2 y2=16可用的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2。XB(2，6)、6 XB(8，12)。因此，請(qǐng)選擇b。拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x 3y-8=0的距離最小值為_ _ _ _ _ _。平移直線法。答案將平行于直線4x 3y-8=0且相切于拋物線y=-x2的直線設(shè)定為4x 3y b=0時(shí)，相切方程式將與拋物線方程式連接剔除y為3x2-4x-b=0，=16 12b=0，解決方案b=-，因此切線方程為4x 3y-=0，拋物線y=-x2的點(diǎn)大選4x 3y方法技巧與拋物線有關(guān)的最大問題一般是以數(shù)形結(jié)合思想或函數(shù)方程思想來解決。請(qǐng)注意“定義換算方法”(實(shí)例1)、“換算直線方法”(實(shí)例2)。沖破關(guān)卡，瞄準(zhǔn)訓(xùn)練(2017浙江模擬)已知f是拋物線4 y2